浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

第页浙江省金兰教育合作组织2024学年第一学期期中考试高二年级数学学科试题命题学校：柴桥中学审题学校：龙赛中学书生中学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A.或 B.或C D.【答案】A【解析】【分析】计算出，即可判断得解.【详解】．．或．故选：A.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程即可计算.【详解】双曲线化为标准方程：，由题意得，，则其渐近线方程为，即，故选：D3.设为空间的一个基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若向量以为基底时的坐标为，则可以为基底时的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理代入计算即可.【详解】由题意得，则可以为基底时的坐标为.故选：C.4.设圆和圆交于两点，则弦的长度为（）A.4 B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】先用两圆方程相减求得公共弦方程，再利用垂径定理求解弦长即可.【详解】两圆方程相减得公共弦方程为，圆心，到公共弦的距离为，所以所求弦长为.故选：A.5.已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A.直线的斜率 B.直线过定点C.若，则或 D.若，则或【答案】D【解析】【分析】时，直线的斜率不存在，可判断A；求出直线所过定点的坐标，可判断B；根据两直线平行的充要条件求出实数的值，可判断C；根据两直线垂直的充要条件求出的值，可判断D.【详解】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误；对于B，，当，可得，所以直线过定点，故B错误；对于C选项，当时，或，解得，故C错误；对于D选项，当时，，解得或，故D正确.故选：D.6.对于方程，表示的曲线，下列说法正确的是（）A.曲线只能表示圆、椭圆或双曲线B.若为负角，则曲线为双曲线C.若为正角，则曲线为椭圆D.若为椭圆，则曲线的焦点在轴上【答案】B【解析】【分析】对于A，根据的取值，即可判断；对于B若为负角，即，结合双曲线标准方程的形式，即可判断；对于C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项.【详解】对于A，当，即时，曲线的方程为，即，此时曲线为两条平行的直线，故A错误；对于B，若为负角，即，则，此时曲线为双曲线，故B正确；对于C，若为正角，即，当时，，则曲线的方程为1，是圆，故C错误；对于D，若为椭圆，当，，又可变形为，则为焦点在轴上的椭圆，故D错误．故选：B.7.已知二面角，、两点在棱上，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则二面角的大小是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．【详解】由条件，知．，，即，所以二面角的大小为故选：C．8.自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线的轨迹，再建立直角坐标系，结合向量的坐标运算和函数的最值的求法即可求解.【详解】如图所示，设折痕为直线，点与关于折痕对称，，在上任取一点，由中垂线的性质可知：，当且仅当与重合时取等号.即折痕上到两点距离之和最小的点为，且.故的轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，，故，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，则曲线的方程为，则，，设，则，，则，，因此可得，，由二次函数的性质知，当时，取得最小值为故选：A.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法，（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.是直线的一个方向向量C.D.在上的投影向量为【答案】BC【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；对C，根据向量夹角的坐标表示即可判断；对D，根据投影向量的坐标表示即可判断D.【详解】对A，，，因为，则，解得，故A错误；对B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确；对C，，则，故C正确；对D，，在上的投影向量为，故D错误.故选：BC.10.已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（）A.的轨迹方程为B.过点作圆的一条切线，则切线长最短为2C.圆和圆有两条公切线D.的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，设点Mx,y，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解.【详解】对于A，设点Mx,y，又点为线段的中点，由，则，又动点圆上，则，即，即，即的轨迹方程为，故A错误；对于B，设点，又圆，则圆心坐标为，半径，则切线长为，由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确；对于C，圆的圆心坐标为，半径，圆，则圆心坐标为，半径，又，，则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确；对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率，又动点在圆上，则也在圆上，则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值，由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在，设过点且与圆相切的直线为，即，则到直线的距离，即，解得或，结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确；故选：BCD.11.已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（）A.直线是的一条渐近线B.若，则的渐近线方程为C.若，则的离心率为D.若，则的离心率为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件求直线的斜率，再由确定直线斜率判断A；首先求出点，并设，根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D.【详解】根据题意，设直线，又直线与圆相切于点，所以，又，则，而，得，所以直线是的一条渐近线，A对；联立，得，联立，得，若且，则，即，所以，可得，即渐近线方程为，B错；若且，故，即，化简得，则的离心率为，C对；若，则，设，故，得，故，代入，得，所以，则离心率为，D对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键.非选择题部分（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.直线的倾斜角为_______.【答案】【解析】【分析】由直线的方程可得斜率，由倾斜角和斜率的关系可得倾斜角．【详解】由直线为，即，则直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，则直线的倾斜角为．故答案为：.13.已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为_______.【答案】【解析】【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解.【详解】因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点，所以，则由余弦定理得,，，即，所以，故的面积，设的内切圆半径为，则，解得,.故答案为：.14.如图，在正四棱柱中，，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到平面的距离分别为、，则顶点到平面的距离为_______.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为n=x,y,z，利用点到面的距离的向量求法列方程得到，然后再利用点到面的距离的向量求法求顶点到平面的距离即可.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的一个法向量为n=x,y,z由题意得，解得，所以顶点到平面的距离是．故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是建立空间直角坐标系，结合点到面的距离的向量求法即可求解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点与两个定点的距离之比为常数且，则点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，圆上的点满足.（1）求圆的标准方程；（2）若直线过原点，且直线与圆相切，求直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设Mx,y，利用两点之间的距离公式结合，即可求解；（2）讨论斜率是否存在，利用当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求解.【小问1详解】设Mx,y，则，，又，即，两边平方可得，整理可得，即圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）可知圆的圆心为，半径，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离，不符合题意；当直线斜率存在时，设过原点的直线为，且与圆相切，可得圆心到直线的距离，即，解得或，则直线方程为或.16.如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点.（1）求的长；（2）求与所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别用表示出，即可求得结果；（2）用表示出，根据题意求得的长度，然后根据夹角的余弦值公式可求得结果.【小问1详解】由题可得，因为是三棱锥，是的中点，所以，因为，，，所以则所以；【小问2详解】因为分别是的中点，，，所以，由图可得，由（1）可得，设与所成角为，则，所以与所成角的余弦值为.17.已知双曲线，直线与双曲线交于两点.（1）若关于点对称，求直线的方程；（2）若直线过，且都在双曲线的左支，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知为的中点，利用点差法求直线的斜率，即可求解；（2）将直线与双曲线联立，利用直线与双曲线相交的条件及韦达定理，结合点在双曲线的左支的条件即可求解；【小问1详解】设Ax由点关于点对称，即为的中点，则，即，又点在双曲线上，则可得，两式相减可得，即，将代入可得，即直线的斜率为，又在直线上，则直线的方程为，即.经检验成立.【小问2详解】当直线的斜率不存在时显然不符合题意；设直线的斜率为，则直线的方程为，联立，消整理得，由直线与双曲线交于Ax1,则，，解得且，，．因为点M，N都在左支上，，，，，所以．所以k的取值范围为．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，//.在平面内过作//，交于，连.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为30°，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）根据面面，推出面，以及，再根据，即可由线线垂直推出面，再由线面垂直即可推出面面垂直；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，结合法向量夹角的余弦和面面角余弦的关系，即可求得结果；（3）设，根据线面角，利用向量法求得关系，以及的范围；再求的长度，结合二次函数的单调性，即可求得其最小值.【小问1详解】因为面面，面面，面，故可得面，又因为面，故；由题可知，，又面，故可得面，又因为面，故可得面面.【小问2详解】由（1）可知面，又//CD，故可得面，又面，故；对四边形，因为//CD，又//，且，故该四边形为矩形，故，；对直角三角形，因为，故，在△中，由余弦定理，故，则，故，也即；综上所述两两垂直，故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：则，；设平面的法向量，故，即，解得，不妨取，故可得，故平面的一个法向量；设平面的法向量，故，即，解得，不妨取，故可得，故平面的一个法向量；设平面与平面所成角为，则，故平面与平面所成角的余弦值为.【小问3详解】因为为平面上的动点，故可设，，则，又平面平面的一个法向量，直线与平面所成的角为30°，故可得，整理可得：；又，故可得；又，故又，在单调递增，故当时，取得最小值，最小值为.综上所述，的最小值为3.【点睛】关键点点睛