同步优化设计2024年高中数学第三章空间向量与立体几何4.3第1课时空间中的角课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法探讨立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后篇巩固提升合格考达标练1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成二面角的平面角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案D解析因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成二面角的平面角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266 B.C.52222 D.答案A解析AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||CD3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析取AB的中点D,连接CD,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,故AB1=(-2,0,3),AC1=(设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),AA1与平面A1B1C1所成角为θ,依据m·AB1=0,m·AC1=0,可得m=(3,-3,2),cos<m,sinθ=|cos<m,AA1>|=故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E0,∴AE=易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<AD,AE>=22,故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16 B.14 C.-16 D答案A解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-2,1).则cos<MN,OD1>=MN·OD1|MN||6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.

答案4解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n·DA1=2x+4z=0,n·DE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为θ,则sinθ=|cos<EA,n>|=EA·n|EA||n|=47.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为.

答案2解析建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n则2令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos<n,m>=n·设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为θ,则cosθ=|cos<n,m>|=238.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设直线SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB|=33,(2)易知平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SC·n=0,SD·n=0,可得x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面9.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.(1)求证:平面BDM∥平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.(1)证明连接AC,交BD于点N,连接MN,则N为AC的中点,又M为AE的中点,所以MN∥EC.因为MN⊄平面EFC,EC⊂平面EFC,所以MN∥平面EFC.因为BF,DE都垂直底面ABCD,所以BF∥DE.因为BF=DE,所以四边形BDEF为平行四边形,所以BD∥EF.因为BD⊄平面EFC,EF⊂平面EFC,所以BD∥平面EFC.又MN∩BD=N,所以平面BDM∥平面EFC.(2)解因为DE⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,所以DA,DC,DE两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=2,则DE=4,从而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),所以DB=(2,2,0),DM=(1,0,2),设平面BDM的法向量为n=(x,y,z),则n令x=2,则y=-2,z=-1,从而n=(2,-2,-1)为平面BDM的一个法向量.因为AE=(-2,0,4),设直线AE与平面BDM所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,AE>|=n·所以直线AE与平面BDM所成角的正弦值为45等级考提升练10.如图,在三棱锥C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为(A.1010 B.61025 C.30答案B解析以O为坐标原点,以OA,OB,OC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz,则D(3,4,0),F(0,4,4),E(0,2,6),DF=(-3,0,4),OE=(0,2,6),∴cos<DF,OE>=DF·OE|11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1上靠近点B1的四等分点,则直线AC1与平面EFD1所成角的正弦值为()A.2613 B.22613 C.2答案D解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),∴EF=12,0设平面EFD1的法向量n=(x,y,z),则n·EF=0,n·D1F=0,设直线AC1与平面EFD1所成角为θ,则sinθ=|cos<n,AC1>|=12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E为侧棱BB1上的一点,且B1EB1B=13,则直线AE与平面A.255 B.1010 C.3答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),∴A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则A取z=2,则n=(0,1,2),∴cos<n,EA>=n·EA|设直线AE与平面A1ED1所成角大小为θ,则sinθ=|cos<n,EA>|=31010,所以cosθ=13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12 B.23 C.33答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),∴A1设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),所以有A即y-z=0,x∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=23即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为2314.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC长为2π3,A1B1长为π3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则异面直线B1A.π6 B.πC.π3 D.答案B解析以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12所以AA1=(0,0,1),B1C=(0,所以cos<AA1=0×0+0×所以<AA1,所以异面直线B1C与AA1所成的角为π415.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为.

答案2解析取AC的中点O,连接OP,OB,因为PA=PC,所以AC⊥OP.因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以OP⊥平面ABC,所以OP⊥OB.又因为AB=BC,所以AC⊥OB.于是以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,所以AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-2所以cos<AC,PD>=AC·故异面直线AC与PD所成角的余弦值为2416.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为.

答案2解析以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),EF=(-1,0,1),EB=(1,2,0).设平面EFC1B的一个法向量n=(x,y,z),则n取x=2,得n=(2,-1,2).平面BCC1B1的一个法向量m=(0,1,0),设平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的平面角为θ,则|cosθ|=|n所以sinθ=2217.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,∠ABC=90°,且侧面ABB1A1为菱形.(1)证明:A1B⊥平面AB1C1;(2)若∠A1AB=60°,AB=2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为55,求三棱锥C-ABA1的体积(1)证明∵四边形ABB1A1是菱形,则A1B⊥AB1,∵平面ABB1A1⊥平面ABC,且AB为交线,BC⊥AB,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥A1B.∵BC∥B1C1,∴A1B⊥B1C1.又AB1∩B1C1=B1,∴A1B⊥平面AB1C1.(2)解取A1B1的中点M,连接BM,∵∠A1AB=60°,∴BM⊥A1B1,即BM⊥AB,从而BM⊥平面ABC,且AB⊥BC,则BM,AB,BC两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=t,则A(2,0,0),A1(1,0,3),C(0,t,0),AA1=(-1,0,3),AC=(-2,∵四边形A1ACC1为平行四边形,则AC1=AA1+AC=(-3,t,∴|cos<AC1,n>|=|AC1·n||AC1|=新情境创新练18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°?假如存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;假如不存在,请说明理由.(1)证明取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵点N为PC的中点,∴N(0,0,1),∴DN=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),∴DN·n=0.又∵DN⊄平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).设直线AC与P