易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错（原卷版）

专题04易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 8【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 17【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．【变式训练】1．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）若一直角三角形两边长分别为3和5，则第三边长为．2．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）若m，n满足，且m，n恰好为直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为.3．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考期中）已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为．4．（2023上·江苏南京·八年级期末）定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知是的边上的高，若，，，则的长为．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【变式训练】1．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是秒，是等腰三角形．2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知，在中，．点从点出发，在线段上认每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．当点运动秒时，为等腰三角形．3．（2023上·江西抚州·八年级校考期中）在中，，，以为一边，在外部作等腰直角，则线段的长为．4．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）如图，四边形是长方形，，，点是的中点，点在上，且，点沿运动，当为等腰三角形时，的长为．5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023秋·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

3．（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是米．4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是；（2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？5．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）6．（2022春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一