《FPGA数字信号处理设计流程》课件第2章

第2章数字信号处理的基本知识2.1模拟/数字转换和数字/模拟转换2.2离散傅立叶变换(DFT)与快速傅立叶变换(FFT)2.3滤波器2.4本章小结2.1模拟/数字转换和数字/模拟转换

2.1.1模拟/数字转换在进行模拟/数字转换时，因为输入的模拟信号在时间上是连续的而输出的数字信号是离散的，所以转换只能在一系列选定的瞬间对输入的模拟信号采样，然后再把这些采样值量化为数字量输出。

1.采样定理为了能正确无误地用采样信号表示模拟信号，采样信号必须有足够高的频率。我们列举一个简单的例子，如图2.1.1所示。图2.1.1对输入信号的模拟采样为了保证能将原来的被采样信号恢复，必须满足：(2.1.1)公式(2.1.1)中，fs为采样频率，fi(max)为输入模拟信号的最高频率分量的频率，这就是采样定理。每次采样的时间间隔称之为采样周期ts(=1/fs)。在满足采样定理的条件下，可以用低通滤波器将采样信号还原为模拟信号。这个低通滤波器的电压传输系数在低于fi(max)的范围内应保持不变，而在fs-fi(max)以前，应迅速下降为零，如图2.1.2所示。图2.1.2还原采样信号所用滤波器的频率特性因此，A/D转换器工作时的采样频率必须满足fs≥2fi(max)。采样频率提高以后，转换的时间也相应地缩短了，这就要求转换电路必须具备更快的工作速度。因此，不能无限制地提高采样频率，通常取fs = (3～5)fi(max)来满足要求。

一般说来，采样频率还要取决于采样对象的参数，例如对于控制系统，采样频率一般取在10Hz，对于生物信息的采样在100Hz左右，对音频信息的采样，一般在1000Hz左右，而对于数字信号前端信息的采样，一般在1MHz左右。

通过ADC可以将模拟信号转换为相应的数字信号，如图2.1.3所示。图2.1.3通过ADC将模拟信号转换为数字信号

2.量化和编码

数字信号不仅在时间上是离散的，而且数值大小的变换也是不连续的，这就是说，任何一个数字量的大小只能是规定的最小数量单位的整数倍。在进行A/D转换时，必须把采样电压表示为这个最小单位的整数倍。这个转换过程叫做量化，所取的最小数量单位叫做量化单位，用表示。显然，数字信号最低有效位(LSB)的1所代表的数量大小就等于。把量化的结果用数码(可以是二进制，也可以是其他进制)表示出来，称为编码。这些数码就是A/D转换的结果。由于模拟电压是连续的，电压值不一定能被整除，因此量化过程便不可避免地出现误差。这种误差称为量化误差。以二进制为例，将模拟电压信号划分为不同的量化等级时，通常有两种方法，如图2.1.4所示。图2.1.4划分量化电平的两种方法图示两种量化电平的方法是以0～1V的模拟电压信号转换成3位二进制代码为例，图2.1.4(a)所示为取Δ=1/8V，并规定所有数值在0～1/8V之间的模拟电压都当作0×V对待，用二进制“000”表示；数值在1/8～2/8V之间的模拟电压都当作1×Δ对待，用二进制数“001”表示，依此类推。由此可以看出，这种量化方法可能带来的最大量化误差为Δ，也就是1/8V。图(b)是对图(a)的改进，即取量化电平Δ=2/15V，并将输出数码“000”对应的模拟电压范围规定为0～1/15V，即0～1/2Δ，这样可以将量化误差减小到1/2Δ，即1/15V。2.1.2数字/模拟转换

在数字信号处理中，数模转换的过程是一个将数字信号恢复为原有模拟信号的过程。完全恢复为原有的模拟信号是不可能的，在工程上，常用的是零阶保持器、一阶保持器和高阶保持器。这里我们只讨论零阶保持器及一阶保持器的效果。所谓的零阶保持，就是在两个采样值之间令输出保持上一个采样值，这种方法除了在采样率远高于信号中最高频率的情况下效果不错之外，通常带来很大的误差，如图2.1.5所示。图2.1.5数字信号通过DAC转换恢复为模拟信号一阶保持器是一个基于相邻两个采样值的线性外推规律恢复离散信号的保持器。利用这种方法的信号恢复结果如图2.1.6所示。图2.1.6使用零阶保持器及一阶保持器恢复模拟信号的效果对比2.2离散傅立叶变换(DFT)与快速傅立叶变换(FFT)

2.2.1离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform,DFT)

首先，了解一下离散傅立叶级数。对于周期信号来说，所有的时域特征信息都在一个周期内反映出来了，因此，响应的频域特征信息也可以通过一个周期的信号进行分析。根据傅立叶理论，一个周期为的离散信号可以展开为个复正弦信号的叠加形式，即离散傅立叶级数如下：(2.2.1)其中是傅立叶系数，其计算公式如下：(2.2.2)可以证明公式(2.2.1)和公式(2.2.2)都满足周期为的特性，即，，所以，傅立叶系数也具有周期性特征。公式(2.2.1)说明一个周期为的离散信号可以用个复正弦函数的线性加权表示，而加权系数就是傅立叶系数。从频域来看，公式(2.2.1)说明周期信号共有如下个频率成分：k=0～N -1(2.2.3)(2.2.5)(2.2.6)图2.2.1由8个频域采样点形成离散频谱X(k)，k=0～7将公式(2.2.6)离散频率点带入公式(2.2.5)得到信号的离散频谱：(2.2.7)见上式左边以简约形式X(k)表示，则上式成为DFT变换式公式(2.2.4)。因此，离散傅立叶变换的含义是求有限长信号的离散频谱，严格地说，是在0～2π一个周期内的离散值。离散傅立叶的反变换(InverseDiscreteFourierTransform,IDFT)公式如下：(2.2.8)上式包含两层意思，一是可以根据N个离散傅立叶变换所表示的离散傅立叶频谱值X(k)恢复原始信号x(n)；二是长度为N的有限长信号可以用N个频率分量的正弦信号的叠加来构成，这也就反映了信号的频谱一定是N个离散值。它说明任何一个段式分布的信号(有限长)都可以通过正弦信号来合成。在实际应用中，大部分情况下是运用DFT正变换分析信号的频谱特征的，需要IDFT反变换进行信号恢复和重构的场合主要是通信和数据压缩领域。(2.2.9)定义(2.2.10)则公式(2.2.9)可以转化为：(2.2.11)图2.2.28点DFT分解成两个4点DFT图2.2.34点DFT分解成两个2点DFT图2.2.42点DFT分解图2.2.5基于时选的8点FFT算法图2.2.6基于时选的FFT算法的改进形式(2.2.12)令，则上式成为：(2.2.13)(2.2.14)(2.2.15)图2.2.78点DFT分解成两个4点DFT图2.2.84点DFT的进一步分解图2.2.9基于频选的8点FFT算法 2.3滤波器

2.3.1无限脉冲响应数字滤波器(IIR)

1.直接Ⅰ型

IIR滤波器的系统函数为(2.3.1)对应的差分方程为图2.3.1N阶IIR系统直接Ⅰ型流图(2.3.2)

2.直接Ⅱ型

直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。前文讨论的直接Ｉ型结构的系统函数可被看成是两个独立的系统函数的乘积，结构上为两个子系统的级联。对于一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数是不变的，即总的输入/输出关系不变。对于图2.3.1，如果把零点和极点实现的次序对换一下，即先实现极点再实现零点，且把延时单元合并成一个公用的，则构成了图2.3.2所示的形式，称为直接Ⅱ型结构。图2.3.2N阶IIR系统直接Ⅱ型流图

3.级联型

如果将N阶IIR系统函数分解成二阶因式连乘积，则可得到级联结构：(2.3.3)这样，整个系统将由M个二阶系统级联构成。具体地，将公式(2.3.1)的分子和分母都进行因式分解，得到：(2.3.4)(2.3.5)(2.3.6)式中，N3表示的最大整数，且(2.3.7)称为滤波器的二阶基本节。图2.3.3二阶子系统的直接Ⅱ型实现

4.并联型

IIR滤波器的并联机构形式是基于对H(z)的部分分式展开来实现的。对公式(2.3.4)的H(z)用部分分式展开，有：(2.3.8)(2.3.9)图2.3.4IIR系统的并联结构形式

5.转置型

如果将网络中所有支路的方向加以反转，支路增益保持不变，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则网络的系统函数不会改变。

利用网络的转置定理，将以上讨论的几种结构进行转置，可以得到几种新的网络结构，例如，对图2.3.1的直接Ⅱ型结构转置得到如图2.3.5所示的结构，画成输入在左，输出在右的习惯形式，则如图2.3.6所示。图2.3.5直接Ⅱ型的结构转置图2.3.6将图2.3.5画成输入在左，输出在右的习惯形式2.3.2有限脉冲响应数字滤波器(FIR)

FIR是一种非递归系统，其冲激响应h(n)是有限长序列，其系统函数的一般形式为：(2.3.10)式中：h(k)为因果序列；H(k)是的N-1次多项式，它的N-1个极点全部位于z=0处，所以一个FIR系统始终是稳定的。它的零点分布可以处于有限z平面内的任何位置，当全部零点都位于单位圆内部时，就成为最小相位系统。H(n)是有限时宽序列，因而还可以用DFT技术来实现滤波。FIR系统的最大特点就是能够做成严格的线性相位，这在图像处理等应用领域中非常重要。

1．直接型

式(2.3.10)对应的FIR系统的差分方程为：由式(2.311)可以画出FIR系统的直接型结构形式，如图2.3.7所示。可以看出，公式(2.3.11)就是线性时不变系统的卷积和公式，所以直接型结构又称为卷积型结构，有时还称为横截滤波器结构。将转置定理用于图2.3.7，可得到图2.3.8的转置直接结构形式。图2.3.7FIR系统的直接型结构图2.3.8FIR系统的转置直接结构

2.级联型

图2.3.9FIR系统的级联型结构2.3.3IIR滤波器与FIR滤波器的比较

下面对IIR和FIR两种滤波器进行比较，以便在实际应用中选用它们，如表2.3.