数学学案：例题与探究正弦定理和余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,若b=acosC，c=asinB，试判断△ABC的形状.思路分析：本题已知条件中既涉及边又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理将边角互化，从而将问题解决.解：由b=acosC，得b=a·，即2b2=a2+b2—c2。∴b2+c2=a2。∴A=90°.∴c=asinB=a·=b.故△ABC为等腰直角三角形.绿色通道:判断三角形的形状，常常有两种方式，一是从边的角度加以判断，从而可以考虑将已知条件转化为边间的关系；二是从角的角度去判断，从而可以考虑将已知条件转化为角间的关系。变式训练（经典回放）在△ABC中,若acosA=bcosB,求证:△ABC是等腰三角形或直角三角形。思路分析：判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定，本题可考虑把边化为角，寻找三角形的角之间的关系，然后予以判定.在正弦定理的推广中,a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC是边化角的主要工具.证明:由正弦定理,得。又acosA=bcosB，即,即sinAcosA=sinBcosB。∴sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A=π—2B。∴A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.例2（2006天津高考，理17)如图1—1-1,在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=。图1-1—1(1）求AB的值;(2)求sin（2A+C）的值。思路分析:已知两边及其夹角，求第三边，要用余弦定理；求三角函数的值,需求sinA及sinC的值，就要用正弦定理.解：（1)由余弦定理，有AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=4+1—2×2×1×=2，所以AB=。（2）由cosC=且0＜C＜π，得sinC=.由正弦定理,得sinA=.所以cosA=.由倍角公式sin2A=2sinA·cosA=，且cos2A=1—2sin2A=，故sin(2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=。绿色通道:正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角变换，同时注意三角形中的一些重要性质(内角和，大边对大角,射影定理等).变式训练（2005天津高考，理17)在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2—bc=a2和。求∠A和tanB的值.思路分析：b2+c2—bc=a2的结构与余弦定理相类似,用正弦定理把边的关系转化为角的问题.解：cosA=,所以∠A=60°.由∠C=180°-∠A—∠B=120°—∠B，得。所以tanB=。例3如图1—1—2，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设∠MGA=α（≤α≤)。图1—1-2(1）试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数.(2）求y=的最大值与最小值。思路分析：(1）求表示三角形面积的函数，需解决边长问题,在△AGM及△AGN中，关键是用正弦定理求MG、GN的长度.（2)将(1)所给的函数化简变形，尽量化成最简形式，再根据表达式特点求最值.解：(1）因为G是边长为1的正△ABC的中心,所以GA=×，∠MAG=。由正弦定理，得GM=。则S1=GM·GA·sinα=.同理，可得S2=。(2）y=[sin2（α+）+sin2（α—)］=72(3+cot2α).因为≤α≤，所以当α=或α=时，y取得最大值ymax=240.当α=时，y取得最小值ymin=216.绿色通道:在知识的交汇点处出题是高考的一个特点。解三角形问题要注重正余弦定理、三角形的性质、三角变换、函数思想的综合应用。黑色陷阱：（1)错误之一是不能正确列出面积表达式.要养成结合图形及基础知识，分析已知条件和所求结论之间的联系的习惯。（2）另一错误是三角公式不能灵活应用，三角变换不熟练，化简与变形存在问题，要熟记基本公式及常见的三角函数恒等变形。变式训练在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若b2=ac，求y=的取值范围.思路分析：将所给的解析式化简，实现角函数名称、运算的统一,化简为y=sinB+cosB，同时要注意函数的要素-—定义域,由b2=ac,结合不等式、正余弦定理求出角B的范围.解:cosB=,∴0＜B＜。又y==sinB+cosB=sin（B+）.由0＜B＜，得＜B+≤。∴＜sin（B+)≤1.∴1＜y≤2.例4已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.思路分析：连结AC，将四边形转化为两个有公共边的三角形，在三角形中,利用正弦、余弦定理解决.解：如图1—1-3，连结AC，∵B+D=180°，∴sinB=sinD。图1-1-3S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BCsinB+AD·DCsinD=14sinB。由余弦定理，得AB2+BC2—2AB·BCcosB=AD2+DC2—2AD·DCcosD,即40-24cosB=32-32cosD。又cosB=-cosD,∴56cosB=8，cosB=.∵0°＜B＜180°，∴sinB=1-cos2B=.∴S四边形ABCD=14sinB=.黑色陷阱：本题误区之一是不能有效地把四边形的面积进行分解,以至于找不到解决问题的思路。误区之二，在过程的书写上不能将条件写全，过程出现错误.变式训练（2005湖北高考，文18)在△ABC中，已知tanB=,cosC=,AC=，求△ABC的面积.思路分析：考虑到三角形面积公式的形式，如何求出两边和它们夹角的正弦值是关键.解法一：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB=,得B=60°,∴sinB=,cosB=.又sinC=，应用正弦定理得c=.∴sinA=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC=.故所求面积S△ABC=bcsinA=.解法二:同解法一可得c=8，又由余弦定理,得b2=a2+c2—2accosB，即54=a2+64—2a×8×，∴a2—8a+10=0。解得a1=，a2=.∵B=60°，0°＜C＜90°，∴30°＜A＜120°。由,得a=·sin30°=＞3,而a2=＜3,舍去,故a=.故所求面积S△ABC=acsinB=.问题探究问题1在涉及三角形的解的个数题目中，如何来对三角形的解的个数进行确定?导思：在三角形中解的个数取决于边角关系，确定解可以通过研究边角关系进行.边角关系的最直接体现就在正余弦定理中。下面通过正余弦定理研究解的个数.探究：一般地，已知两边和其中一边的对角（如:已知a、b和A)，用正弦定理求B的各种情况：(1）若A为锐角时，如图1—1—4所示：已知边a、b和∠A，图1-1—4（2）若A为直角或钝角，则问题2对于正弦定理，在直角、锐角三角形中都已证明是成立的，那么在钝角三角形中是否仍然成立呢？导思：对于此问题的证明，除了课本上用三角函数的方法之外，还可以采用向量的方法证明。选择过点A且与的单位向量，找出它与三角形三边所在向量的夹角，由于++=0,∴i（++）=0.利用向量的数量积运算可以推导公式成立.探究:如图1-1-5，当△ABC为钝角三角形时,过A点作