2024年十 圆的综合问题简单数学之中考二轮复习（解析版）（全国适用）

专题十圆的综合问题

一、非动态问题

例题1如图，在.A8C中，AB=AC,以AB为直径的OO交于点。，过点。作所_LAC于点E,交AB

的延长线于点尸，连接4。.

(1)求证：EF是O的切线.

(2)求证：Z\FBDS/XFDA.

⑶若7)尸=4,BF=2,求。。的半径长.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3

【解析】

【分析】

(1)连接OO,根据直径所对的圆周角是直角，以及AB=AC,根据三线合•可得CO=8。，近而可得OO

是AAC"的中位线，根据E/J_AC,即可证明EF是，。的切线；

(2)根据Er是0。的切线，可得NOQF=90。，结合乙4。8=90。，可得NB。"=NAOD,又。4=。。，

7

ZAOD=ZOAD,继而可得尸=ND4O=N£)A产，根据N"=N”,即可证明△/W)S2\FDA；

(3)根据△m。根据相似三角形的性质列出比例式代入数值可得.的长，即可求得AB,然后

求得半径长.

(1)如图,连接OO,

八B为。。的直径，

/.ZADB=90°,

即AD1CB,

VAB-ACr

CD=BD，

AO=BO,

.-.OD//CA,

丁EFA.AC,

:.EhOD,

即是:。的切线，

(2)7所是《。的切线，

ZODF=90°,

即£ODB+/BDF=骄,

•.ZADB=90。，

ZAD0+N8R=90。.

:.ZBDF=ZADO,

又OA=OD,

:.ZAD()=ZOAD,

:2BDF=ZDAO=ZZMF,

又♦,•/〃=/斤，

丛FBDs^FDA,

(3)△FBDSAFDA,

BFDF

---=----,

FDAF

0=4,BF=2,

."=四^=8,

BF

:.AB=AF-BF=S-2=6,

二.O的半径长3.

【点睛】

本题考查了圆的直径所对的圆周角是直角，三线合一，三角形中位线的性质与判定，切线的判定与性质,

相似三角形的性质与判定，掌握以上是解题的关键.

练习题

1.在中，NACB=90。，以BC为直径的。。交/W于点D.

图①图②图③

⑴如图①，以点8为圆心，8c为半径作圆弧交A3于点M,连结CM,若NA8c=66。，求NACM；

(2)如图②，过点。作。。的切线QE交AC于点E,求证：AE=EC；

3

⑶如图③，在(1)(2)的条件下，若〃〃酒=一，求SA4DE：S&4cM的值.

4

【答案】(1)NACM=33。

(2)证明见解析

4

(3)5△人QE：S^ACM=-

5

【解析】

【分

(1)证明aBCM是等腰三角形，求出NACM=N8MC=57。，由NACB=90。，求得NACM：

(2)证明△EQO0Z\ECO(SAS)，则DE=CE,得到NA=NADE,即可求解：

(3)设8c=3x,AC=4.r,AB=5x,则£Q=EC=gAC=AE=2r,由△AM〃SZ\A8C,得到5ZACM=：

xAOMH=^x4.r-x=—x2,同理可得：S^ADE=^AE*DI=^x2xx—x=—/,即可求解.

552525

(1)解：由题意知，BC=BM,

•••△8CM是等腰三角形

,?NABC=66。，

・・・/8MC=NBCM=g(180°-ZA^C)=57°,

•••NACB=90。，

/.NACM=ZACB-ZBCM=90°-57°=33°；

(2)解：如图④，连接OE,OD,

图④

TOE为圆。的切线，

：・2EDO=/EC()=90。,

・•・XEDO与AECO都是直角三角形

•：OE=OE,OD=OC,

：.AEDO^^ECO(HL),

:・DE=CE,

'：OD=OB

：.ZBDO=ZDBC

ZBDO+ZADE=90°,NO8C+NA=90。，

JZADE=ZA

：,AE=DE,

：,AE=CE^

(3)解：如图⑤，过M作MH_LAC于点〃，过。作。/J_AC于点/,连接C。,

VBC是。0的直径

:.NBDC=ZADC=90°

VZACD+ZA=90°,ZACD+ZDCB=90°,

ZA=ZDCB

3

tanZDCB=tanNA=一,

4

设BC=3x,AC=4x,

贝I」AB=yjAC?+BC?=5x，

'：AE=CE

・••点E为AC的中点

・•・ED=EC=^AC=AE=2x,

而AM=AB-MB—AB-BC=5x-3x=2x,

•••NA〃M=N4C8=90°,ZA=ZA

...〉AMHsXABC,

.MH_AM

,\MH=­x,

5

则S^ACM=；xACxM”=；x4xx-61=—12x2,

~55

•••N4〃?=N4C8=90°,NA=NA

AAD/^AABC,

48

同理可得：DI=—x,

25

ii4848

则—AE*DI——x2xx—.r——x2,

222525

4

所以SADE：S^ACM=-.

【点睛】

本题为圆的综合题，主要考杳了圆的性质，相似二角形的判定和性质，切线的性质定理、勾股定理等知识,

关键在于熟练应用定理和性质解决问题.

2.如图1,在RAAAC中，ZC=90°,以8C为直径的GO交斜边AB于点M,若〃是4c的中点，连接

MH.

(2)若芸=］，求0O的半径.

4LJ>

⑶如图2,在(2)的条件下分别过点A、8作。的切线，两切线交于点。，AO与0。相切于点N,过N

点作NQ上BC,垂足为£且交OO于。点，求线段AO、CN、NQ的长度.

48

【答案】(1)见解析(2)2(3)百

【解析】

【分析】

(1)连接。H、0M,易证OH是的中位线，利用中位线的性质可证明△COH丝△M。”，

所以NHCO=ZHMO=90°,从而可知MH是C。的切线；

3

(2)由切线长定理可知：="C,再由点M是AC的中点可知AC=3,由tanZABC=-,所以8C=4,

4

从而可知。的半径为2；

(3)连接CMAO,CN与AO相交于/,由AC、AN是(O的切线可知AOJ_CM由勾股定理可求AO长

度，利用等面积可求出可求得C7的长度，再由垂径定理即可求CN的长度，设。石=大，然后利用勾股定理

可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ.

(1)连接。〃、OM,

•・•〃是AC的中点，。是8c的中点，

・・・。”是△A8C的中位线，

：.OH//AB,

：・2C0H=ZABC,ZMOH="MB,

又：OB=OM.

NOMB=/MBO,

・•・KOH=NMOH,

在4cOH与AMOH中,

OC=OM

<NCOH=NMOH,

OH=OH

△CO”/ZkMOH(SAS),

，/HCO=NHMO=90。，

:・MH是-。的切线；

(2),・""/、八C是。的切线,

3

，HC=MH=-

2

・•・AC=2HC=3,

・,4C3

.----=一，

BC4

・•・BC=4,

・••，O的半径为2.

(3)

连接ON,OA与CN相交于点/,

•・FC与AN都是。的切线，

AAC=AN,AO平分NCAO,

，AOA.CN,

VAC=3,OC=2,

・•・由勾股定理可求得：40=713

y-ACOC=-AOCI,

22

・e_6713

••c/=-----,

13

・•・由垂径定理可求得：CN=«叵，

13

设OE=x,由勾股定理可得：CN2-CE2-ON2-OE1,

0E=—

13

由勾股定理可求得：EN=~^,

48

・•・由垂径定理可知：NQ=2EN=—.

A

本题考杳圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理,全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识内容，综

合性强，熟练掌握知识点是解题的关键.

3.如图，点尸在)，轴的正半轴上，。尸交x轴于8、C两点，以AC为直角边作等腰阳A4CD8。分别交

y轴和0P于E、F两点,连接AC、FC,AC与8。相交于点G.

(1)求证：ZACF=ZADB；

(2)求证：CF=DF；

(3)/08。=°；

(4)若08=3,OA=6,则△G。。的面积为

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45(4)15

【解析】

【分析】

(1)连接AB,由圆的轴对称性可得48二AC,则A8二A。，即可证明结论；

(2)rtlN4CD=/AOC,ZACF=ZADF,则有NACO—N4CT=NADC—ZADF,即NFCD=NFDC,得CF=DF；

(3)连接AF,由(2)JnCF=DF,则A尸是CO的垂直平分线：得A尸平分NC4。，再利用圆周角定理可

得答案；

(4)作C”_L8Z)于“，利用勾股定理可得AC=3石，CD=&AC=3M，

DH々CD，-CH，=-90-18=6、或，再由△£)CGsZ\O8C，得DC?=OGQ3，代入求出。G的长，从而

得出答案.

.\BO=CO,

：.AB=AC,

又•・・AC=A。，

：.AB=AD,

工NABD=NAD3,

乂•：乙ABD=Z1ACF,

・•・Z.ACF=NADB；

(2)解：-：AC=AD,

:.ZACD=ZADC,

*/ZACF=ZADF,

•・•AACD-ZACF=ZADC-ZADF,

・•・即/产CD=NFOC,

：.CF=DFx

(3)解：如图，连接AF,

由(2)知CF=DF,

••・点/在CQ的垂直平分线上，

'：AC=AD,

・•・点A在CQ的垂直平分线上，

・・//是C。的垂直平分线，

尸平分NC4D.

^CAF=-NG4O=1x90°=45°,

22

：,ZCBD=ZCAF=45Q,

故答案是：45；

(4)解：如图，作。，于从

•••08=003,ZDBC=45°,

，CH=BH=3叵，

V0A=6,0C=3,

:.AC=3石，

/.CD=>/2AC=3\[U),

DH=y/cif-CH2=190—18=6直，

，DB=BH+DH=9叵，

VZACD=ZDBC,NCDG=/BDC,

AADCG^ADBC,

/.DC?=DGDB，

即：(3屈y=QG.9VL

・•・0G=5&，

:.S“w=-xDGxC//=-x5V2>：3V2=15.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆的对称性、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直

角三角形的性质等，利用前面探索的结论解决新问题是解题的关键.

4.如图，四边形ABCO内接于半圆。，8c是半圆。的直径，CE是半圆。的切线，CE_LAT)交A力的延长

线于点E,DE：BC,0E与CD相交于点广，连接和'并延长交AE的延长线于点G,连接CG.

4

(1)求证：AD//BC.

(2)探究。产与班'的数量关系.

(3)求tanNGBC的值.

【答案】(1)见解析(2)空=:，见解析(3)立

B卜25

【解析】

【分析】

(1)由切线的性质得到N8CE=90。，再由CEJ_A。得到NA£C=90。，最后由平行线的判定方法解答；

(2)连接0D,由平行线的性质判定®'G-Q股@由相似三角形对应边成比例证得

DE=：OC=EG,继而证明四边形。。CG是菱形，再证明&OCQ二aGQXSAS),由全等三角形对应边相等

证得。尸二FG,最后根据相似三角形的性质解答；

(3)过点G作G"_LBC的延长线于点“，证明△DCG是等边三角形，四边形£CHG是矩形，设OC=r,

EC=与r=GH,CH=；r,继而解得最后根据正切的定义解答即可.

⑴解：是半圆。的切线，

.•.NOCK—90。，

QADICE,

.\ZAEC=90°.

/.ZBCE+ZAEC=180°,

:.AD//BC；

(2)连接OD,

AG!IBC,

:qEFGgFB、山FE£FO,

.EG_EFDEEF

~Bd~~OFJ~OC~~OF，

.EGDE

~BO='OC'

OB=OC,

EG=DE,

DE=-BC,

4

/.DE=L()C=EG,

2

:.DE+EG=OC,

DGHOC,

二.四边形DOCG是平行四边形，

・；OD=OC,

..•四边形QOCG是菱形，

/.OC=CG,NOCD=NGCD,

OCmGCIXSAS),

:.OF=FG,

:.正FGOFB,

EGFG1

/.——=——=—,

OBBF2

•_O_F___1

BF2

(3)过点G作GH1BC的延长线于点H,

vDE=EG,CE!DG,

:.DC=GC,

丁四边形OOCG是菱形，

/.DC=CG=DG,

.1DCG是等边三角形，

设0C=/，/.GC=r,EG=-,

2

EC=—r=GH,

2

，,GHIRC,CE±AG,CE±BC,

...NGEC=ZECH=4CHG=90°,

••・四边形ECHG是矩形，

:.CH=EG=-IX)=-OC=-r

222f

?.BH=2r+-r=-r

22t

:.RtBHG中,

2r

GH2G

tan/G4C=

~BH=~5~=~T

-r

2

【点睛】

本题考查几何与圆的综合，涉及切线的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正切、全等三角形

的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识

是解题关键.

5.【概念提出】圆心到弦的距离叫做该弦的弦心距.

【数学理解】如图①，在中，是弦，OPJ.AB,垂足为P,则OP的长是弦人A的弦心距.

②

(1)若0。的半径为5,OP的长为3,则4B的长为.

(2)若。的半径确定，下列关于人B的长随着0P的长的变化而变化的结论：

①48的长随着OP的长的增大而增大；②A8的长随着0P的长的增大而减小；③A8的长与0P的长无关.

其中所有正确结论的序号是.

(3)【问题解决】若弦心距等于该弦长的一半，则这条弦所对的圆心角的度数为

(4)已知如图②给定的线段E尸和。，点。是。内一定点.过点。作弦A8,满足=请问这样的

弦可以作条.

【答案】(1)8；(2)②;(3)90。；(4)2条.

【解析】

【分析】

（1）连接。小由勾股定理求出AP=4,再根据垂径定理得出答案：

（2）设。。的半径为〃（/>0）（定值），OP=x（x>0）,利用勾股定理得

AB2=2（AP）2=4Ap2=4^OA2-OP2=4（r2-x2）=-4x2+4r2,从而得出答案；

（3）连接。A,Oli,由题意知（¥=AP,则NA。产=45。，可得答案；

（4）作。PM/mQCB,则根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条.

（1）解：连接。A,如图，

•：OP±ABt

：.AP=BP=^AB,

22

在心△OAP中,由勾股定理得：AP=S/OA-OP=4,

・••止24尸=8,

故答案为：8；

①

（2）解：设。。的半径为广（/>0）（定值），OP=x（x>0）,

由（1）知，AB=2AP,

仍JoT-CP2，

AB2=2（AP）2=44产=4（JOA2_o尸）-=4（r2-x2）=-4x2+4r2,

•••二次项-4/的系数.4VO,

.•.x>0时，4不随x的增大而减小，

\'OP>0,

・•"¥随X的增大而减小,

也随x的增大而减小，

即AB的长随0P的长增大而减小,

故正确结论的序号是②，

故答案为：②；

(3)解：连接。4,OB,

•・•弦心距等于该弦长的一半，

：.OP=AP,

NAOP=45。，

・•・NAO8=2NAOP=90。，

故答案为：90；

(4)解：如图，作，则

根据圆的轴对称性可知，这样的弦可以作2条,

故答案为：2.

②

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质,

熟练掌握基本作图方法.

6.己知。为AACD的外接圆，AO=CD.

(1)如图I，延长人。至点8,使用)=4),连接6.

B

①求证：A48C为直角三角形；

②若：。的半径为4,AD=5,求BC的值：

⑵如图2,若NA0C=9O。，E为。上的一点，且点。，石位于AC两侧，作AAQE关于AO对称的图形

连接QC,试猜想QA,QC,Q。三者之间的数量关系并给予证明.

图2

【答案】⑴①见解析：②?2s；

4

⑵QC2=2QD2+QA2,理由见解析

【解析】

【分析】

（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；

②连接。4,0D,利用垂径定理得到0DJ_4C且AH=C”，设。则0”=4-x,利用勾股定理列出方程

求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；

（2）猜想QA,QC,Q。三者之间的数量关系为：。。2=2。/）2+。42.延长QA交。。于点F,连接DF,FC,

由已知可得/D4C=NOCA=45。：利用同弧所对的圆周角相等，得到N。/加NE=NOCA=45。，ZDFC=Z

D4C=45。，由于△4。。△与AOE关于4。对称，于是/。。4=/斤45。，则得/为等腰直角三角形，△QFC

为直角三角形：利用勾股定理可得：。。2=。尸+。尸，。尸=2。。2；利用^QD4g△「£>(:得至l]QA=FC,等量

代换可得结论.

(1)①・.AO=CO.BD=AD，

DB=DC.

:・/B;ZDCB,

：,ZBAC=ZDCA,

*/ZB+ZBAC+ZDCB+ZDCA=180°,

AZDCB+ZDCA=90°.

・•.A48C为直角三角形：

②连接。4,OD,如图，

-AD=CD,

•••AD=CD，

.•.OQ_LACH.A”=C〃.

O的半径为4,

..OA=OD=4.

设D”二x,则O〃=4-x,

〈AH2=OA2-OH；

AH2=AD2-DH2，

2

/.52-x2=42-（4-A:）.

解得：X=?25.

o

8

由①知：BCLAC,

-ODLAC,

:.OD//BC.

•1AH=CH,

25

/.BC=2DH=—.

4

(2)04,QC,Q。三者之间的数量关系为：QC2=2Q02+QA2理由:

延长以交0。于点尸，连接。尸，FC,如图，

­/Z4DC=90o.AD=CD,

ZmC=ZDC4=45°.

/.Z.DFA=ZE=ZDCA=45°,ZDFC=ZDAC=45°.

ZQFC=ZAFD+NDFC=90°.

/.QC2=QF2+CF2.

A4QQ与AA£厉关于AO对称，

NDQA=NE=45。,

：.ZDQA=ZDFA=45°f

：.DQ=DF.

：.NQDF=1800-NDQA-NQFD=90°.

DQ2+DF1=QF1.

B|JQF2=2DQ2.

•・•NQDF=ZADC=90。,

ZQDA=ZCDF.

在AQD4和AFDC中,

4QAD=4DCF

</。。4=/。/。=45。，

DA=DC

:^QDA=\FDC（AAS）.

：.QA=FC.

.•."2=20。2+加.

【点睛】

本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直

角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解

法.根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键.

7.定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形.如图1,在△ABC

和中，若NA+N£=N〃+N£>=90。，且八。=/）£,则△八〃。和△/）石/足余等二角形.

（1）图2,等腰直角△48C,其中NAC8=90。，4C=BC,点。是A8上任意一点（不与点A,8重合），则图

中A和4_______是余等三角形，并求证：Al^+BD^ICD2.

⑵图3,四边形A8CO是。。的内接四边形，。。的半径为5,且A〃+BC^nlOO,

①求证：△ABC和aAOC是余等三角形.

②图4,连接4。交AC于点/,连接O/,£为4/上一点，连接£0并延长交用于点R若NAQS67.5。,

IE=IF,设0/=x,SAEIF=y,求y关于x的函数关系式.

【答案】（l）ACD；BCD；证明见解析；

（2）①证明见解析；②）,J2—2—25.

4

【解析】

【分析】

（1）根据题FI中余等三角形的定义和等腰直角三角形的性质即可得到△八和4。。。是余等三角形.过。

作DE_LAC于E,过。作。/_L8C于尺根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数分别用AD和BD表示

OE和。凡再根据矩形的判定定理和性质确定CE=。凡再根据勾股定理即可证明；

(2)①连接。。并延长交于G,连接AG、CG.根据圆周角的性质和勾股定理确定AG=BC,根据圆周

角的性质和等量代换思想确定NACD+NB4C=90。，结合圆内接四边形的性质可证明ND4C+NACB=9()。，最

后根据题目中余等三角形的定义艮1可证明；

②连接04、OB,过。作。于M,过。作0N_LAC于M设OM=h.根据①中结论和圆周

角的性质可确定ACJ_8。，根据圆周角的性质，全等三角形的判定定理和性质确定再结合矩形的

判定定理和性质，锐角三角函数把aO/M和△08M的边用小儿x表示出来，根据勾股定理得到mb,x

之间的关系式，再将其代入三角形面积公式即可得到>'与x的关系式.

(1)解：如下图所示，过。作力EJ_AC于E,过。作。凡L8C于r.

•・•等腰直角三角形△A&?中，ZACB=90°,

，NA+N8=180°-NACB=90。，ZACZHZBCD=90°.

VXC=BC,

/.AACD和△BCD是余等三角形.

故答案为：ACD,BCD.

:△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，AC=BC,

・・.NA=N8」8(〜4°=45。.

2

'：DEVAC,DF1BC,NAC8=90°,

：.DE=ADxsinZA=VAD,DF=BDxsin/B=~BD,四边形CEO产是矩形.

22

：,CE=DF=^BD.

2

*：DE±ACt

：.DE2+CEr=CD2.

传明轲=CD2.

AX£>2+BD2=2CD2.

(2)解：①如下图所示，连接。。并延长交。。于G,连接AG、CG.

•••0G是。。直径，且0。的半径为5,

・・.NGAO=90。，DG=\O.

：.AI^+AG2=DG2=100,NAGQ+NAOG=1800-NGAD=90°.

,：AD2+BC2=]00,

：.AG=BC.

/.NACG=NZMC.

•・•N4OG和NACG都是所对的圆周角，ZAGD和NACZ）是从。所对的圆周角,

・・・NAOG:NACG,NAGD=NACD.

：.ZADG=ZBAC.

,/ZAGD+ZADG=90°.

・•.ZACD+ZBAC=90°.

•・•四边形ABCZ）是。。的内接四边形，

，ZBAD+ZBCD=180°,即NBAC+NQAC+N4CB+Z4CD=180°.

，ZDAC+Z^CB=90°.

••YC是公共边，

・二匕ABC和AAOC是余等三角形.

②如下图所示，连接。4、OB,过。作OM_L8。于M,过。作OMLAC于M

A

VZ/AC7J和/A/3"都是是AQ所对的圆周角,

工NACD=NABD.

,?ZACD+ZBAC=90°,

.•・ZABD+ZBAC=90°.

・•・ZAIB=\S00-ZABD-ZBAC=90°.

：.ACLBD.

•：IE=IF,

•••△七//是等腰直角三角形.

.•./尼广/而后幽3=45。.

2

AZ.AEO=180°-Z7£F=135°,ZOFB=180°-Z/FE=135°,N4OE—NOAE=45°.

・•・NAEO=NOFB.

VZADB=67.5°,N4O区和N4Z18分别是人“所对的圆心角和留周角,

ZAOB=2ZADB=\35°.

・•・AA0E+ZBOF=180°-Z40«=45°.

：・/OAE=/BOF.

,:GO的半径为5,。4和BO是C。的半径,

：,OA=I3O=5.

:・AAOE*4QBF(AAS).

：.OE=BF.

V0M1BD,0N1AC,ACLBD,

・•・四边形OM/N是矩形.

:・NI=OM,MI=ON.

设0E=mOM=b.

A

:・BF=a,Nf=b,FM=0L=〃,MI=ON=OExsENIEF=^a,EN=OExcosZ/EF=—a

tanZ/FE22

BM=BF+FM=a+b,IE=EN+NI=a+b.

2

222

•・•在RtZ\O/M中，O/W+M/2=O/2,oi=x,在RtZXOBW中，OM+BM=BO,

・•・〃+乎］=x2,即/+2从=2f,b2+(a+b)2=52,即/+2〃+2"=25.

2

*：IE=!F

+勿)+也劭=、2八也(汩马(2-20产+25应

S^EIF

4V7242I2"I-

.(2-2血卜2+25夜

y~4~

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，圆周角的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质，矩形

的判定定理和性质，锐角三角函数，综合应用这些知识点是解题关键是解题关键.

8.如图1,在等腰,48。中，A8=AC=2x/J,N8AC=120。，点。是线段8C上一点，以。。为直径作。。，

。经过点A.

⑴求证：A8是。的切线;

(2)如图2,过点A作AE_L8c垂足为E,点尸是上任意一点，连结E尸.

①如图2,当点尸是法的中点时，求需的值；

FF

②加图3,当点尸是。。上的任意一点时，工的值是否发生变化？请说明理由.

⑶在⑵的基础上，若射线M与的另一交点G,连结EG,当NGEF=90。时，直接写出|斯-明的

值.

【答案】(1)见解析

FFIFFpp1

⑵①三二::②芸的值不发生变化，仍为笠=理由见解析

BF2BFBF2

(3)|£F-EG|的值为友.

【解析】

【分析】

(1)连接0A,证明A0_LA8即可.

⑵①连结OF,04,利用三角函数，勾股定理分别是E凡8尸的长.

②连结。尸，证明AEO/

(3)分点G在点尸的左侧和右侧两种情形求解.

(1)证明：如图1,连结40.

•・•AB=AC,ZBAC=120°,

I.ZB=ZC=30°.

•••以DC为直径作0O,0。经过点A,

・•・ZOAC=ZC=30°,

・•.ZBA0=9()0,

・•・OA1AB,且点A在I。上，

/.人8是O切线.

⑵①如图2,连结OF,OA.

•・•OALAB,AELBC,Z5=ZC=30°,

/.OF=AO=ABtanNABO=273xtan30°=2,

BE=ABcosZABO=2x/3xcos300=3,OB=2AO=4,

，EO=4-3=1,

:点尸是0c的中点,

OFLDC,

：•=@=石，BF=V42-F22=2X/5

EF_x[5_1

~BF~245~2

图2

②答：黑的值不发生变化，仍为第=〈，

BFBF2

理由如下：连结OF,

..OE_1OF_2I

*~OF~1'

.OEOF

••~OF=~OB'

丁/EOF=/FOB,

，亚OFsMOB,

,EFOF\

..--=---=—.

BFOB2

①如图4,当点G在点尸的左侧时，连结OG,,DG,FC

..OEOG\

•OG~~OB~2'

•・•/EOG"GOB,

・•・&EOG—&GOB

EGOG1

—=—=/EGO=NGBO,

BGOB2

,•设EG」BG=x

2

・•AEOFsbFOB，

FFOFI

—=—=-,NEFO=4FBO,

BFOB2

•・V^EF=^BF=y

••/LEFO=/EGO=ZO13G,/EHG=NFHO,

•./GEF=NGOF=90。、

•.GF=y/2OF=2y/2,

，•2y-2x=2y/2,

即v-x=5/2.

②当点G在点尸的右侧时，同理求得y-A=-x/2;

|y-x|=5/2.

图5

综上所述：|痔-EG|=VL

【点睛】

本题考查了圆的切线，三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的基本性质，熟练掌握三角函

数，三角形相似的判定，圆的基本性质是解题的关键.

9.【证明体验】

(1)如图1,过圆上一点A作G。切线A。，AC是弦(不是直径)，若是直径，连接8C,求证:

ZmC=ZABC；

(2)如图2,若"不是直径，ZDACZABC(填或』”)；

(3)如图3,(1)、(2)的结论是否成立，说明理由；

【归纳结论】

(4)由以上证明可知：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的；

【结论应用】

(5)如图4,A8C内接圆于弦交4c于尸，过点A作的切线AD,交防的延长线

9

于点D.若AO=6,sinZ4CT=-,求线段踮的长.

图2图3图4

【答案】(1)=；(3)成立,理由见解析；(4)圆周角：(5)5.

【解析】

【分析】

(1)根据及切线的性质、直径所对的圆周角是直角即可得结论；

(2)根据直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等与切线的性质可得结论；

(3)连接A。，延长A。与CO交于点E,连接CE；根据圆周角定理与切线性质可得结论；

(4)根据前三个小题的结论即可得答案；.

(5)连接AE,AE为的直径，根据(4)的结论及解直角三角形、结合勾股定理可得答案.

【详解】

(1)证明：如图1.

•••A8是(。直径，

・•・ZACT=90°

・•・ZABC+ABAC=9()°

•••△。是。的切线

・•・/BAO=90。

・•・^DAC+ZBAC=90°

・•・/DAC=ZABC

(2)『(写文字”等于”也对)

(3)成立，理由如下：

如图3,连接40,延长A0与G。交于点E,连接C£

图3

TAE是。直径

・・・ZACE=90。，ZAEC+ZEAC=90°

•1A。是O的切线

・•・ZE4D=90°

・•・ZmC+ZE4C=90°

：.ADAC=ZAEC

又丁ZABC=ZAEC

・•・^ABC=ZDAC

(4)解：切线与弦的夹角等于它所夹的弧对的圆周角;

故答案为：圆周角：

(5)证明：如图4,连接AE

图4

VBE1AB,即ZA8E=90°

:.AE过圆心

丁人。是。的切线

/.ADAB=ZACB=ZAEB,ZZME=90°

2

XVsinZACZ?=-

3

.•・sinNDAB=sinNAEB=sinZACB=-

3

在RtZ\ABO中，AD=6

：.DB=ADs\nZDAB=6x-=4

3

在Rt.DAE中，AD=6

AD八

,DME=-----------=-6=9

••sinZ.AEB2

3

・•・BE=DE-DB=9-4=5

【点睛】

此题考杳了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆冏角相等、勾股定理、三角函数等知识，准确而熟练

地运用这些知识是解决此题的关键.

10.定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如：凸四边形A8CQ中，若NA=/C,

NBHNO,则称四边形A3C。为准平行四边形

A

⑴如图①，半圆0的直径为AC,OALOB，点石在过点A的切线上，且点。是/上的动点

(不在点A、C上)，求证：四边形4E8O为准平行四边形.

(2)如图②，准平行四边形ABC。内接于。。，N国ND,若。。的半径为5,AB=AD,则①准平行四边形

A8CD的面积S是线段AC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式：如果不是，请说明理由；

②注平行四边形八。C。的面积S有最大值吗？如果有求出最大值，如果没有，说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)①是，S=S^ACE=^x2：②没有，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)可说明△048,A/WE是等腰直角三角形，得NE=45。，再利用圆周角定理得NQ=*NAOA=45。，

则NE=ND,再说明NE8DVNE4Q,从而证明结论：

(2)①将△AC。绕点4顺时针旋转90。，得ZUBE,则NA8E+/4BC=180。，知点E,B,C三点共线，可

得A4CE是等腰直角三角形，从而得出S=S^ACD+S^ABC=S^ABE+S^ABC=S^ACE=；

②当AC最大时，S最大，此时AC为直径，则NA5C=NAOC=9()。，此时四边形44。。不是准平行四边形，

与题意矛盾.

⑴证明：VOALOB且OA=OB

•••△048是等腰直角三角形，

则NOA8=NABO=45°

,・YE是圆。的切线，

：.OA±AE,则NB4E=45。

又*•密BA,

AZE=45°,ZEBA=90°,

而/。［乙4(用=45。

AZE=ZD

•••NABQ<N4BO=45。，NO/1O>/OAC=45。，

A^ABD<^OAD,则NA8Q+90°<NOAQ+90。，即NEBZXNEA。

:.四边形AEBD为准平行四边形

(2)解：①准平行四边形A8CO的面积S是线段AC的长x的二次函数，理由如下:

E\-----

•••往平行四边形43co内接于。O,4B,4D,

・・・NA4O=N8C。，NZM£>+/3CD=180。，

贝|JNBAD=NBCO=90。，

是直径BZ>10,

•.Y8=AZ),将扇。。绕点A顺时针旋转90。，则A。与4B重合，因为A8CO内接于圆，:ZABC+ZZ>180°,

NABE=ND

:.ZABE+ZABC=\SO°

由旋转性质可知：AE=AC,

•••△ACE是等腰直角三角形

/.S=S^ACD+S^ABC=S^ABE+S^ABC=S^ACE=-x2

2

②准平行四边形ABCD的面积S没有最大值

因为当S最大时，工就最大，

即AC最大，此时AC为直径，

又因为△A8D也是等腰直角三角形，AC和8。都是直径，

则此时四边形ABC。是正方形，不是准平行四边形，与题意矛盾.

所以准平行四边形ABCD的面积S没有最大值.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，旋转的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质等

知识，理解准平行四边形的定义是本题的关键，添加恰当的辅助线是本题的难度.

二、动点问题

例题2(2024.浙江温州.三模)如图，在。。中，人B是直径，点。在圆内，点。在圆上，COJ_半径04于

点号延长4D交。。于F点，连结8F.当点M从点C匀速运动到点D时，点N恰好从点8匀速运动到

点A,且M,N同时到达点£

⑴请判断四边形尸的形状，并说明理由.

(2)连结AM并延长交。。于点G,连结OG,DN.记CM=x,AN=y,已知y=12-近x.

①求出AE和8尸的长度.

②当M从C到E的运动过程中，若直线OG与四边形BFDN的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件

的工的值.

【答案】⑴矩形，理由见解析(2)①4E=4,Br=46；②4立-4、6夜-4指和4五

【解析】

【分析】

(1)由题意得必=处，进而证明△AOES\8C。，推出//8090。，从而得证；

CDCEZ

(2)①当变量x=0时，求出圆的直径是12,进而由C©=AE・8£求得；

②分为0GJ_8N,0GA.DF,OG_LON三种情况，利用相似三角形的性质求解即可.

(1)解：四边形AC8”是矩形，

理由如下：如图1,

由题意得，

ABBE

~CD~'CE'

.AB-BEBE

CD-CE~~CE'

.AERE

乂NAED=NBEC,

：.\ADES4BCD,

・•・£DAE=NCBE,

：.AF//CB,

AZC5F+ZF=180°,

•・Y8是。。的直径，

/.ZF=90°,ZACB=90Q,

AZCTF=1800-ZF=90°,

・•・四边形AFBC是矩形；

(2)解：①当CW=()时，AN=AB=12,

当CM=CD时，

AN=AE=\2-6CD,

•・•NACB=90。，

：,ZBAC+ZABC=90°,

,?ZAEC=90°,

NACE+NB4G90。，

・•・/ACE=NABC,

:.XACEsRCBE,

:・CE2=AE・BE,

:・CU=(12-V?CE)・VJCE,

・・・CK=4后，

：.AE=\2-V2CE=4,

.•・BFMCZCE'AE?=46；

②如图2,

当0GJ_8N时，

〈CD上AB,

：.CD//OG,

・•・AAEM^^AOG,

AEOG

・・------=------=1,

EMOA

：,EM=AE=4,

：,x=CM=CE-EW=40-4,

当。G_L。/时，如图3,

・•CG;BG，

：.ZCAG=ZBAG,

作M，_LAC于，，

：.HM=ME,

VS^ACE=SAAEM+SAACM,

・••yyAE-EA/+1AC-HM,

A4x4拒=4・£M+48・EM,

AEMM76-272，

：,x=CD=CE-EM

=4及-(4x/6-2加)

=672-476，

当。GJ_ON时，如图4,

图4

此时尸CE=4&,

综上所述，产4&-4、6忘・4布和4板.

【点睛】

本寇考查了圆的有关性质、三角形相似判定和性质、矩形的判定等综合知识，解决问题的关键是是理解变

量工与y的对应关系：当入=0时，产12,即求出圆的半径是12.

练习题

1.（2024.浙江温州•一模）如图，在矩形A8CO中，A8=8,8c=6,E是线段A8上的一个动点，经过A,

D,E三点的。。交线段AC于点K,交线段CD于点儿连接OE交线段AC于点F.

(1)求证：AE=DH；

(2)连接。K,当。£平分NAOK时，求线段£>£的长；

(3)连接HK,KE,在点£的运动过程中，当线段HK,KE中满足某两条线段相等时，求出所有满足条

件的AE的长.

【答案】(1)证明见解析

喈

79

(3)AE的长为二或弄或3

42

【解析】

【分析】

(1)连接证明四边形AO"E是矩形即可；

(2)根据勾股定理可求出47=10.由角平分线的定义和圆周保定理可知AE=EK-根据

An

。七为。O直径，结合垂径定理，即可确定。七_LAC,从而可求证/A/»=NC48.最后根据cos//WE=

7D7Er

=8sNC4B=«=g,即可求出DE的长；

(3)分类讨论当，K=KE时、当OH=KE时和当时，根据解直角三角形和圆周角定理分别求解

即可.

(1)证明：连接“七，如图1所示：

•・•矩形ABCZ),

：,ZDAB=ZADC=90°,

・・.Z)E为。O直径,

JNDHE=90。.

•・•四边形ABC。是矩形，

，NADH=/DAE=9()。,

・•・四边形是矩形，

：.AE=DH；

(2)解：如图2所示：

;四边形A8CQ是矩形，

AZB=ZADC=90°,