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文档简介
西藏山南地区第二高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知抛物线的焦点为,若抛物线上的点关于直线对称的点恰好在射线上,则直线被截得的弦长为()A. B. C. D.3.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.45.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.6.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.7.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.8.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.9.已知正方体的棱长为2,点为棱的中点,则平面截该正方体的内切球所得截面面积为()A. B. C. D.10.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.11.已知函数,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度12.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生中的甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为______.(用数字作答)14.有以下四个命题:①在中,的充要条件是;②函数在区间上存在零点的充要条件是;③对于函数,若,则必不是奇函数;④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.15.三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.16.已知等差数列的前项和为,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩形中,,E,F分别为,的中点.沿将矩形折起,使,如图所示.设P、Q分别为线段,的中点,连接.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)如图,三棱柱中,与均为等腰直角三角形,,侧面是菱形.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;(2)若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.21.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.22.(10分)已知函数.(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.(2)当时,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.2、B【解析】
由焦点得抛物线方程,设点的坐标为,根据对称可求出点的坐标,写出直线方程,联立抛物线求交点,计算弦长即可.【详解】抛物线的焦点为,则,即,设点的坐标为,点的坐标为,如图:∴,解得,或(舍去),∴∴直线的方程为,设直线与抛物线的另一个交点为,由,解得或,∴,∴,故直线被截得的弦长为.故选:B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程,简单几何性质,点关于直线对称,属于中档题.3、D【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.4、A【解析】
由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题5、D【解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.6、C【解析】
根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.7、B【解析】
可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题8、C【解析】
计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.9、A【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆,根据等体积法计算出球心到平面的距离,由此求解出截面圆的半径,从而截面面积可求.【详解】如图所示:设内切球球心为,到平面的距离为,截面圆的半径为,因为内切球的半径等于正方体棱长的一半,所以球的半径为,又因为,所以,又因为,所以,所以,所以截面圆的半径,所以截面圆的面积为.故选:A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算,难度一般.任何一个平面去截球,得到的截面一定是圆面,截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.10、D【解析】
根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.11、A【解析】
根据函数图像平移原则,即可容易求得结果.【详解】因为,故要得到,只需将向左平移个单位长度.故选:A.【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化,属基础题.12、C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由排列组合及分类讨论思想分别讨论:①设甲参加,乙不参加,②设乙参加,甲不参加,③设甲,乙都不参加,可得不同的选法种数为9+9+5=1,得解.【详解】①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为5,综合①②③得:不同的选法种数为9+9+5=1,故答案为:1.【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想,准确分类及计算是关键,属中档题.14、①【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①;由零点存在定理和二次函数的图象可判断②;由,结合奇函数的定义,可判断③;由函数图象对称的特点可判断④.【详解】解:①在中,,故①正确;②函数在区间上存在零点,比如在存在零点,但是,故②错误;③对于函数,若,满足,但可能为奇函数,故③错误;④函数与的图象,可令,即,即有和的图象关于直线对称,即对称,故④错误.故答案为:①.【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断,考查判断能力和推理能力,属于中档题.15、【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x,由已知,,解得.故答案为:【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题.16、【解析】
根据等差数列的性质求得,结合等差数列前项和公式求得的值.【详解】因为为等差数列,所以,解得,所以.故答案为:【点睛】本小题考查等差数列的性质,前项和公式的应用等基础知识;考查运算求解能力,应用意识.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点R,连接,,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.(2)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量:,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.【详解】(1)取中点R,连接,,则在中,,且,又Q是中点,所以,而且,所以,所以四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)在平面内作交于点G,以E为原点,,,分别为x,y,x轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为,,,所以,,设平面的一个法向量为,则即,取,得,又平面的一个法向量为,所以.因此,二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.18、(1)见解析(2)【解析】
(1)取中点,连接,,通过证明,得,结合可证线面垂直,继而可证面面垂直.(2)设,建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,继而可求二面角的余弦值.【详解】解析:(1)取中点,连接,,由已知可得,,,∵侧面是菱形,∴,,,即,∵,∴平面,∴平面平面.(2)设,则,建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,,,设平面的法向量为,则,令得.同理可求得平面的法向量,∴.【点睛】本题考查了面面垂直的判定,考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时,常建立空间直角坐标系,通过求面的法向量、线的方向向量,继而求解.特别地,对于线面角问题,法向量与方向向量的余角才是所求的线面角,即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19、(1),表示圆心为,半径为的圆;(2)【解析】
(1)根据参数得到直角坐标系方程,再转化为极坐标方程得到答案.(2)直线方程为,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】(1),即,化简得到:.即,表示圆心为,半径为的圆.(2),即,圆心到直线的距离为.故曲线上的点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,直线和圆的距离的最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零点分段法,分,,讨论即可;(II),分,,三种情况讨论.【详解】原不等式即.当时,化简得.解得;
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