2024年中考数学冲刺复习十大类型压轴题复习汇编

2024年中考数学冲刺复习十大类型压轴题复习汇

编（精品）

数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合

性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。

函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形

的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系

数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解

析法）。

几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动

线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函

数的自变量的取值范围，最百根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条

件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索

两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积

之间满足一定关系时求X的直等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未

知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有X、y的

方程），变形写成y=f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、

平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要

是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，

但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通

过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另

一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思

想方法。

一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组

求其解析式、研究其性质。

二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。

三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题

它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也

较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。

解中考压轴题技能技巧：

一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候

重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜二所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”

一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，

尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果

第一小间不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题

是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多

少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分：尽量多用几何知识，少用

代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、

正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、

结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压

轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的

思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的

关系，确定解题的思路和方法.当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视

题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多,

覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要

树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化

身为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提

另I。

目录

第一讲中考压轴题十大类型之动点问题

第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题

第三讲中考压轴题十大类型之面积问题

第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题

第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题

第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系

第七讲中考压轴题十大类型之定值问题

第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题

第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究

第十讲中考压轴题十大类型之圆

第十一讲中考压轴题综合训练一

第十二讲中考压轴题综合训练二

第一讲中考压轴题十大类型之动点问题.

1.（2008河北）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5Qf力仁30,D,E,6分别是AC,

AB,式的中点.点P从点。出发沿折线止小心⑦以每秒7个单位长的速度匀速

运动；点Q从点8出发沿8A方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线

QKA.AB,交折线旗。于点G.点P,Q同时出发，当点?绕行一周叵到点。时停

止运动，点Q也随之停止.设点尸，Q运动的时间是，秒（r>0）.

（1）D,尸两点间的距离是；

（2）射线QK能否把四边形CQ）分成面积相等的两部分？若能，求出f的值.若不

能，说明理由；

（3）当点P运动到折线即-小上，且点P又恰好落在射线QK上时，求/的值；

（4）连结PG,当PG〃/18时，请直•接•写出/的值.

备用图

2.（2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形的州是平行四边形.直线/

经过。、。两点.点力的坐标为（8,0）,点夕的坐标为（11,4）,动点P在线段处

上从点。出发以每秒1个单位的速度向点力运动，同时动点。从点A出发以每秒2

个单位的速度沿月一8一。的方向向点。运动，过点尸作4V垂直于x轴，与折线O~C-B

相交于点机当只0两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点只

0运动的时间为「秒（f>0）,△/幽的面积为£

（1）点。的坐标为，直线/的解析式为.

（2）试求点0与点材相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的1的取值范围.

（3）试求题⑵中当「为何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

（4）随着£0两点的运动，当点."在线段"上运动时，设门/的延长线与直线/相

交于点M试探究：当Z为何值时，△Q%V为等腰三角形？请直接写出6的值.

3.（2011四川重庆）如图，矩形/阳9中，四=6,BC=2y[3,点。是力8的中点，点〃

在A8的延长线上，且鳍=3.一动点£从〃点出发，以每秒1个单位长度的速度沿

办匀速运动，到达4点后，立即以原速度沿力。返回；另一动点/从一点出发，以

每秒1个单位长度的速度沿射线⑸匀速运动，点反/同时出发，当两点相遇时停

止运动.在点£、Q的运动过程中，以用为边作等边△跖。，使△如。和矩形/比》

在射线力的同侧，设运动的时间为方秒（[20）.

（1）当等边的边」％恰好经过点。时，求运动时间方的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△£/心和矩形/比力重叠部分的面积为S,请直接

写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量。的取值范围；

（3）设£G与矩形力比®的对角线4。的交点为〃，是否存在这样的Z,使△40〃是等

腰三角形？若存在，求出对应的「的值；若不存在，请斗明理由.0

DDC.

FofP

400B至PP

备用图1备用图2

三、测试提高

1.(2011山东烟台)如图，在直角坐标系中，梯形力四的底边相在x轴上，底

边⑦的端点〃在y轴上.直线3的表达式为广-加争点?!、〃的坐标分别为

(-4,0),(0,4).动点2自/点出发，在47上匀速运动.动点。自点8出发，

在折线谶?上匀速运动，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它

们同时停止运动.设点P运动£(秒)时，△。户。的面积为S(不能构成△〃国的动

点除外).

(1)求出点反。的坐标；

(2)求S随f变化的函数关系式；

(3)当方为何值时S有最大值？并求出最大值.

Ay

备用图

第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题

（2011浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点/的坐标为（-4,

0）,点夕的坐标为（0,力（0>0）.〃是直线/山上的一个动点，作尸CLx轴，垂足

为乙记点P关于y轴的对称点为〃（点〃不在y轴上），连结4〃Q

设点尸的横坐标为a.

（1）当炉3时,

①直线14的解析式；

②若点户的坐标是（-1,///）,求/〃的值；

（2）若点〃在第一象限，记直线/区与U。的交点为〃当P'〃:屐1:3时，求d

的值;

（3）是否同时使^〃。为等

腰直角三角请求出所有满

足要求的a,3的值；若不存在，请说明理由.

2.（2010武汉）如图，抛物线凹="2一2批+/,经过力（一1,0）,C（2,|）两点，与x

轴交于另一点自

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为加点〃为线段仍上一动点（不与点8重合），点0在线段

物上移动，且乙册045°,设线段。尸x,J船等为,求必与x的函数关系式，并

直接写出自变量x的取值范围；

（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线产/〃，产〃分别与抛物线交于点反G,与

（2）中的函数图象交于点色"问四边形力粉能否为平行四边形？若能，求创〃

之间的数量关系；若不能，请说明理由.

备用图

3.（20H江苏镇江）在平面直角坐标系x分中，直线4过点力（1,0）且与y轴平行，直

线过点4（0,2）且与*轴平行，直线4与&相交于点R点少为直线4二一点，反比

例函数），=人6>0）的图象过点方且与直线乙相交于点〃

x

（1）若点与与点尸重合，求A的值；

（2）连接施、OF、EF.若上2,且△。跖的面积为△阳1的面积2倍，求点少的坐

标；

（3）是否存在点月及y轴上的点也使得以点以E、尸为顶点的三角形与△时全

等？若存在，求£点坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2010浙江舟山）中，ZJ=ZZ^30°，力氏26.把△/回放在平面直角坐标系

中，使月8的中点位于坐标原点。（如图），和可以绕点。作任意角度的旋转.

（1）当点8在第一象限，纵坐标是如时，求点夕的横坐标；

2

（2）如果抛物线），=<"+法+c（a/0）的对称轴经过点。，请你探究：

①当〃=立，人」，八一至时，46两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

425

②设为—2明，是否存在这样的/〃值，使小〃两点不可能同时在这条抛物线上？若

存在，直接写出力的值；若不存在,、,请说明理由.

B

1

C

OI

5.（湖北黄冈）已知二次函数的图象如图所示.

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点"的坐标；

（2）若点N为线段8"上的一点，过点A，作x轴的垂线，垂足为点0.当点N在线

段以上运动时（点N不与点几点必重合）,设0Q的长为t,四边形AQ1C面积为S,

求S与寸之间的函数关系式及自变量方的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点只使△阳。为直角三角形？若存在，求

出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△小。补成矩形，使得△勿。的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个

顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过

（2011山东东营）如图所示，四边形力外是矩形，点力、。的坐标分别为（-3,o）,

(0,1),点〃是线段外上的动点(与端点反。不重合)，过点〃作直线)，=/十交

折线如夕于点E.

⑴记△。龙的面积为£求S与6的函数关系式；

⑵当点月在线段以上时，且tan/〃小L若矩形以回关于直线小的对称图形

2

为四边形试探究四边形QA旦G与矩形十回的重叠部分的面积是否发生变

化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

第三讲中考压轴题十大类型之面积问题

(2011辽宁大连)如图，抛物线户c经过力(一1,0)、8(3,0)、C(0,

3)三点，对称轴与抛物线相交于点只与直线相相交于点机连接处.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点0,使△◎的与△冏7的面积相等，若存在，求点。的

坐标；若不存在，说明理由；

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点必使△/次犷与△发监的面

y

p

积相等，若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，说明理由.

2.（2011湖北十堰）如图，己知抛物线片V+H+C与*轴交于点/（1,0）和点B,

与y轴交于点。（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（1）,己知点〃（0,T）.问在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的

左侧），使得△刖？若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明理由：

（3）如图（2）,抛物线上点〃在x轴上的正投影为点£（-2,0）,尸是”的中点,

连接。EP为线段做上的一点,若/EP六/BDF,求线段形的长.

一\\L

BV\IEoA二

3.（2010天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线），=-/+法

+c与x轴交于点4、B（点A在点5的左侧），与），轴的正半轴交于点C,顶点为从

（1）若6=2,c=3,求此时抛物线顶点£的坐标；

（H）将（I）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形力跳右中满足S

△够二SfBC，求此时直线歌的解析式；

（III）将（I）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形1中满足S卡2s

△他，且顶点E恰好落在直线》=-4»3上，求此时抛物线的解析式.

4.(2011山东聊城)如图，在矩形⑦中，H8=12cm,BC=8cm,点、E、F、G分别从点

A.B、。同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点区G的速度均为2cm/s,点

厂的速度为4cm/s,当点/追上点G(即点/与点G重合)时，三个点随之停止移动.设

移动开始后第笈时，的面积为余iR

(1)当方=ls时\S的值是多少？

(2)写出S与1之间的函数解析式，并指出自变量1的取值范围：

⑶若点尸在矩形的边龙上移动，当［为何值时，以点从E、尸为顶点的三角形与

以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由.

5.(2011江苏淮安)如图，在中，Z6^90°,力仁8,B小6,点P在AB上,A六2,

点区尸同时从点尸出发，分别沿为、处以每秒1个单位长度的速度向点力、B匀

速运动，点夕到达点力后立刻以原速度沿四向点8运动，点6运动到点夕时停止，

点少也随之停止.在点从夕运动过程中，以即为边作正方形砒洱,使它与△相。

在线段4?的同侧.设昆方运动的时间为1秒(r>0),正方形EFGH与4ABe重叠

部分面积为S.

(1)当G时，正方形£/右〃的边长是.当片3时，正方形〃的边长是.

(2)当0VZW2时，求S与£的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当力为何值时，S最大？最大面积是多少？

AEPFB

c

G

AEPFB

备用图

三、测试提高

1.(2010山东东营)如图，在锐角三角形力仇?中，册12,仇?的面积为48,〃，E

分别是边力其力。上的两个动点(〃不与凡”重合)，且保持庞〃应；以以为边，

在点A的异侧作正方形DEFG.

(1)当正方形分尸G的边6F在欧上时，求正方形〃£7&的边长；

(2)设施二x,△28。与正方形比FG重叠部分的面积为外试求y关于x的函数

关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.

第四讲中考压轴题十大类型之

三角形存在性问题

板块一、等腰三角形存在性

1.（2011江苏盐城）如图，己知一次函数），=:十7与正比例函数），='的图象交于点

4

4且与x轴交于点自

（1）求点力和点8的坐标；

（2）过点力作力入y轴于点G过点8作直线/〃y轴.动点〃从点0出发，以每

秒1个单位长的速度，沿"〜力的路线向点4运动；同时直线/从点一出发，以

相同速度向左平移，在平移过程中，直线/交一轴于点兄交线段以或线段力。于

点。.当点P到达点力时，点尸和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点产

运动的时间为Z秒.是否存在以4A。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，

求「的值；若不存在，请说明理由.

（备用图）

2.（2009湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系矛⑪中，抛物线产与x轴

的交点为点力，与p轴的交点为点8,过点方作片轴的平行线与。，交抛物线于点C,

连结力C.现有两动点只0分别从。，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度

沿以向终点力移动，点。以每秒1个单位的速度沿以向点片移动，点〃停止运动

时，点。也同时停止运动，线段%,u。相交于点〃，过点〃作/应〃以，交。于点

E,射线0公交x轴于点£设动点R。移动的时间为六单位：秒）

⑴求4B,。三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

⑵当t为何值时，四边形血勿为平行四边形？请写出计算过程；

⑶当0</<2时<△/於的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明

2

理由；

⑷当方为何值时，△，沙为等腰三角形？请写出解答过程.

板块二、百角二角形

3.（2009四川眉山）如图，已知直线y=gx+l与），轴交于点4与x轴交于点〃，抛物

线y=gf+笈+c与直线交于/、£两点，与x轴交于反。两点，且夕点坐标为（1,

0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点〃在x轴上移动，当△必“是直角三角形时，求点，的坐标.

4.(2010广东中山)如图所示，矩形⑶的边长/斤6,除4,点b在加上，上2.动

点"、"分别从点〃、5同时出发，沿射线为、线段胡向点力的方向运动(点，"可

运动到%的延长线上)，当动点N运动到点力时•，欣N两点同时停止运动.连接

FM、FN,当尺M」犷不在同一直线上时，可得△月价；过『三边的中点作△见口设

动点KN的速度都是1个单位/杪，双”运动的时间为x秒.试解答下列问题：

(1)说明

(2)设0W4(即材从〃到力运动的时间段).试问x为何值时，△尸检为直角三

角形？当x在何范围时，△户0『不为直角三角形？

(3)问当x为何值时,线段批最短?求此时脉的值.

板块三、相似三角形存在性

5.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线），=奴?+法

+3与x轴的两个交点分别为4（-3,0）、B（1,0）,过顶点。作"Lx轴于点//.

（1）直接填写：4，b=,顶点。的坐标为；

（2）在），轴上是否存在点〃，使得△力切是以力。为斜边的直角三角形？若存在，求

出点〃的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点尸与顶点。不重合），于点Q,

当△/T0与△力）相似时，求点〃的坐标.

（备用图）

三、测试提高

1.（2009广西钦州）如图，已知抛物线），=3/十历十,与坐标轴交于尔B、C三点，A

4

点的坐标为（-1,0）,过点。的直线），3与x轴交于点0,点夕是线段%上

4f

的一个动点，过P作PH1OB于点、H.若PB=5t,且

（1）填空：点。的坐标是，b=,。=；

（2）求线段。〃的长（用含方的式子表示）；

（3）依点户的变化，是否存在C的值，使以鼻〃、。为顶点的三角形与△口。相似？

若存在，求出所有「的值；若不存在，说明理由.

第五讲中考压轴题十大类型之

四边形存在性问题

1.（2009黑龙江齐齐哈尔）直线y=-3x+6与坐标轴分别交于力、8两点，动点只Q

4

同时从。点出发，同时到达/I点，运动停止.点。沿线段如运动，速度为每秒1

个单位长度，点，沿路线运动.

(1)直接写出/、〃两点的坐标;

(2)设点0的运动时间为£秒，△"V的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;

(3)当5=翌时、求出点P的坐标，并直接写出以点。、只0为顶点的平行四边形

5

的第四个顶点,"的坐标.

2.(2010河南)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过4(-4,0),8(0,-4),。(2,0)三

占

八、、•

(1)求抛物线的解析式：

(2)若点必为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为明,协的面积为S.求

S关于/〃的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点尸是抛物线上的动点，点。是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够

使得点只0、B、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点。的坐标.

M

3.（2011黑龙江鸡西）已知直线），=Gx+46与x轴、y轴分别交于东夕两点，

/力除60°,%与x轴交于点U

（1）试确定直线式、的解析式；

（2）若动点，从/点出发沿力。向点。运动（不与力、。重合），同时动点。从。点

出发沿M向点力运动（不与C、力重合），动点户的运动速度是每秒1个单位长度，

动点。的运动速度是每秒2个单位长度.设的面积为S,尸点的运动时间为力

秒，求S与方的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当△力国的面积最大时，y轴上有一点肌平面内是否存在

一点M使以4Q、欣川为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出1点的坐标；

若不存在，请说明理由.

7

4.(2007河南)如图，对称轴为直线x=5的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)设点夕(x,y)是效物线上一动点，且位于第四象限，四边形困〃足以勿

为对角线的平行四边形，求四边形隔尸的面积S与x之间的函数关系式，并写出

自变量x的取值范围；

(3)①当四边形。口夕的面积为24时，，请判断四/是否为菱形？

②是否存在点区使四边形阳修为正方形？若存在，求出点£的坐标；若不

存在，请说明理由.

y

5.(2010黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，函数)'=2x+i2的图象分别交

x轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段0B的中

/占、、、•

(1)求直线4"的解析式；

(2)试在直线4V上找一点尸，使得丛叱=丛」如，请直接写出点〃的坐标；

(3)若点〃为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点"使以人

B、M、〃为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在,

请说明理由.

三、测试提高

1.(2009辽宁抚顺)已知：如图所示，关于x的抛物线

产小+x+c«力0)与x轴交于点/(-2,0)、点8(6,0),与y轴交于点C

(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

(2)在抛物线上有一点〃，使四边形相〃C为等腰梯形，写出点〃的治标，并求出

直线力〃的解析式；

(3)在(2)中的直线助交抛物线的对称轴于点机抛物线上有一动点Rx轴上

有一动点Q.是否存在以小秋P、。为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写

出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

第六讲中考压轴题十大类型之

线段之间的关系

（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形OAC8的顶点。在坐标原点，顶点/I、B

分别在x轴、），轴的正半地上，Q4=3,08=4,〃为边阳的中点.

（I）若E为边OA上的一个动点，当△CQE的周长最小时，求点E的坐标；

温馨提示：如图，可以作点。关于X轴

的对称点连接8'与X轴交于点E,

此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需

求出的长，就可以确定点E的坐标了.

y

B

（II）若七、尸为边Q4上的两个动点，且"=2,当四边形CD环的周长最小时，

求点E、b的坐标.

2.（2011四川广安）四边形力四是直角梯形，BC//AD,

ZBAD=9Q°,9与y轴相交于点机且"是比的中点，力、B、〃三点的坐标分别是

力（-1,0）,>7（-1,2）,〃（3,0）.连接〃队并把线段〃犷沿以方向平移到〃M若

抛物线）=加+法+c经过点〃、欣M

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点R使得若存在，求出点户的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为2点0是抛物线的对称轴上的一个动点，当

点0在什么位置时有最大？并求出最大值.

3.（2011四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点/（0,1）,方（T,4）,将点夕绕

点/顺时针方向旋转90°得到点G顶点在坐标原点的抛物线经过点B.

（1）求抛物线的解析式和点。的坐标；

（2）抛物线上有一动点R设点尸到x轴的距离为4,点Q到点力的距离为试

说明W=4+1；

（3）在⑵的条件下，请探究当点〃位于何处时，△处。的周长有最小值，并求出△

阳。的周长的最小值.

4.（2011福建福州）已知，如图,二次函数y=a/+2ov-3am00）图象的顶点为〃，与

X釉交于/、夕两点（8在/点右侧），点从8关于直线=对称.

（1）求力、〃两点坐标，并证明点力在直线/上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点8作直线以〃/〃交直线/于4点，机N分别为直线/1〃和直线/上的两个

动点,连接HN、NM、MK,求〃牝W/U必和的最小值.

5.(2009湖南郴州)如图L已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点"(一2,

-1),且P(—1,—2)为双曲线上的一点，0为坐标平面上一动点，为垂直于x

轴，垂直于y轴，垂足分别是4B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点0在直线加上运动时，直线加上是否存在这样的点0,使得△。掰与△以〃

面积相等？如果存在，请求出点。的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图2,当点。在第一象限中的双曲线上运动时，作以利、。。为邻边的平行四

图1图2

6.（2010江苏苏州）如图，以A为顶点的抛物线与），轴交于点夕.已知力、〃两点的坐

标分别为（3,0）.（0,4）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设例（加小是抛物线上的一点（加、〃为正整数），且它位于对称轴的右侧.若

以〃、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点2,必2+。笈+加2>28

是否总成立？请说明理由.

三、测试提高

1.（2009浙江舟山）如图，已知点力（-4,8）和点8（2,〃）在抛物线），=加上.

（1）求a的值及点〃关于x轴对称点〃的坐标，并在x轴上找一点0,使得力仆Q4

最短，求出点0的坐标；

(2)平移抛物线)，-办2,记平移后点力的对应点为"，点〃的对应点为ZT,点

C(-2,0)和点〃(-4,0)是x轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时,"aCB'最短，求此时抛物线的函数解析式;

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形/B9切的周长最

短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

第七讲中考压轴题十大类型之定值问题

1.（2011天津）己知抛物线G；），［=3"2-X十1,点尸（1,1）.

（I）求抛物线G的顶点坐标；

（H）①若抛物线G与y轴的交点为力，连接力兄并延长交抛物线G于点〃，求证:

11c

--+---=2;

AFBF

②抛物线G上任意一点〃（/，»）（0<xp<i）,连接用并延长交抛物线G

于点。（与，为），试判断工+±=2是否成立？请说明理由；

PFQF

cm）将抛物线&作适当的平移，得抛物线a：

2

y2=^（x-//）,若时，），24x恒成立，求力的最大值.

2.（2009湖南株洲）如图，已知△/1/%为直角三角形，Z4CB=90°,AC=8C,点A、

。在x轴上，点3坐标为（3,m）（加>0）,线段A3与y轴相交于点。，以P（1,0）

为顶点的抛物线过点8、D.

（1）求点A的坐标（用用表示）;

（2）求抛物线的解析式：

（3）设点Q为抛物线上点尸至点B之间的一动点，连结PQ并延长交8c于点连

结3Q并延长交4c于点F，试证明：R7（AC+EC）为定值.

3.(2008山东济南)已知：抛物线广加+bx+c(aW0),顶点。(1,-3),与x轴交于

48两点，A(-1,O).

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)如图，以4?为直径作圆，与抛物线交于点D与抛物线对称轴交于点区依次连

接小D、B、£,点P为线段位?上一个动点(〃与/、夕两点不重合)，过点夕作加J_/£

于机PN1DB于N,请判断也+型是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说

BEAD

明理由；

(3)在(2)的条件下，若点S是线段露上一点，过点S作尸鳍，分别与

边力尺在相交于点尺G"与儿夕不重合，G与E、〃不重合)，请判断2=竺是

•PBEG

否成立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

4.（2011湖南株洲）孔明是•个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们•起研究某条抛

物线），=♦（〃<0）的性质时.，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原

点.0,两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=O3=2后（如图1）,求。的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点。旋转到如图2所示位置时，过B作“_Lx

轴于点尸，测得。尸=1,写出此时点8的坐标，并求点A的横♦坐♦标・；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点。旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、3的

连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.

5.（2009湖北武汉）如图,抛物线），=♦+法-4〃经过A.L0）、C（0,4）两点,与x轴交

于另一点B.

（1）求抛物线的解析式：

（2）已知点。（皿〃?+1）在第一象限的抛物线上，求点〃关于直线回对称的点的坐

标；

（3）在（2）的条件下，连接协，点，为抛物线上一点，且NZW>=45。，求点〃的

坐标.

三、测试提高

1.(2009湖南湘西)在直角坐标系x%中，抛物线)，=/+以+c

与x轴交于两点从反与y轴交于点C,其中力在8的左侧，8的坐标是(3,0).将

直线)，二履沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C.

(1)求〃的值；

(2)求直线比和抛物线的解析式；

(3)求的面积：

(4)设抛物线顶点为〃，点，在抛物线的对称轴上，且

/APD-/ACB,求点〃的坐标.

4

3

2

-4-3-2-11234-v

-1

-2

-3

-4

第八讲中考压轴题十大类型之

几何三大变换问题

1.（2009山西太原）问题解决：如图（1）,将正方形纸片A3CO折叠，使点B落在8

边上一点E（不与点C,Q重合），压平后得到折痕A/N.当。=」时，求4”的值.

CD2BN

方法指导：

为了求得处的值,可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

类比归纳：在图（1）中，若里=则理的值等于；

CDBN-------

若学』则—的值于__________;若乌=!（〃

BNCDn

为整数），则4”的值于.（用含〃的式

BN

子表示）

联系拓广：如图（2）,将矩形纸片A3CQ折叠，使点3落在CZ）边上一点E（不与点

CE1

C,加重合），压平后得到折痕MN,设—=

BC）CDn

贝嚼的值等于含"?，〃的式子表示）

2.（2011陕西）如图①，在矩形力腼中，将矩形折叠，使夕落在边力〃（含端点）上,

落点记为£,这时折痕与边隙或边切（含端点）交于点凡然后再展开铺平，则以

B、E、/为顶点的△〃跖称为矩形力版的“折痕三角形”.

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△斯’是一个

________三角形；

（2）如图②，在矩形力及力中，A即2,叱4.当它的“折痕△麻尸’的顶点/位于

边力〃的中点时，画出这个“折痕△弼'，并求出点6的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中,力庐2,除4,该矩形是否存在面积最大的“折痕

△BEF9'2若存在，说明理由，并求出此时点£的坐标；若不存在，为什么？

图①

3.（2010江西南昌）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形

成的有关问题.

实验与论证

设旋转角N448=。。VN444）,%，％,°3,夕“展，娱所表示的角如

（2）图1一图4中,连接4〃时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线

4〃垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请

说明理由；归纳与猜想

设正〃边形444…4H与正〃边形AoBB…重合（其中,4与5重合）,现将正n

边形4区民…嬴绕顶点4逆时针旋转。（0。＜白（空）.

n

（3）设明与上述“夕3,%，…”的意义一样，请直接写出明的度数；

（4）试猜想在〃边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线4〃垂直且被

它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；

若不存在，请说明理由.

4.（2009山东德州）已知正方形力8⑦中，£为对角线劭上一点，过£点作比1劭

交〃C于凡连接〃RG为以中点，连接面，CG.

（1）求证：E"G,,

（2）将图①中△*绕8点逆时针旋转45。，如图②所示，取原中点G,连接a7,

夕.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理

由.

（3）将图①中△⑸如绕£点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）

中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

图①图②图③

5.（2010江苏苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见

图①、②.图①中，=90°,ZA=3O°,8C=6cm；图②中，ZD=90°,ZE=45°,

力匹=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△力E尸的直角边与△/%的斜边

力。重合在一起，并将△。瓦'沿力。方向移动.在移动过程中，〃、夕两点始终在NC

边上（移动开始时点。与点A重合）.

（1）在△。历沿力。方向移动的过程中，刘卫同学发现：R。两点间的距离逐渐

.（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△。所移动至什么位置，即A力的长为多少时，RC的连线与平行？

问题②：当△3EF移动至什么位置，即AO的长为多少时，以线段A。、小、的长

度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在△。所的移动过程中，是否存在某个位置，使得NFCO=15。?如果存在，

求出的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

(图②)

三、测试提高

1.(2009湖南常德)如图1,若△位和△血力为等边三角形，乱4分别以，⑦的中

点，易证：CD二BE,△4,哪是等边三角形.

(1)当把△被绕力点旋转到图2的位置时，①二班'是否仍然成立？若成立请证明，

若不成立请说明理由；

(2)当△3'绕/I点旋转到图3的位置时，△/施V是否还是等边三角形？若是，请

给出证明，并求出当力庐24〃时，△/M与及帆的面积之比：若不是，请说

明理由.

图2第九讲中考压轴题十大类型之

实践操作、问题探究

1.(2009陕西)问题探究

(1)请在图①的正方形AACO内，画出使N/阳力0。的一•个•点P,并说明理由.

(2)请在图②的正方形A8C。内(含边)，画出使N4处与0°的所•有•的点P，并说

明理由.

问题解决

(3)如图③，现在一块矩形钢板ABC。，AB=4,除3.工人师傅想用它裁出两块

全等的、面积最大的△川叨和4

CP1〃钢板，且/APF/CP'介60°,请你在图③中画出符合要求的点尸和尸'，

并求出aAPB的面积（结果保留根号）.

11r।I1r

J1_①_1LJ②LJ_③_L

2.（2011江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

谊NBAeo（00<^<90°）.现把小棒依次摆放在两射线力以力。之间，并使小棒两

端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点4开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，

A4为第1根小棒.

图甲

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）

（2）设4Al二A&二4&二1.

①。二______度；

②若记小棒的长度为4(〃为正整数，如44=%，4&=%，),求出

此时的,%的值，并直接写出/(用含〃的式子表示).

活动二：

如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，

且4A2二AA.

数学思考：

(1)若已经向右摆放了3根小棒，则4二，0=,%=；(用含

八82

e的式子表示)

(2)若只能摆放4根小棒，"本飞么____

,•AA，A,C

图乙

求。的范围.

3.(2009浙江义乌)已知点4、3分别是x轴、y轴上的动点，点。、〃是某个函数图

象上的点，当四边形45⑦(力、B、a〃各点依次排列)为正方形时，称这个正方

形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图，正方形48徵是一次函数)，=犬+1图象

的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数)，=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

(2)若某函数是反比例函数y=》Z>0),它的图象的伴侣正方形为力比〃点〃(2,

x

而(m<2)在反比例函数图象上，求力的值及反比例函数解析式；

(3)若某函数是二次函数y二小+以〃，。)，它的图象的伴侣正方形为/a〃aD

中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，

写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正

方形的个数是奇数还是偶数？.(本小题只需直接写出答案)

4..................1（3,4）

2

1

-2D_1~~2~3^x

4.（2011江苏南京）

问题情境

已知矩形的面积为a（d为常数，a>0）,当该矩形的长为多少时，它的周长最小？

最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为筋周长为y,则y与x的函数关系式为），=21+%>0）.

探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先