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文档简介
广东省佛山市华南师范大学附中2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁2.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.3.复数的共轭复数记作,已知复数对应复平面上的点,复数:满足.则等于()A. B. C. D.4.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.65.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.66.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度7.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形8.已知函数(,且)在区间上的值域为,则()A. B. C.或 D.或49.已知等差数列的公差为,前项和为,,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,若对任意的恒成立,则实数().A.6 B.5 C.4 D.310.在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是()A. B. C. D.11.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象()A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位12.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()A.14种 B.15种 C.16种 D.18种二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在边长为2的正三角形中,,则的取值范围为______.14.设,则______.15.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.16.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)如图1,在等腰中,,,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且。将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且。(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.(12分)如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?20.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;(2)求多面体的体积.21.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若存在满足不等式,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.2、C【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.3、A【解析】
根据复数的几何意义得出复数,进而得出,由得出可计算出,由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点,,则,,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模的计算,考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法,考查计算能力,属于基础题.4、B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.5、C【解析】
根据题意,将a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,当且仅当时取“=”号.
答案:C【点睛】本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最后一定要验证等号能否成立,属于基础题.6、C【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.7、D【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.8、C【解析】
对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知,.讨论:当时,,所以,,所以;当时,,所以,,所以.综上,或,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.9、C【解析】
若对任意的恒成立,则为的最大值,所以由已知,只需求出取得最大值时的n即可.【详解】由已知,,又三角形有一个内角为,所以,,解得或(舍),故,当时,取得最大值,所以.故选:C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的最值问题,考查学生的计算能力,是一道基础题.10、B【解析】
由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程,在圆上,在坐标满足方程,在圆上,则作出两圆的图象如图,设两圆内公切线为与,由图可知,设两圆内公切线方程为,则,圆心在内公切线两侧,,可得,,化为,,即,,的取值范围,故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.11、C【解析】
根据正弦型函数的图象得到,结合图像变换知识得到答案.【详解】由图象知:,∴.又时函数值最大,所以.又,∴,从而,,只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象,故选C.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求.12、D【解析】
采取分类计数和分步计数相结合的方法,分两种情况具体讨论,一种是黑白依次相间,一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2×7=14种;情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共4种.综上所述,共有14+4=18种.故选:D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用,插空法的应用,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
建立直角坐标系,依题意可求得,而,,,故可得,且,由此构造函数,,利用二次函数的性质即可求得取值范围.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,设,,,,根据,即,,,则,,即,,,则,,所以,,,,,,且,故,设,,易知二次函数的对称轴为,故函数在,上的最大值为,最小值为,故的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意通过设元、消元,将问题转化为元二次函数的值域问题.14、121【解析】
在所给的等式中令,,令,可得2个等式,再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令,得,令,得,两式相加,得,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.15、5【解析】
执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.16、【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解:复数为纯虚数,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点,连结,证明平面得到答案.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,为平面的一个法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)取中点,连结,,,,,为直角,,平面,平面,∴面面.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,可取为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为.则,其中,,不妨取,则..为锐二面角,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明线面平行,需证明线线平行,取的中点,连接,根据条件证明,即;(2)以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求两个平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取的中点,连接.∵,∴为的中点.又为的中点,∴.依题意可知,则四边形为平行四边形,∴,从而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则,,,,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,得.设平面的法向量为,则,即,令,得.从而,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题,意在考查空间想象能力,推理证明和计算能力,属于中档题型,证明线面平行,或证明面面平行时,关键是证明线线平行,所以做辅助线或证明时,需考虑构造中位线或平行四边形,这些都是证明线线平行的常方法.19、(1)6种;(2);(3).【解析】
(1)从4条街中选择2条横街即可;(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线,即,,,,分别对4条路线进行分析计算概率;(3)分别对小明上学的6条路线进行分析求均值,均值越大的应避免.【详解】(1)路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街,即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为条.(2)小明途中恰好经过处,共有4条路线:①当走时,全程不等红绿灯的概率;②当走时,全程不等红绿灯的概率;③当走时,全程不等红绿灯的概率;④当走时,全程不等红绿灯的概率.所以途中恰好经过处,且全程不等信号灯的概率.(3)设以下第条的路线等信号灯的次数为变量,则①第一条:,则;②第二条:,则;③另外四条路线:;;,则综上,小明上
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