4微分方程的应用课件

.几何与物理应用微分方程的应用1微分方程的应用分几何与物理应用，几何应用主要是根据所满足的几何条件列出微分方程，再根据方程所属类型求解；物理应用题型常有两种类型：其一根据题所涉及的物理意义直接给出方程.所涉及的物理知识主要是物体的受力分析及牛顿运动定律等；其二是需要应用元素法来建立微分方程的应用题，这类问题是微分方程的难点；此外还有一类综合应用题既要用到几何知识又要用到物理知识；下面我们分类通过例题讲解。2一。几何应用题例1.设曲线L过点（1,1）曲线上任一点p(x,y)处的切线交x轴于点T，若︱pT︱=︱oT︱求曲线L的方程。3??y??2xy?x2?y2??yx?1?1解为：x2?y2?2y4（例2.光滑曲线L过原点与点（2,3），任取曲线上任一点p(x,y)过p点作两坐标轴的平行线pA，pB，pA与x轴和曲线L围成的面积等于pB与y轴和L围成面积的2倍，求曲线L的方程5x?y(t)dt?23xy,yx?2?3?y??y02x（复习分离变量型及齐次方程解法）解得：y2?92x（抛物线）6例3.在上半平面求一条凹弧，其上任一点p(x,y)处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ长度的倒数（Q为曲线与x轴的交点），且曲线在点（1,1）处的切线与x轴平行。y??解：曲线在点P处的曲率为：k(x)?23??y?0;y?0?因k(x)?y??(1?(y?))(1?(y?))23过该点法线方程为：122Y?y??(X?x),Q(x?yy?,0)?pQ?y[1?(y?)]y?7，初值：yx?1?1,y?x?1?0依题意得初值问题：2???yy?1?(y)yx?1?1,y?x?1?0此方程是不显含x的二阶方程，解之并带入初值得：y?1(ex?1?e?(x?1))（双曲正弦线），2复习二阶方程的两种特殊形式及解法。8例4（考研真题）设L是一条平面曲线，其上任一点P(x,y)（x>0）到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距，且L经过（1/2,0）点，（1）试求曲线L的方程（2）求L位于第一象限的一条切线使该切线与L及两坐标轴所围成的图形的面积最小。9解（1）x2?y2?y?xy??y?x2?y2?Cy122112x?12?0?C?2?y?x?y?2?y?4?x(2)y?14?x2在P（x，y）处的切线：Y=-2xX+x2?114,(0?x?2)x2?1x，y轴1交点：(4212x,0),(0,x?4)(x2?1)212S(x)?141222x??(?x)dx04与所求面积：10111322S?(x)?2(x?)(3x?)?0?x?4x4为最小值点于是所求切线方程4??33X?13611Y例5.（考研题）求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一个解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线：x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最大。12解：方程为：dydx?2xy??1?y?x?cx22V(c)???(x?cx2)2dx??(31c2?15c?71523)V?(c)?0?c??75124为最小值点，所以解为：y?x?752124x13例6（考研题）设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y?(x)?0,y(0)?1过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线及x轴所围成的三角形面积记为S1，区间【0，x】上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1?S2?1，求此曲线的方程。14解：切线方程：Y?y?y?(x)(X?x)与x轴的交点：(x?y?/y,0)在x轴上的截距：x?y?/y因y?(x)?0,y(0)?1?y(x)?0(x?0)2x由题知：S1x?(x?y2y?)?y1?y2y?,S2??y(t)dt0，由，15y22S1?S2?1???y(t)dt?1?yy???(y?)y?0?y(0)?1?y?(0)?12x?yy???(y?)得初值问题：??y(0)?1;y?(0)?12具体解法可用1）降阶法；2）凑导数法解得：y(x)?ex2注：微分方程两端乘1/(y?)可凑成：y?()??0y?16例7.求与抛物线族cy?x2中每条曲线均正交的的曲线（即交点处切线相互垂直）正交轨线。（椭圆族）17解：?cy?x2x?2y2?cy?x?y???消去c得：y=?2xc?y??xc?2即为抛物线上任一点处切线斜率，故正交轨线上任一点处切线斜率为：xy???2y正交轨线满足的微分方程22解之得：2y?x?c,(c?0)（椭圆族）18二。物理应用（一）利用物理意义直接列方程例8设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变化规律.（冷却定理：物体冷却速度与温差成正比）?dT??k(T?20)??kt?T?20?80e?dt?Tt?0?100?19例9在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的037按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小0时后尸体温度变为35并且假定周围空气的温0度保持20不变，试求出尸体温度随时间的变0化规律．又如果尸体被发现时的温度是30时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？20??dT?dt??k(T?20)?T?20?17e?kt??Tt?0?37?kt????T?20?17e??Tt?2?35?k?0.063?20?17e?0.063t?T?30?t?8.4(小时)即谋杀大约在上午7时36分发生21T例10设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零,求降落伞下落速度与时间的关系.???f?mg?kv?mdvdt??vt?0?022例11（考研题）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)（将x(t)视为连续可微变量），其变化率与已掌新技术的人及未掌握新技术的人的乘积成正比，比例系数k>0，求x(t)解：?dxkNt?kx(N?x)Nx0e??x??dtkNtN?x0?x0e?xt?0?x0?23例12.（考研题）从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力与浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B海水密度为?仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k>0，试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v).24解：取沉放点为原点O2，y轴正向铅直向下，dy由牛顿第二定律得：m2?mg?B??kvdt解法1.上式变为：dydydykdyB?m2?mg?B??k?2??g?dtdtdtmdtmy(0)?0;y?(0)?v(0)?022解此常系数二阶线性微分方程得解；y=y(t)及v(t)=y?(t)联立求出y=y(v).（以下略）注：本题也可按不显含x的特殊二阶方程求解25dpkB??p?g??p?cedxmmk?tmB??(g?)mm由初值y(0)?0;y?(0)?v(0)?0?c?B??gB?B?B?p??(g?)e?(g?)?(g?)[1?e]mmmkk?t?tB?B?mB?y??(g?)[1?em]dt?y?(g?)t?(g?)em?Cmmkmk?tmk?tmB??g由初值得C?k得：k?tmB?B?y?(g?)t?(g?)emmB??g?k262解法2.dydt?v(t)?dydvdvdydvdt2?dt?dydt?vdy代入原式化成微分方程：mvdvdy?mg?B??kv—分离变量方程解得：y??mm(mg?B?)kv?k2ln(mg?B??kv)?Cv??mm(mg?B?)mg?B??kvy?0?0求出C?ykv?k2lnmg?B?复习分离变量方程求解方法27例13（-考研题飞机降落问题）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离在触地的瞬间飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机着陆时的水平速度为700km/h经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与6飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0?10问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？28解：由题设，飞机的质量为m=9000kg，飞机着陆时的水平速度为V0=700km/h，从着陆点算起设t时刻飞机滑行的距离为x(t)速度为v(t)解法I根据牛顿第二运动定理：dxdxdxdxdvdvdxdvm2??k,令?v?2???vdtdtdtdtdtdxdtdxmm即dx??dv,积分得：x(t)=?v?C,kkmm由于v(0)?v0,x(0)?0?C?v0,从而：x(t)?(v0?v(t))kkmv0令v(t)?0?x(t)??1.05kmk2922即飞机滑行的最长距离为1。05km解法II根据牛顿第二运动定理：mdvdt??kv即dvk?mktv??mdt?v?ce代入初值条件：vt?0?v0?v(t)?v?0emkt??x??v(t)dt??m?mkt??kv0e0?1.05030飞机滑行的最长距离为：解法III根据牛顿第二运动定理：dxdxdxkdxm2??k,2??0,其特征方程为：dtdtdtmdtkk2?+??0??1?0,?2??;其通解为：mmkk?t?tkcdx2mx?C1?C2em,由xt?0?0,vt?0???et?0dtmk?tmv0m得：C1??C2?v0,于是：x(t)?(1?em)kkmv0令t????x(t)??1.05k22t?0?v031注：解法1）是转化为路程x与速度v之间的一阶微分方程；解法2）是转化为速度v与时间t之间的一解微分方程；3）是直接由牛顿公式建立路程x与时间之间的二阶线性微分方程；对于1）由末速度可直接算出所走路程，对于2）则要由路程与速度的关系通过积分才能求出所走路程，对于3）得出路程与时间的关系后须令t趋于无穷才能求出所走路程。32例14（子弹穿透木板问题）子弹以v0?200m/s的速度射入厚度为h=10cm的木板，穿过木板后仍有速度假设木板对子弹的阻力与其速度的平方成正比，求子弹通过木板所需的时间。v1?80m/s33解：设子弹的质量为m，其开始射入木板的时刻为t=0，穿过木板的时刻为t?t1，则在0?t?t1的时间内，深度为h(t)，速度为v(t)，依题意可得：dvkdv2222m??kv(k?0)令?a???avdtmdt112??at?C,Qv(0)?v0?200m/s?C?v20011322?at??t?t1,v?80m/s代入上式得：a?v200400t13t?2t1131dhdt3t?2t1??t??;又v???v400t1200400t1dtdh400t1341h分离变量并积分得通解:ln(3t?2t1)??C13400t1t?0,时h?0代入上式得：C?113ln(2t1)13ln(3t?2t?h11)400t?ln(2t1);又当t=t1时13h=10cm=0.1m，故t31?400ln(5/2)(s)35?例15（食草鱼与食鱼鱼共存问题问题）设在同一水域中生存着食草鱼与食鱼之鱼（或同一环境中的两种生物）他们的数量分别为x(t)与y(t)不妨设x，y是连续变化，其中x受y的影响而减少（大鱼吃了小鱼）减少的速率与y(t)成正比；而鱼数y（t）受x的影响而减少（小鱼吃了大鱼的卵）减少的速率与x(t)成正比；如果x(0)?x0,y(0)?y0试建立这一问题的数学模型，并求这两种鱼数量的变化规律。36解：设题中比例系数依次为k1(k1?0),k2(k2?0)依题意此共生问题的数学模型为：????xt??k1y,xt?0?x0??yt???k2x,yt?0?y0在上述方程组中消去yt?得x???k1k2x?0特征方程为：37r2?k1k2?0?r1,2??k1k2故得原方程组的通解为：?x(t)?Ck1k2t1e?C?k1k2t?2e??y(t)?k2(Ck1k2t?k1k2tk1e?C2e)?1代入初始条件得：C1k11k11?2(x0?ky0),C2?(x0?y0)22k238故两种鱼数量的变化规律为：??1k1?x(t)?yk1k2tk1?k1k2t0)e?(x0?y0)e?2[(x0?k2k2?y(t)??1k2[(x?k1y)ek1k2t?(x?k(*)?1k1k2t?2k000y0)e?1k2k239由（*）式分析得如下规律：（1）当k1时鱼数x(t)??x0?k2y0?0y(t)虽减少，但最终不会消失；而鱼数在经过足够长的时间变化后最终会趋于消失；40（2）当k1??x0?y0?0k2y(t)时鱼数x(t)虽减少，但最终不会消失；而鱼数在经过足够长的时间变化后最终会趋于消失；（3）2x0k1k1??x0?y0?0即2?k2y0k2两种鱼在经过足够长的时间变化后最终都会趋于消失；41（二）用元素法解微分方程应用问题：例16有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.（元素法）42解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt?0.62?S?2gh,①流量系数孔口截面面积重力加速度?S?1cm2,?dV?0.622ghdt.43以小孔出口o为坐标原点，h轴向上建立坐标系设在微小的时间间隔[t,t??t],水面的高度由h降至h??h,则dV???r2dh,?r?1002?(100?h)2?200h?h2,dV???(200h?h2)dh.②比较①和②得:??(200h?h2)dh?0.622ghdt,即为未知函数得微分方程.44?dt???30.622g?(200h?h)dh,?ht?0?100,?C??0.622g?14515?10,所求规律为t??534.652g(7?10?10h3?3h5).45例17（考研题）某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有co20.1%的co2为了降低车间内空气中co2的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含20.03%的co2新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出问鼓风机开动6分钟后车间内co2百分比降低到多少（用元素法求解）46解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t?dt]内，CO2的通入量?2000?dt?0.03,CO2的排出量?2000?dt?x(t),CO2的通入量—CO2的排出量=CO2的改变量，即12000dx?2000dt?0.03?2000dt?x(t)dxdt??1(x?0.03)x?0.03?Ce?16t6,47由x|t?0?0.1C?0.07?1x?0.03?1?t007e6,x|t?6?0.03?0.07e?0.056,CO2故6分钟后，车间内的百分比降低到0.056%.注：dx为二氧化碳浓度改变量，或单位体积二氧化碳改变量，故12000dx即为整个车间在【t，t+dt】时间段二氧化碳改变量或直接求法：t时刻二氧化碳含量为12000x，t+dt时刻二氧化碳含量为12000（x+dx），故二氧化碳改变量为12000dx48例18（湖泊环境治理问题-考研题（元素法））某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含污染物A的污水量为V/6，流出湖泊的水量为V/3，已知1999年底湖泊内含污染物A的含量为5m0超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起规定排入湖泊内含污染物A的污水浓度不超过m0/V问至少需要经过多少年湖泊内含污染物A的含量降至m0以内。（设湖泊内含污染物A的浓度是均匀的）49解：设从2000年初开始（设此时t=0）第t年湖泊内含污染物A的总量为m，浓度为m/V，则在时间间隔【染物A的量为：m0Vm0V?6dt?6dtmVV?3dt?m3dt则在该时间间隔【dm=(m0m6?3)dtt，t+dt】内排入湖泊内污流出湖泊的水的A的量为，t，t+dt】内A的改变量为：50（分离变量型）由分离变量法解得：tm0?3，代入初始条件：m??Ce2mt?0?5m0?c??9m0/2?m?m0(1?9e)/2,令m=m0?t?6ln3t?3即至多需要经过6ln3年湖泊内含污染物A的含量降至m0以内。51例19.在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂.为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐.充分混合的溶液以45L/min的速度泵出.在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？（元素法）52解令y是在时刻t罐中的添加剂的总量.易知y(0)?100.在时刻t罐中的溶液的总量V?t??8000??40?45?t?8000因此，在【t，t+dt】时间内添加剂流入的量为40×2gdt添加剂流出的量为45y8000?5tdt添加剂的改变量为：dy，故有?5t5345ydy=40?2dt?8000?5tdt，得到微分方程dy45dt?80?y8000?5t即dydt?458000?5t?y?80于是，所求通解为y?e??45458000?5tdt????80?e?8000?5tdtdt?C?????16000?10t??C?t?1600?954由y(0)?100确定C，得?16000?10?0??C?0?1600??09，，10C?81600故初值问题的解是109?t?1600?y??16000?10t??81600，所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是109y(20)??16000?10?20??20?1600?8?1600?1512.58g.55注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品.把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器.在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的.描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率56（三）几何物理综合应用题例20（雪堆融化问题-考研题）一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k>0，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时？57解：设雪堆在时刻t的体积V?233?r,侧面积：S?2?r2?S?318?V2由题设知：dVdt??kS??k318?V2?33V??318?kt?C由Vt=0=V0?C=33V30?3V=33V30?18?kt5813333又由Vt=3=V0?V0=3V0?318?k?k=33V082故得：33V=33V10?32V0t，令V=0得t=6即雪堆全部融化需要6小时（注：此题也可直接有不定积分求解）2318?59例21（容器倒水问题-考研题）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y),(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器底面圆的3半径为2m，根据设计要求，当以3m/min的速率向容器注入液体时，液面的面积将以2?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前）容器内无液体1根据t时刻液面的面积写出t与?(y),(y?0)之间的关系式；2.求曲线的方程6061解（1）设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面的面积??2(y)?4???t?t??2(y)?4（2）液面高度为y时液体体积为：y???2(u)du?3t?3?2(y)?120两端对y求导得：??2(y)?6?(y)??(y)??(y)?Ce?y/6?(0)?2?C?2?x?2e?y/662例22设河边点o的正对岸为点A,河宽oA=h,两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子