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文档简介

山东、湖北重点中学2025届高三最后一模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.2.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或4.下列不等式成立的是()A. B. C. D.5.已知x,,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦点F的坐标为(c,0),点A是第一象限内双曲线渐近线上的一点,O为坐标原点,满足|OA|=A.2 B.2 C.2337.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.8.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.9.已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则()A. B.2 C. D.10.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.11.若为过椭圆中心的弦,为椭圆的焦点,则△面积的最大值为()A.20 B.30 C.50 D.6012.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,,是的角平分线,设,则实数的取值范围是__________.14.已知数列与均为等差数列(),且,则______.15.若变量x,y满足:,且满足,则参数t的取值范围为_______.16.已知,,,且,则的最小值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.18.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.(I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.19.(12分)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.20.(12分)在如图所示的四棱锥中,四边形是等腰梯形,,,平面,,.(1)求证:平面;(2)已知二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,为侧棱上一点,已知.(Ⅰ)证明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知函数.(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.2、C【解析】

由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.3、D【解析】

设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.4、D【解析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详解】对于,,,错误;对于,在上单调递减,,错误;对于,,,,错误;对于,在上单调递增,,正确.故选:.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题;关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5、D【解析】

,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【详解】因为x,,当时,不妨取,,故时,不成立,当时,不妨取,则不成立,综上可知,“”是“”的既不充分也不必要条件,故选:D【点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件的判定,属于容易题.6、C【解析】

计算得到Ac,bca【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=bax,A故Ac,bca,Fc,0,故Mc,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7、B【解析】

根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.8、A【解析】

对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.9、C【解析】

把代入,利用复数代数形式的除法运算化简,由实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】∵,∴,∵为纯虚数,∴,解得.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,是基础题.10、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.

∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,

故选C11、D【解析】

先设A点的坐标为,根据对称性可得,在表示出面积,由图象遏制,当点A在椭圆的顶点时,此时面积最大,再结合椭圆的标准方程,即可求解.【详解】由题意,设A点的坐标为,根据对称性可得,则的面积为,当最大时,的面积最大,由图象可知,当点A在椭圆的上下顶点时,此时的面积最大,又由,可得椭圆的上下顶点坐标为,所以的面积的最大值为.故选:D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质,以及三角形面积公式的应用,着重考查了数形结合思想,以及化归与转化思想的应用.12、D【解析】

用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

设,,,由,用面积公式表示面积可得到,利用,即得解.【详解】设,,,由得:,化简得,由于,故.故答案为:【点睛】本题考查了解三角形综合,考查了学生转化划归,综合分析,数学运算能力,属于中档题.14、20【解析】

设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得,,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为,由数列为等差数列知,,因为,所以,解得,所以数列的通项公式为,所以.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.15、【解析】

根据变量x,y满足:,画出可行域,由,解得直线过定点,直线绕定点旋转与可行域有交点即可,再结合图象利用斜率求解.【详解】由变量x,y满足:,画出可行域如图所示阴影部分,由,整理得,由,解得,所以直线过定点,由,解得,由,解得,要使,则与可行域有交点,当时,满足条件,当时,直线得斜率应该不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,综上:参数t的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查线性规划的应用,还考查了转化运算求解的能力,属于中档题.16、【解析】

由,先将变形为,运用基本不等式可得最小值,再求的最小值,运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解:因为,,,且,所以因为,所以,当且仅当时,取等号,所以令,则,令,则,所以函数在上单调递增,所以所以则所求最小值为故答案为:【点睛】此题考查基本不等式的运用:求最值,注意变形和满足的条件:一正二定三相等,考查利用单调性求最值,考查化简和运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析【解析】

(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障,利用相互独立事件的概率公式即可得解;(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望,进而求出两个生产线的生产成本期望值,比较期望值即可得解.【详解】(1)若选择生产线①,生产成本恰好为18万元,即A工序不出现故障B工序出现故障,故所求的概率为.(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,2,3,5.,,,,所以万元;故选生产线①的生产成本期望值为(万元).若选生产线②,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,8,5,13.,,,,所以,故选生产线②的生产成本期望值为(万元),故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率,考查了离散型随机变量期望的应用,属于中档题.18、(Ⅰ)(II)【解析】

(I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于0,即可求出结果;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,可得的面积是的面积的两倍,再由当时,的面积取到最大值,可得,进而可得原点到直线的距离,再由点到直线的距离公式,以及(I)的结果,即可求解.【详解】(I)由,得,则化简整理,得;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍.所以当时,的面积取到最大值,此时,从而原点到直线的距离,又,故.再由(I),得,则.又,故,即,从而,即.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于中档试题.19、(1)直线l的普通方程为x+y-4=0.曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】

(1)将直线l参数方程中的消去,即可得直线l的普通方程,对曲线C的极坐标方程两边同时乘以,利用可得曲线C的直角坐标方程;(2)求出点到直线的距离,再求出的弦长,从而得出△MON的面积.【详解】解:(1)由题意有,得,x+y=4,直线l的普通方程为x+y-4=0.因为ρ=4sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,两边同时乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因为,所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原点O到直线l的距离直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面积S=|MN|×d=4.【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,解题的关键是正确使用这一转化公式,还考查了直线与圆的位置关系等知识.20、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)由已知可得,结合,由直线与平面垂直的判定可得平面;(2)由(1)知,,则,,两两互相垂直,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,设,0,,由二面角的余弦值为求解,再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:因为四边形是等腰梯形,,,所以.又,所以,因此,,又,且,,平面,所以平面.(2)取的中点,连接,,由于,因此,又平面,平面,所以.由于,,平面,所以平面,故,所以为二面角的平面角.在等腰三角形中,由于,因此,又,因为,所以,所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为所以,即,令,则,,则平面的法向量,,设直线与平面所成角为,则【点睛】本

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