2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第2课时直线与平面垂直的性质及线面面面间的距离分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章立体几何初步A级基础巩固1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相交B.平行C.异面 D.相交或平行解析:由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们相互平行.答案:B2.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,若C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系不正确的是()A.PA⊥BC B.BC⊥平面PACC.AC⊥PB D.PC⊥BC解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A项不符合题意;因为AB为圆的直径,所以BC⊥AC,且AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,B、D项均不符合题意.故选C.答案:C3.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2 B.1C.32 D.解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如图所示,连接OD,则OAOB=ACBD.因为OA=AB,所以OAOB=12.因为AC答案:A4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD肯定是菱形.解析:易知BD⊥平面PAC.所以BD⊥AC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD肯定是菱形.5.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.求证:DE⊥PE.证明:如图,连接AE.在矩形ABCD中,由AD=4,AB=2,E为BC的中点,可得AE=ED=22,所以AD2=AE2+DE2,所以AE⊥DE.因为PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,所以PA⊥DE.因为PA∩AE=A,PA⊂平面PAE,AE⊂平面PAE,所以DE⊥平面PAE.因为PE⊂平面PAE,所以DE⊥PE.B级实力提升6.若l,m,n表示三条互不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为()①l∥m,m∥n,l⊥α⇒n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α⇒l∥n;③m⊥α,n⊂α⇒m⊥n.A.1 B.2 C.3 D.0解析:①正确,因为l∥m,m∥n,所以l∥n.因为l⊥α,所以n⊥α;②正确,因为l∥m,m⊥α,所以l⊥α.因为n⊥α,所以l∥n;③正确,由线面垂直的定义可知其正确.答案:C7.地面上有两根相距am的旗杆,若它们的高分别是bm和cm(b>c),则它们上端的距离为a2+解析:由线面垂直的性质定理可知,两根旗杆所在直线相互平行.如图所示,它们上端的距离d=a2+8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,平面AB1D1到平面BC1D的距离为63解析:由题意可知,原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h.由题意可得△AB1D1为等边三角形,各边长度均为2.由等体积法可得,V三棱锥C1-AB1D1=V三棱锥A-B1C1D1,即h×13×12×22×sin60°=13×12×29.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E.求证:l∥AE.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD.因为PA∩AD=A,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为AE⊂平面PAD,所以AE⊥CD.因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E,所以l∥AE.C级挑战创新10.开放性问题如图所示,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.摸索讨平面β与平面α的位置关系.解:平面β与平面α必