2024-2025学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6.3.2对数函数及其性质的应用课时素养评价含解析苏教版必修第一册

PAGE课时素养评价三十一对数函数及其性质的应用(15分钟30分)1.(2024·成都高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))= ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.由函数y=f(x)=log2x,得x=2y,把x与y互换,可得y=2x,即g(x)=2x,所以g(2)=22=4,则f(g(2))=f(4)=log24=2.2.已知a=21.1,b=log23,c=QUOTE,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】选A.21.1>2,QUOTE=QUOTE.又2>log23>log2QUOTE=log2QUOTE=QUOTE,所以a>b>c.3.函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为 ()A.(0,1] B.(0,+∞)C.[1,+∞) D.(2,+∞)【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,故f(x)=2+log6(6x+1)>2.4.(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域记为集合A,函数g(x)=QUOTE的值域为B,则有 ()A.B⊆RA B.A⊆RBC.A⊆B D.B⊆A【解析】选D.令t=-x2+6x+7,t>0,当x=3时,tmax=-32+6×3+7=16,此时f(x)max=log216=4,所以函数f(x)=log2(-x2+6x+7)的值域为:A=(-∞,4],在函数g(x)=QUOTE中,可得:0≤16-x2≤16,所以函数g(x)=QUOTE的值域为:B=[0,4],所以B⊆A.5.函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值范围是________.

【解析】因为函数f(x)=loga(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,当0<a<1时,loga(x2-ax+2)>0=loga1,即0<x2-ax+2<1在区间(1,+∞)上恒成立,此不等式明显不恒成立.当a>1时,loga(x2-ax+2)>0=loga1,即x2-ax+2>1在区间(1,+∞)上恒成立,即a<x+QUOTE在区间(1,+∞)上恒成立,所以QUOTE即a的取值范围是(1,2].答案:(1,2]【补偿训练】函数f(x)=loga(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.

【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,所以QUOTE解得1<a≤QUOTE.答案:{a|1<a≤QUOTE}6.已知函数f(x)=loga(-x2+ax-9)(a>0,a≠1).(1)当a=10时,求f(x)的值域和单调递减区间;(2)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围.【解析】(1)当a=10时,f(x)=log10(-x2+10x-9)=log10[(-(x-5)2+16],设t=-x2+10x-9=-(x-5)2+16,由-x2+10x-9>0,得x2-10x+9<0,得1<x<9,即函数的定义域为(1,9),此时t=-(x-5)2+16∈(0,16],则y=log10t≤log1016,即函数的值域为(-∞,lg16],要求f(x)的单调递减区间,等价为求t=-(x-5)2+16的单调递减区间,因为t=-(x-5)2+16的单调递减区间为[5,9),所以f(x)的单调递减区间为[5,9).(2)若f(x)存在单调递增区间,只需-x2+ax-9>0有解,所以判别式Δ=a2-36>0,得a>6或a<-6,又a>0,a≠1,所以a>6,综上实数a的取值范围是a>6.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能是 ()【解析】选B.由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,解除A、D,结合a的范围可知选B.2.已知函数y=|logQUOTEx|的定义域为QUOTE,值域为[0,1],则m的取值范围为()A.QUOTE B.QUOTEC.[1,2] D.[1,+∞)【解析】选C.作出y=|logQUOTEx|的图象(如图),可知fQUOTE=f(2)=1,由题意结合图象知:1≤m≤2.3.(2024·牡丹江高一检测)已知函数f(x)=log2(x2-2x+a)的最小值为2,则a= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.内层函数为u=x2-2x+a,外层函数为y=log2u,由于内层函数u=x2-2x+a的减区间为(-∞,1),增区间为(1,+∞),且外层函数为增函数,所以,函数f(x)=log2(x2-2x+a)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞),所以,函数y=f(x)在x=1处取得最小值,即f(x)min=f(1)=log2(a-1)=2,解得a=5.【补偿训练】(2024·辛集高一检测)若-3≤loQUOTEx≤-QUOTE,求f(x)=QUOTE·QUOTE的最大值和最小值.【解析】由题意,依据对数的运算性质,可得函数f(x)=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2=QUOTE-QUOTE,又-3≤loQUOTEx≤-QUOTE,所以QUOTE≤log2x≤3.所以当log2x=3,即x=8时,f(x)max=f(8)=2;当log2x=QUOTE,即x=2QUOTE时,f(x)min=f(2QUOTE)=-QUOTE.4.(2024·嘉兴高一检测)函数y=loQUOTE(x2-3x+2)的单调递减区间为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为y=loQUOTE(x2-3x+2),所以x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,令t=x2-3x+2,因为t=x2-3x+2的图象开口向上,对称轴方程为x=QUOTE,所以内层函数t=x2-3x+2在(2,+∞)上单调递增,外层函数y=loQUOTEt是减函数,所以由复合函数单调性的性质可知函数y=loQUOTE(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则 ()A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数C.f(x)在(0,10)上单调递增D.f(x)在(0,10)上单调递减【解析】选B、D.由QUOTE得x∈(-10,10),故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),故函数f(x)为偶函数,而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),y=100-x2在(0,10)上递减,y=lgx在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.6.关于函数f(x)=lgQUOTE(x≠0),有下列结论,其中正确的是 ()A.其图象关于y轴对称B.f(x)的最小值是lg2C.当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数D.f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞)【解析】选ABD.f(-x)=lgQUOTE=f(x),f(x)是偶函数,选项A正确;令t=QUOTE=|x|+QUOTE≥2,y=lgt在(0,+∞)上是增函数,y=lgt≥lg2,所以f(x)的最小值为lg2,选项B正确;当x>0时,t=QUOTE=x+QUOTE,依据对勾函数的图象可得,t=x+QUOTE单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),y=lgt在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,选项C错误;依据偶函数的对称性,f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞),选项D正确.【补偿训练】已知函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x-2,且f(a)=g(b)=0,则下列结论错误的是 ()A.a>b B.a<bC.g(a)<0<f(b) D.g(a)>0>f(b)【解析】选AD.因为函数y=ex,y=lnx,y=x-2都是增函数,所以f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x-2都是增函数,又f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以0<a<1,g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以1<b<2,所以0<a<1<b<2,故A错误,B正确;因为a<b,所以g(a)<g(b)=0,f(a)<f(b),即f(b)>0,所以g(a)<0<f(b),故C正确,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2024·永济高一检测)已知函数f(x)=log2(2x)·log4(2x),x∈QUOTE,则f(x)的最小值为________.

【解析】由题可得将函数化简为f(x)=QUOTE(log2x+1)2,设log2x=t,则y=QUOTE(t+1)2,因为x∈QUOTE,所以t∈[-2,2].依据二次函数的性质得到:当t=-1时,y取得最小值0,故f(x)的最小值为0.答案:08.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是递增的,且fQUOTE=0,则不等式f(log4x)<0的解集是________.

【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-QUOTE<log4x<QUOTE,即log4QUOTE<log4x<log4QUOTE,得QUOTE<x<2.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上时,点QUOTE在函数y=g(x)的图象上.(1)写出y=g(x)的解析式.(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.【解析】(1)依题意,得QUOTE则gQUOTE=QUOTElog2(x+1),故g(x)=QUOTElog2(3x+1).(2)由f(x)-g(x)=0,得log2(x+1)=QUOTElog2(3x+1),所以QUOTE解得x=0或x=1.10.设f(x)=loga(3+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.(2)求函数f(x)在区间[0,QUOTE]上的最小值.【解析】(1)由题意,f(0)=loga3+loga3=2loga3=2,所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),所以QUOTE解得-3<x<3,所以f(x)的定义域是(-3,3).(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)=log3[(3+x)(3-x)]=log3(9-x2)且x∈(-3,3),所以当x=QUOTE时,f(x)在区间[0,QUOTE]上取得最小值,f(x)min=log33=1.1.(2024·日照高一检测)已知函数f(x)=1+2lgx,则f(1)+f-1(1)= ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.依据题意f(1)=1+2lg1=1,若f(x)=1+2lgx=1,解可得x=1,则f-1(1)=1,故f(1)+f-1(1)=1+1=2.2.已知函数f(x)=2x的反函数为f-1(x)(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求实数x的值;(2)若关