专题10 专项题型专训：求一次函数的表达式压轴题五种模型全攻略（解析版）

专题10专项题型专训：求一次函数的表达式压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一已知一点求正比例函数的表达式】 1【题型二已知一点求一次函数中K值或b值】 4【题型三已知两点求一次函数的表达式】 8【题型四两直线平移，求直线的表达式】 12【题型五已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】 15【典型例题】【题型一已知一点求正比例函数的表达式】例题：（2023下·河南许昌·八年级统考期末）已知正比例函数图象经过点．(1)求此正比例函数的解析式；(2)点是否在此函数图象上？请说明理由．【答案】(1)(2)点不在此函数图象上，理由见解析【分析】（1）设正比例函数解析式为，把已知点坐标代入求出的值，即可确定出解析式；（2）把代入解析式计算求出的值，即可作出判断．【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，把代入得：，解得：，则正比例函数解析式为；（2）解：把代入得：，，点不在函数图象上．【点睛】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级校考期中）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点．(1)求y与x的函数关系式；(2)当x取何值时，．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了求正比例函数解析式，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键．（1）设y与x的函数关系式为，把点代入，求出k的值，即可得出函数关系式；（2）当时，，即可求出x的值．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把点代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为；（2）解：当时，，解得：．2．（2021下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）已知是的正比例函数，当时，函数的值等于．(1)求正比例函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中作出函数图像，若点的图像上，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）将点代入（1）中解析式中求解即可．【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，∵当时，函数的值等于，∴，则，∴正比例函数的解析式为；（2）解：在直角平面坐标系中作出函数图像，如图，∵在函数图像上，∴．【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、画正比例函数图像、正比例函数图像上点的坐标特征，正确求得正比例函数的解析式是解答的关键．3．（2021下·广东江门·八年级校考期中）已知正比例函数的图象经过点．(1)求这个函数解析式；(2)判断点是否在这个函数图象上；(3)图象上的两点，，且，比较，的大小．【答案】(1)(2)点不在这个函数图象上(3)【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将点A横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上；（3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小．【详解】（1）解：将点代入，得，解得，∴这个函数解析式为；（2）解：当时，，∴点不在这个函数图象上；（3）解：∵，∴y随着x增大而减小，∵图象上的两点，，且，∴．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【题型二已知一点求一次函数中K值或b值】例题：（2024上·安徽六安·八年级统考期末）已知直线经过点．(1)求a的值；(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式；（1）把代入即可求出a的值；（2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可．【详解】（1）解：把代入,可得，解得；（2）解：因为正比例函数图象经过原点，所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，所以，．【变式训练】1．（2023上·浙江杭州·八年级统考期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点．(1)求此函数的表达式．(2)当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值．【答案】(1)(2)6【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N．（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值．【详解】（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点，∴，解得，∴，∴一次函数的表达式为；（2）解：∵，，∴y随x的增大而增大，∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N，∴，∴．2．（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，且经过点．(1)求一次函数的表达式．(2)求的长．【答案】(1)(2)10【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理；（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得点的坐标为，然后根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，解得．一次函数的表达式为．（2）令，则，解得，点的坐标为，．令，则，点的坐标为，．．3．（2023上·安徽安庆·八年级统考期末）已知一次函数．(1)若该一次函数图像经过点，求该一次函数表达式；(2)若将该一次函数图像向左平移两个单位长度后经过点，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移;（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据平移的性质得出，将点代入，即可求解．【详解】（1）解：依题意，得：解得：，∴；（2）解：依题意，平移后的解析式为，当时，，解得：．4．（2023上·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考阶段练习）已知一次函数，其中．(1)若点在y的图象上，求k的值．(2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；（1）将点代入关系式，求出，即可求解；（2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．【详解】（1）解：点在的图象上，，解得：；故答案为：；（2）解：①当时，即：，当时，函数的最大值为9，当时，，，解得：，一次函数解析式为；②当时，即：，当时，函数的最大值为9，当时，，，解得：，一次函数解析式为；综上所述：一次函数解析式为或；【题型三已知两点求一次函数的表达式】例题：（2023上·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考阶段练习）已知一次函数．当时，；当时．(1)求该一次函数的表达式；(2)当时，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的取值等知识．（1）利用待定系数法即可求解；（2）把代入一次函数解析式得到，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数，当时，；当时，∴，∴，∴一次函数的表达式为；（2）解：当时，，解得．【变式训练】1．（2024上·广东茂名·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3．求一次函数的解析式．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键．【详解】解：根据一次函数与轴的交点可得，，点代入，得，解得：，一次函数的解析式为．2．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)这个函数表达式为：(2)【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）依题意，，解不等式，即可求解．【详解】（1）解：设把，代入得：把，代入得：∴这个函数表达式为：．（2）3．（2024上·北京西城·九年级北京师大附中校考开学考试）已知一次函数的图象经过，．(1)求一次函数解析式；(2)若正比例函数与线段有公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，正比例函数性质，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出正比例函数图象经过点和点时的值即可解决问题．【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将，两点坐标代入函数解析式得，，解得，所以一次函数解析式为．（2）将点坐标代入得，，将点坐标代入得，，又正比例函数的图象与线段有公共点，所以或．4．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中，有两点，点．(1)写出点P到x轴的距离(2)求出直线的解析式(3)试判断点是否在此直线上？【答案】(1)2(2)(3)当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征：（1）根据点的坐标的意义求解；（2）利用待定系数法求直线的解析式；（3）计算自变量为时，函数值为，于是可判断当时，点B在此直线上，否则不在．【详解】（1）∵P点坐标为，∴点P到x轴的距离为2；（2）设直线的解析式为，把点，点分别代入得，解得，∴直线的解析式为；（3）当时，，若，解得，当时，点在此直线上；当时，点不在此直线上．5．（2024上·浙江金华·八年级校联考期末）已知一次函数的图象经过点，两点．(1)求一次函数的表达式；(2)求这个一次函数与坐标轴围成的三角形面积；(3)请直接写出当时的x的取值范围．【答案】(1)(2)8(3)【分析】本题考查一次函数的综合应用．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出直线与轴的坐标，进而利用三角形的面积公式求解即可；（3）根据一次函数的特点解不等式即可．【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，两点，，解得，∴函数解析式为：；（2）∵，当时，，∴直线与轴的交点为；∵直线与轴的交点为，∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为；（3）∵，∴随的增大而增大，∵直线与轴的交点为，∴的取值范围为：．【题型四两直线平移，求直线的表达式】例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）直线与轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为【答案】/【分析】本题考查了两直线的平行问题，利用好平行直线的解析式中的值相等是解题的关键．根据两平行直线的解析式中值相等，再把点代入进行计算求出值，即可得到解析式．【详解】解：∵直线与直线平行，∴，∵直线与轴交于点，∴∴这个一次函数的解析式为．故答案为：．【变式训练】1．（2024上·江西萍乡·八年级统考期末）已知函数的图象与轴交点的纵坐标为，且与的图象平行，那么此函数的解析式为．【答案】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式．先利用两直线平行问题得到，再根据图象与轴交点的纵坐标为，求出b的值即可．【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，，∵一次函数的图象与轴交点的纵坐标为，∴，∴此一次函数的解析式为．故答案为：．2．（2024上·安徽亳州·八年级统考期末）一次函数的图像经过点，且与的图像平行，求该一次函数解析式．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移问题，根据两直线平行（不与y轴或x轴平行），那么一次项系数相同，可设函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：设一次函数解析式为，∵一次函数过点，∴，解得，∴直线解析式为．3．（2024上·安徽六安·八年级统考期末）一次函数的图像经过点，且与直线平行，求这个函数的表达式及其与坐标轴围成的三角形面积．【答案】，．【分析】本题考查了一次函数解析式的确定，坐标轴围成图形的面积计算，运用待定系数法求解即可．【详解】解：由题意得，设这个一次函数表达式为：将代入，得：那么，这个函数表达式为这个函数与坐标轴的交点分别为这个函数与坐标轴围成的三角形面积为：．4．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点，求该一次函数的表达式．【答案】【分析】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题，熟知两直线平行则k相等是解题的关键．根据直线与直线平行得到k的值；再根据直线交轴于点得到b的值，进而得出函数的表达式．【详解】解：一次函数的图象与直线平行，，将点代入中，可得，一次函数的表达式为：．5．（2023上·北京大兴·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且经过点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移；（1）根据题意可得，把点代入，即可求解；（2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用法图象求出的取值范围即可．【详解】（1）解：一次函数的图象与函数的图象平行，．把点代入，得到．这个一次函数的解析式为．（2）解：由题意，得时直线在直线的上方，如图：当直线在之间时，满足题意：

当与平行时，，当过点时,，∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．【题型五已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】例题：（2024上·安徽滁州·八年级统考期末）已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了正比例函数，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．（1）根据与成正比例，设，把代入求出k的值，即可得出y与x之间的函数关系式；（2）把代入（1）中得出的函数关系式，即可解答．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设，把代入得：，解得：，∴，整理得：；（2）解：把代入得：，解得：．【变式训练】1．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的关系式；(2)求（1）中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题；（1）设，当时，，求出，即可求出与之间的函数表达式；（2）求出直线与、轴交点的坐标，即可得到，的长，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）解：与成正比例设，当时，，，，，即与之间的函数表达式是，（2）设直线与、轴分别交于、两点，当时，，当时，，的坐标是，的坐标是，，，函数图象与坐标轴围成的三角形面积是．2．（2023