江苏省盐城市经开区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省盐城市经开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，计24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．ax2﹣bx+c＝0 C． D．x2＝02．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝33．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝120°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．100°4．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．15 D．12或155．（3分）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从G口落出的概率为（）A． B． C． D．6．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝107．（3分）如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，∠BCD＝50°，则∠AED＝（）A．60° B．50° C．45° D．40°8．（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．72cm B． C． D．82cm二、填空题（每题3分，计30分）9．（3分）一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是．10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的其中一个根为x＝2，则的值为．11．（3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，那么m的取值范围是．12．（3分）已知，如图AB，AD是⊙O的弦，∠B＝30°，点C在弦AB上，连结CO并延长交⊙O于点D，∠D＝35°，则∠BAD的度数是．13．（3分）双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若底底学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为．14．（3分）设m、n为关于x的方程x2+4x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+5m+n＝．15．（3分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为acm2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为bcm2，那么a与b的大小关系是ab．（填“＜”，“＞”或“＝”）16．（3分）已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法：解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c可得m＝﹣2，n＝c．再由Δ＝m2﹣4n＜0．得出c＞2．根据小丽的解法，则b的取值范围是．17．（3分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝°．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．三、解答题（共9题，计96分）19．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；20．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹的质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为g；（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为kg；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．①a＝；②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．21．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．22．已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点．（1）如图1，连接OD，求证：DO⊥BC；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．23．已知关于x的一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值．（只写出最终答案）．25．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？26．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，补全图形，并求点F到直线AB的距离．27．课本改编（1）如图1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，则∠B＝∠D＝度，∠BAD+∠BCD＝度．（2）如果⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC不是⊙O的直径，如图2，求证：圆内接四边形的对角互补．知识运用（3）如图3，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直径，底边和另一条腰分别与⊙O交于点D，E，F是线段CE的中点，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．

2024-2025学年江苏省盐城市经开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，计24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．ax2﹣bx+c＝0 C． D．x2＝0【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【解答】解：A．不是方程，故此选项不符合题意；B．当a＝0时，ax2﹣bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C．是分式方程，故此选项不符合题意；D．x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3【答案】C【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故选：C．【点评】此题主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．（3分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝120°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．100°【答案】B【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．【解答】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°．故选：B．【点评】本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解．4．（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．15 D．12或15【答案】C【分析】利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．5．（3分）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从G口落出的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以，最终从点G落出的概率为，故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6．（3分）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10【答案】D【分析】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，∠BCD＝50°，则∠AED＝（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，结合∠BCD＝50°，可求∠ACD的度数，然后根据圆周角定理求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝50°，∴∠AED＝∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．8．（3分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．72cm B． C． D．82cm【答案】D【分析】过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，在Rt△ACE中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得AE＝BF＝36cm，即可求解．【解答】解：过点B作BF⊥DQ，过点A作AE⊥CP，如图，∵∠PCA＝30°，∠BDQ＝30°，∴，，∵∠PCA＝∠BDQ＝30°，双翼的弧AP与弧BQ的长都为12π，∴，，∴AC＝BD＝72cm，∴AE＝BF＝36cm，∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10＝82（cm），故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用、圆周角定理等知识，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．二、填空题（每题3分，计30分）9．（3分）一组数据19，15，10，x，4，它的中位数是13，则这组数据的平均数是12.2．【答案】12.2．【分析】由中位数的定义“将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据”即可判断出x的值，再利用求平均数的公式求出结果即可．【解答】解：∵这组数据由5个数组成，为奇数个，且中位数为13，∴x＝13，∴这组数据为4，19，10，13，15，∴这组数据的平均数．故答案为：12.2．【点评】本题考查中位数，求平均数，掌握中位数的定义和求平均数公式是解答本题的关键．10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的其中一个根为x＝2，则的值为7．【答案】7．【分析】代数式求值，先得出，再代入即可．【解答】解：由条件可知：4a+2b﹣5＝0，∴2（2a+b）＝5，∴，∴，故答案为：7．【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是关键．11．（3分）关于x的一元二次方程有两个实数根，那么m的取值范围是．【答案】．【分析】关于x的一元二次方程有两个实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac≥0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：原方程可化为：x2+（m﹣1）x+＝0，∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得，故答案为：．【点评】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．12．（3分）已知，如图AB，AD是⊙O的弦，∠B＝30°，点C在弦AB上，连结CO并延长交⊙O于点D，∠D＝35°，则∠BAD的度数是65°．【答案】65°．【分析】连接OA，根据圆的半径都相等即可求出答案．【解答】解：连接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝OD，∴∠D＝∠DAO＝35°，∴∠BAD＝35°+30°＝65°，故答案为：65°．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是构造出辅助线OA，本题属于基础题型．13．（3分）双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按5：3：2计入综合评价，若底底学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为86分．【答案】86分．【分析】根据加权平均数的计算方法即可求解．【解答】解：他的综合评价得分为：＝86（分）．故答案为：86分．【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．14．（3分）设m、n为关于x的方程x2+4x﹣2023＝0的两个实数根，则m2+5m+n＝2019．【答案】2019．【分析】先根据m是x2+4x﹣2023＝0的一个实数根，得出m2+4m﹣2023＝0，利用一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣4，然后对原式进行变形后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+4x﹣2023＝0的一个实数根，∴m2+4m﹣2023＝0，即m2+4m＝2023，由一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣4，∴m2+5m+n＝m2+4m+（m+n）＝2023+（﹣4）＝2019．故答案为：2019．【点评】本题主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．15．（3分）某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为170cm，方差为acm2．第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是170cm，此时全班同学身高的方差为bcm2，那么a与b的大小关系是a＞b．（填“＜”，“＞”或“＝”）【答案】＞．【分析】直接利用方差的求法分析得出答案．【解答】解：∵当多一个人时，由于身高等于平均数，∴方差公式中分子不变，∵本班身高方差不是0，此时分母扩大，∴方差将减小，即a＞b．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了方差，正确掌握方差公式是解题关键．16．（3分）已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法：解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c可得m＝﹣2，n＝c．再由Δ＝m2﹣4n＜0．得出c＞2．根据小丽的解法，则b的取值范围是b＞﹣3．【答案】见试题解答内容【分析】根据小丽的解法，可知：b＝n+2m，且n＞﹣1，代入可得b的取值范围．【解答】解：因为﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一实数根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c，x3+mx2+nx+2x2+2mx+2n＝x3+bx+c，x3+（m+2）x2+（n+2m）x+2n＝x3+bx+c，则，可得m＝﹣2，n＝c，再由Δ＝m2﹣4n＜0，4﹣4n＜0，n＞1，∴n﹣4＞﹣3，∵b＝n+2m＝n﹣4，∴b＞﹣3，故答案为：b＞﹣3．【点评】本题是高次方程，考查了高次方程解的情况，解题思路是降次，根据一元二次方程和一次方程解的情况进行解答．17．（3分）如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D＝30°．【答案】见试题解答内容【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD＝90°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝60°，然后利用互余计算∠D的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为6﹣3．【答案】见试题解答内容【分析】过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，根据BE＝AB＝3，结合切线的性质得出BG＝BE＝3，通过解直角三角形求得GH＝，BH＝2，设OG＝OE＝x，则EH＝2﹣3，OH＝﹣x，根据勾股定理列出（2﹣3）2+x2＝（﹣x）2从而求得x＝6﹣3，即可求得⊙O的半径为6﹣3．【解答】解：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE⊥BH，∴BG＝BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝3，∴BG＝BE＝3，∵∠HBG＝30°，∴GH＝，BH＝2，设OG＝OE＝x，则EH＝2﹣3，OH＝﹣x，在RT△OEH中，EH2+OE2＝OH2，即（2﹣3）2+x2＝（﹣x）2解得x＝6﹣3∴⊙O的半径为6﹣3．故答案为：6﹣3．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，切线的性质等，作出辅助线证得四边形OGCH是正方形是解题的关键．三、解答题（共9题，计96分）19．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；【答案】（1）x1＝﹣，x2＝﹣；（2），．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．【解答】解：（1）[2（x﹣1）]2﹣32＝0，（2x﹣2+3）（2x﹣2﹣3）＝0，∴2x+1＝0，2x+5＝0，解得：x1＝﹣，x2＝﹣；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴，解得：，．【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）并根据情况灵活选用适当的方法解方程即可．20．“秋风响，蟹脚痒”，正是食蟹好时节．某蟹农在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，为赶在食蟹旺季前上市销售，该蟹农于九月中旬在蟹塘中随机试捕了4次，获得如下数据：数量/只平均每只蟹的质量/g第1次试捕4166第2次试捕4167第3次试捕6168第4次试捕6170（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为168g；（2）若蟹苗的成活率为75%，试估计蟹塘中蟹的总质量为151.2kg；（3）若第3次试捕的蟹的质量（单位：g）分别为：166，170，172，a，169，167．①a＝164；②求第3次试捕所得蟹的质量数据的方差．【答案】（1）168；（2）151.2；（3）①164；②7．【分析】（1）根据加权平均数的公式列式计算即可；（2）先求出成活蟹的只数，再根据总质量＝平均质量×总只数列式计算即可；（3）①根据平均数的定义列式计算即可；②根据方差公式计算即可．【解答】解：（1）四次试捕中平均每只蟹的质量为＝168（g）．故答案为：168；（2）∵蟹苗的成活率为75%，∴成活蟹的只数为1200×75%＝900（只），∴估计蟹塘中蟹的总质量为168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案为：151.2；（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案为：164；②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次试捕所得蟹的质量数据的方差为7．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了加权平均数以及利用样本估计总体．21．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．【答案】该桨轮船的轮子直径为10m．【分析】本题先表示OD＝（r﹣2）m，求解AD＝4m，再利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：设半径为rm，则OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m．∵AB＝8m，OC⊥AB，∴AD＝4m．在Rt△ODA中有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+4，解得r＝5m则该桨轮船的轮子直径为10m．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．22．已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点．（1）如图1，连接OD，求证：DO⊥BC；（2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．【答案】（1）见详解；（2）．【分析】（1）延长DO交BC于F，根据垂径定理的推论可得DF⊥BC，即DO⊥BC；（2）连接DO并延长交BC于F，易得DF⊥CB，进而可得，再证明△DOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到OF＝OE＝OA﹣AE，然后在Rt△COF中，根据勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：如图1，延长DO交BC于F，∵点D为优弧BC的中点，∴，∴DF⊥BC，即DO⊥BC；（2）解：连接DO并延长交BC于F，设⊙O的半径为x，∵点D为优弧BC的中点，BC＝8，AE＝3，∴，∴DF⊥CB，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEO＝∠OFC＝90°，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，∴△DOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE＝OA﹣AE＝x﹣3，∴OC2＝OF2+CF2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得，∴⊙O的半径为．【点评】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．23．已知关于x的一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析．【分析】一元二次方程ax2+bxc＝0（a≠0）的根的判别式是Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时方程没有实数根．一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0的根的判别式为Δ＝（m﹣1）2+16＞0，所以一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0总有两个不相等的实数根．【解答】证明：一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0中，a＝2，b＝m+3，c＝﹣1+m，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×2×（﹣1+m）＝m2﹣2m+17＝（m2﹣2m+1）+16＝（m﹣1）2+16≥16＞0，∴一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0总有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的应用是关键．24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值．（只写出最终答案）．【答案】（1）x2﹣x﹣6＝0不是邻根方程；是邻根方程；（2）m＝0或m＝﹣2．（3）4．【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝8a﹣b2，得t与a的关系，化简即可．【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∵x1﹣x2＝5≠1，∴不符合邻根方程的定义，∴x2﹣x﹣6＝0不是邻根方程；②，∵a＝2，，c＝1，∴，∴，∴，，∴x1﹣x2＝1，∴符合邻根方程的定义，∴是邻根方程；（2）关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是邻根方程，解方程可得：x1＝m，x2＝﹣1，∴|x1﹣x2|＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|＝1，∴m1＝0，m2＝﹣2，∴m＝0或m＝﹣2．（3）∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是邻根方程，设两个根为x1、x2，∴|x1﹣x2|＝1，∵，，∴，∴b2＝a2+4a，∴t＝8a﹣b2＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，∴当a＝2时，t最大值＝4．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．25．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．（1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据利润＝（原来售价﹣降价﹣成本价）×销售量列式求解即可；（2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润＝（原来售价﹣降价﹣成本价）×销售量列出方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）×（20+2×8）＝1152（元）．答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．（2）设此时每件T恤衫降价x元，由题意得，（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，整理得x2﹣30x+125＝0，解得x＝5或x＝25．又∵优惠最大，∴x＝25．∴此时售价为100﹣25＝75（元）．答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式．26．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠A＝60°时，在⊙O的圆上取点F，使∠ABF＝15°，补全图形，并求点F到直线AB的距离．【答案】（1）见解析；（2）点F到直线AB的距离为：2﹣或﹣1．【分析】（1）根据题意可得OM∥AD，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠ABC＝90°，进而得出OM⊥BC，证明△OBM≌△OCM，得出∠OBM＝90°，即可得证；（2）分点F在以及半圆AOC上，分别