重庆理工大学823数理统计2015-2019年考研真题

重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A）学院名称：数学与统计学院学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（819）（试题共4页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、综合题（30分）以下数据为来自某总体X的容量为9的样本：0.8,1.6,0.9,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1。，，经计算，1.求样本均值,样本中位数,顺序统计量（10分）2.简要说明样本均值和样本中位数的区别与联系。（5分）3.若总体X的二阶距存在，且均值为,方差为,给出参数的矩估计量及的一个无偏估计量。（5分）4.若给定总体，且,未知，给出的的置信区间以及假设检验的拒绝域，显著性水平为，其中；并说明两者之间的关系。（8分）5.若总体X的分布不是正态分布，且X的数学期望存在，设为，怎样检验，给出你的方法。（2分）本题可能用到的分位数：。第1页二、抽样分布（30分）设是来自的样本，是来自的样本，且两样本独立。1.请说明什么分布，什么是t分布。（10分）2.证明。（5分）3.设为任意非零常数，请给出的分布,并指出期望和方差。（5分）4.对任意非零常数，证明其中，，，。（10分）三、参数估计（30分）设某总体X的密度函数为,是来自该总体X的样本。1.给出的极大似然估计。（10分）2.根据题1的结果给出的极大似然估计，并判断。（10分）3.求的Fisher信息量。（5分）4.若都是的无偏估计，怎样判断其优劣？又若不一定是无偏估计，如何判断其优劣？（5分）第2页四、假设检验（30分）化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量100kg，标准差为1.2kg。某日开工后，为确定包装机工作是否正常，现随机抽取16袋化肥进行检验。1．写出假设检验的步骤，说明什么是第一类错误，第二类错误，解释显著性水平。（10分）2．若方差保持不变，且算得抽检的16袋化肥的样本均值=99.70，问这一天包装机的工作是否正常？（）（10分）3．若还要求化肥质量的方差不超过，且算得抽检的16袋化肥的样本标准差s=1.25，问化肥质量的方差是否满足要求？（）（10分）本题可能用到的分位数：，。五、方差分析（30分）用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间（单位：小时）如下所示：安眠药试验数据安眠药安眠时间6.26.16.06.36.15.96.36.56.76.67.16.46.87.16.66.86.96.65.46.46.26.36.05.91、写出方差分析的原假设和备择假设，并给出进行方差分析应满足的条件。（5分）第3页2、如果该题满足方差分析条件，完成下列方差分析表：（10分）来源平方和自由度均方F比p值因子A2.54误差e1.33------和T3.87---------3、在显著性水平下，四种安眠药对兔子的影响是否显著。（3分）4、给出的无偏估计。（3分）5、给出的置信区间。（）（2分）6、问是否显著？（）（2分）7、某同学进行方差分析时得出因子A不显著，但他又进行了多重比较，发现具有显著区别，请解释原因。（5分）本题可能会用到的分位数和平方数：第4页重庆理工大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（818）A（试题共4页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、（30分）以下数据来自某总体X，且容量为8的样本：2868,2001,2082,792,1660,4105,1416,2089（10分）给出样本容量为n时，样本均值和样本方差的计算公式，说明你所给出的样本均值和样本方差是否为总体均值和总体方差的无偏估计，叙述估计量好坏的评价标准。（10分）利用以上数据计算样本均值，顺序统计量以及样本中位数，并说明样本均值和样本中位数的区别和联系。（10分）若以上数据是某厂对一种元件使用寿命进行革新得出的数据，且寿命服从指数分布，本来样本容量应该是10，但是由于不知道的原因，只有以上8个数据，现要给出总体均值的估计，给出你的方法，并说明理由。第1页二、（30分）设是来自正态总体的样本1．（10分）给出正态分布与分布的关系，并利用此关系证明2.（10分）给出F分布与分布的关系，并利用此关系证明3．（10分）给出t分布与正态分布和分布的关系，并证明三、（30分）设总体的密度函数为，且是来自该总体的简单随机样本，求：第2页1．（10分）当的时候，求参数的极大似然估计。2．（10分）在第1题的条件下，求的期望、方差以及的Fisher信息量，并求的渐近分布。3．（10分）当的时候，求的矩估计以及极大似然估计。四、（30分）设需要对某总体的参数进行假设检验（10分）叙述假设检验中显著性水平，两类错误以及拒绝域的含义，并说明p值的意义。（10分）若总体为正态总体，且方差已知，取显著性水平，样本容量为，若要检验均值问题：，给出拒绝域，若现计算得样本均值15.2，问是否拒绝原假设，并计算p值。（10分）在第2题的条件下，给出的的置信区间，并与检验问题的拒绝域比较，说明两者之间的关系。第3页五、（30分）取一批由同种原料织成的布，用不同的染整工艺进行缩水率实验，以考察不同染整工艺对布的缩水率有无显著影响进而寻找出缩水率较小的染整工艺。现有五种不同的工艺，在每一工艺下重复处理四块布，测得其缩水率数据如下表染整工艺缩水率A1A2A3A4A54.36.85.26.56.16.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.48.9（10分）假设本题数据满足进行方差分析的假设，完成下表方差分析表来源平方和自由度均方F比因子A60.685误差e总和T80.55（5分）由第1题的方差分析表得出不同染整工艺对布的缩水率有无显著影响？（）（5分）给出模型方差的点估计量，并给出的95%的置信区间。（10分）给出进行方差分析需满足的条件，并举例说明方差分析方法可以用来解决的数据分析问题。第4页重庆理工大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（820）(A)（试题共4页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、简答与证明（共30分）设来自总体为的样本。给出分布与正态分布的关系，并利用此关系证明：服从分布，并指出该分布的自由度。（10分）利用F分布与分布的关系，证明：并计算。（10分）3.令为的无偏估计，求；并给出的分布（不证明），利用t分布、正态分布、分布的关系，证明：（10分）第1页二、计算题（共60分）（40分）设来自总体为的样本。当的时候，求的极大似然估计，并判断是否为的无偏估计。（15分）当的时候，求的Fisher信息量，给出的无偏估计的C-R下界。（7分）当的时候，求的最大似然估计，并给出的密度函数。（10分）有三个不同的估计的时候，若三个都为无偏估计，怎样判断其优劣，若至少有一个不是无偏估计的时候，怎样判断其优劣，给出你的方法。（6分）当的时候，对于假设检验问题：，给出拒绝域的形式，不用计算。（2分）（20分）设来自总体为的样本，已知显著性水平，对于假设检验问题：，给出检验统计量，并给出拒绝域，当，样本均值为7.8的时候，是否拒绝原假设。（10分）第2页给出的双侧置信区间，并给出假设检验问题：的拒绝域，说明两者的关系。（10分）应用题（共40分）（20分）某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类型产品，随机选择使用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为0.57（kg），取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg）,样本标准差为0.48（kg），设产品质量服从正态分布，两样本独立。若有经验说明，两总体方差相等，在时候，问能否认为使用原材料B生产的平均质量较使用原料A生产的平均质量显著大。（10分）若对于两总体方差没有任何的经验信息，怎样检验两总体均值是否有显著差异？给出你的方法。（10分）2.（20分）某厂有四个车间生产同一种产品，为了考查四个车间产品中某元素含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取相同数量的样品进行测量，结果如下：车间某元素含量（%）A1A2A3A42.842.952.733.183.042.903.082.983.183.263.483.353.303.063.243.412.993.103.193.272.863.133.042.942.963.243.363.113.153.183.303.06假定数据满足方差分析的条件，给出总偏差平方和，因子平方和和误差平方和的计算公式及其之间的关系。（8分）在（1）的条件下，完成下表（6分）方差分析表来源平方和自由度均方F比因子A误差e5081.5---总和T9685.875----------第3页比较各车间产品中元素含量的均值有无显著差异。（4分）给出总体方差的无偏估计量。（2分）四、案例分析（20分）高老师为了解08级统一班同学毕业四年后收入情况，在班级群里发出消息，调查班上同学现在的年收入情况，该班毕业31人，群里有28人，有13人回复，具体回复如下：同学1：年收入10万，税前；同学2：年20万同学3：年收入5万，税后；同学4：月净收入3200，公积金850，年终绩效2.4万，无其他收入；同学5：10.4万；同学6：4.5万；同学7：15—20万同学8：约15万；同学9：5-6万；同学10：7万同学11：10-12万；同学12：约17万；同学13：80,000。对调查数据，我们一般需要进行一些预处理（如数据的单位是否一致、是否同一种类型数据、是否具有可比性、是否有缺失值、是否奇异值等），请对上述实际调查数据进行预处理，形成结构化的数据表（行表示样本，列表示年收入），以便后续的统计分析。（10分）利用处理后的数据，可以进行哪些描述性统计分析来对该班同学的年收入进行评价。（5分）若该班第14位同学的年税后收入为200万，能否用平均值来描述收入分布的特征？若不妥，请给出更好的数字特征。（5分）试题可能用到：第4页重庆理工大学2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（823）A（试题共6页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题与答题纸装入原信封内交回。选择题（每小题3分，共15分）1.设为来自正态总体的一个简单随机样本，未知，则下列选项错误的是（）(A)是统计量（B）是充分统计量(C)是统计量(D)不是统计量2.设为取自总体的一个简单随机样本，，，则下列选项错误的是（）（A）(B)(C)(D)3.对于假设检验问题，分别进行显著性水平的假设检验，当时，检验结论为接受原假设，当时拒绝原假设，则下列说法错误的是（）(A)当时，接受原假设(B)当时，拒绝原假设(C)当时，拒绝原假设(D)当时，可能接受也可能拒绝原假设4.设随机变量，则（）(A)(B)(C)(D)5.线性回归模型有一组独立观测数据则系数的最小二乘估计值为（）(A)（B）(C)(D)二、填空题（每小题3分，共15分）6.设为来自正态总体的简单随机样本，未知，，.则未知参数的置信水平为的双侧置信区间为__________________7.设为来自正态总体的一个简单随机样本，其中，未知，记.则假设的t检验统计量____________________.8.设总体为其一个简单随机样本，则最大顺序统计量的概率密度函数为__________.9.估计量的评选标准有（至少写出三个）__________________.10.设为来自总体的一个样本，为总体均值的无偏估计量，则__________________.三、解答题（共120分）11.（共40分）设随机变量的分布函数为，其中.设为来自总体的一个简单随机样本，为其样本观测值。(1)求随机变量的概率密度函数；（5分）(2)当时，求未知参数的矩估计量；（10分）(3)当时，求未知参数的最大似然估计量.（10分）(4)当时，求未知参数的最大似然估计量.（10分）(5)当时，求未知参数的Fisher信息量.（5分）12.(共30分)设为来自正态总体的一个简单随机样本，为其样本观测值，若样本均值的观测值，样本容量。对总体的均值提出假设检验。()（1）给定显著水平，写出该检验问题的拒绝域。显著水平取，是否拒绝原假设。（10分）（2）叙述两类错误的含义。当时，计算该检验犯第二类错误的概率(用标准正态分布的分布函数表示即可)。(10分）（3）叙述假设检验问题P值的含义。并计算本检验问题的P值(用标准正态分布的分布函数表示).（10分）（共30分）设是来自正态总体的一个简单随机样本，已知。试证：(1)统计量与独立且同卡方分布，并指出分布的自由度。（10分）(2)统计量服从F分布，指出分布的自由度，并求.（10分）(3)求常数c使得服从t分布，并指出分布的自由度。（10分）14.(共20分)某生产企业的几个车间生产同一种机器零件，为考查这几个车间生产的产品的直径是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取10个样品进行测量。每个零件的原始直径数据被遗失，仅留下一张没有完成的方差分析表如下:来源平方和自由度均方F比因子A2误差e134.1——总和T195.5————(1)简述进行方差分析应满足的3个条件，给出该问题的原假设与备择假设。（5分）(2)假定数据满足方差分析的条件，试给出总偏差平方和，因子平方和和误差平方和的计算公式，叙述三者之间满足的关系式。（6分）(3)完成上面方差分析表。（6分）(4)试问因子A差异是否显著？（，）（3分）重庆理工大学2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（823）（A卷）（试题共6页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、选择题（每题3分，共15分）1.设为取自参数为的几何分布的简单随机样本，未知，则下列说法不正确的是（）（A）是统计量（B）是充分统计量（C）是统计量（D）是统计量2.设为取自的简单随机样本，，，则下面选项服从的是（）（A）（B）（C）（D）第1页3.设为取自某总体的简单随机样本，总体均值和方差存在，则下列关于均值的无偏估计中，最有效的估计为（）（A）（B）（C）（D）4.对于参数的假设检验问题：，进行显著性水平分别为的假设检验，当时，检验结论为接受原假设，当时拒绝原假设，则下列说法中正确是（）（A）当接受原假设（B）当拒绝原假设（C）当接受原假设（D）当拒绝原假设5．对于正态总体，样本容量为一定的情况下，要使参数的置信区间长度缩短，则置信水平（）（A）增大（B）降低（C）不变（D）都有可能二、填空题（每题3分，共15分）1.设为取自总体为均匀分布的简单随机样本，则的矩估计为____________2.以下数据来自某总体的样本容量为7的样本观测值：0.8，1.6，1.2，0.9，1.1，1.3，20，则该样本的中位数为___________3.一元线性回归模型，（），假设独立同分布，均值为0，则的最小二乘估计为___________第2页4.设来自总体的简单随机样本，，现计算得，则显著性水平为的假设检验问题的结论是_____原假设（填接受或拒绝）。5.设是来自总体为指数分布的简单随机样本，则样本均值的渐近分布为_______________三、计算题（共60分）1.（40分）设是来自总体为Pareto分布的简单随机样本，其概率密度函数为，其中为未知参数，且（1）当的时候，求的极大似然估计量；（10分）（2）当的时候，求的极大似然估计量，并判断其无偏性；（10分）（3）当的时候，计算的Fisher信息量，给出无偏估计的C-R下界；（8分）第3页（4）当的时候，求的极大似然估计量，并给出该估计量的密度函数。（12分）2.（20分）设为取自的样本，其中为未知参数，方差已知，对该总体均值进行显著性检验：，显著性水平。（1）给出该检验的拒绝域。当样本容量为36时，计算得样本均值为9.2时，是否拒绝原假设。（6分）（2）当时，样本容量为36时，检验犯第二类错误的概率。（用标准正态分布的分布函数表示，不用计算）（6分）（3）给出均值的置信水平为0.95的双侧置信区间，若要使区间长度不超过1，则样本容量至少应该为多少？（8分）四、应用题（共40分）