湘教版七年级数学上册压轴题攻略专题15难点探究专题：线段上的动点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题15难点探究专题：线段上的动点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一线段上动点线段和差问题】 1【考点二线段上动点定值问题】 6【考点三线段上动点求时间问题】 9【过关检测】 13【典型例题】【考点一线段上动点线段和差问题】例题：（2022秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，点A、B在直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P是直线l上的动点，且PB＝5cm，则CP＝cm；(2)若点Q是AB的延长线上一点，点M、N分别是AQ、BQ的中点，求线段MN的长．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．

(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．【考点二线段上动点定值问题】例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．【考点三线段上动点求时间问题】例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（

）A．3 B．3.5 C．5 D．62．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题3．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则．4．（2023秋·四川绵阳·七年级统考期末）如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为．三、解答题5．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若，求的长；(2)若为的中点，则与的数量关系是______；(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．6．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段的长度为________；(2)当t为何值时，M、N两点重合?(3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由．7．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．8．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）．(1)当时，①；②求线段的长度；(2)用含的代数式表示运动过程中的长；(3)当时，求的值；(4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．9．（2021秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．（1）求线段，的长；（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．10．（2022秋·全国·七年级专题练习）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是．【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为．(1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______．(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由．

专题15难点探究专题：线段上的动点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一线段上动点线段和差问题】 1【考点二线段上动点定值问题】 6【考点三线段上动点求时间问题】 9【过关检测】 13【典型例题】【考点一线段上动点线段和差问题】例题：（2022秋·江苏无锡·七年级统考期末）如图，点A、B在直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P是直线l上的动点，且PB＝5cm，则CP＝cm；(2)若点Q是AB的延长线上一点，点M、N分别是AQ、BQ的中点，求线段MN的长．【答案】(1)14或4(2)9cm【分析】（1）分点P在点B的左边和点P在点B的右边，两种情况计算即可；（2）首先画出图形，再根据线段中点的定义计算．【详解】（1）解：∵AB＝18cm，点C是AB的中点，∴CB＝AB＝9cm，当点P在点B的左边时，CP＝CB﹣PB＝9﹣5＝4（cm），当点P在点B的右边时，CP＝CB+PB＝9+5＝14（cm），故CP＝14cm或4cm．故答案为：14或4；（2）解：如图，∵M为AQ的中点，N为BQ的中点，∴MQ＝AQ，NQ＝BQ，∴MN＝AQ﹣BQ＝AB＝9cm．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒．(1)解决问题：①当时，写出数轴上点B，P所表示的数；②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？(2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t；②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可；（2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论．【详解】（1）解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12，∴点B表示的数是8-12=-4，∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴点P表示的数是8-3×1=5．②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15解得：x=3．∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度．（2）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），即2MN+PQ=12．同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12．【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．2．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．

(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可；（2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果．【详解】（1）解：当运动时间为时，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：设运动时间为，则，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴，∵，∴，∴，∴．

当点P在点B右边时，∵，，∴，∴；综上，或．【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．【考点二线段上动点定值问题】例题：（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段，，是线段的中点，是线段的中点．(1)若，求线段的长度．(2)当线段在线段上从左向右或从右向左运动时，试判断线段的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)不变，还是，理由见解析【分析】（1）由题意可得，，结合中点的含义可得；（2）由已知可得，，再由，结合中点的性质即可解．【详解】（1）解∶，，，点是的中点，点是的中点，，；（2）线段的长度不发生变化．点是的中点，点是的中点，，．【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是关键．【变式训练】1．（2023春·山东烟台·六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点．

(1)若，求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，其他条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案．(3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想MN的长度吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，图及理由见解析【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解；（3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵M、N分别是的中点，∴，∴∴线段的长为．（2）解∶∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如图:

∵M、N分别是的中点，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键．3．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若点恰好是中点，则____________；(2)若，求的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，设“”，请说明不论取何值（不超过），的长不变．【答案】(1)6(2)(3)见解析【分析】（1）根据线段中点的性质得出，，结合图形即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法进行求解即可．【详解】（1）解：，点为的中点，．点、分别是和的中点，，．故答案为：6；（2）解：，，．点、分别是和的中点，，，；（3）解：设，则，点、分别是和的中点，∴，，不论取何值（不超过），的长不变；【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【考点三线段上动点求时间问题】例题：（2023秋·云南临沧·七年级统考期末）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q同时从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为s

(1)当P、Q两点重合时，求t的值；(2)是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)满足条件的值为4或7或【分析】（1）根据相遇时间=路程和速度和，列出方程计算即可求解；（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；【详解】（1）由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）由题意可得：，∴①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：③当点Q是线段的中点时，，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论以防遗漏【变式训练】1．（2023秋·河南安阳·七年级统考期末）A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）．(1)当时，的长为______，点P表示的有理数为______；(2)若点P为的中点，则点P对应的有理数为______；(3)当时，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)当时，t的值为4或6【分析】（1）根据路程速度时间进行求解即可；（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分点P在点B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差关系求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，，∴点P表示的数为，故答案为：6，4；（2）解：∵点P为的中点，点A对应的有理数为，点B对应的有理数为8，∴点P对应的有理数为，故答案为：3；（3）解：∵，∴当时，则，①当点P在点B左边时，∵，∴，∴；②当点P在点B右边时，∵，∴，∴；综上所述，当时，t的值为4或6．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2022秋·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2．【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．【详解】解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；（2）∵AB＝2，∴BC＝3AB＝6，∴AC＝AB+BC＝8，∵点D为线段BC的中点，∴BD＝BC＝3，∴AD＝AB+BD＝5．答：线段AD的长度为5；（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，PB＝PA﹣PC即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）解得t＝2或（舍去）．答：时间t为2．【点睛】本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·重庆梁平·七年级统考期末）已知线段，点是线段上的一个动点，点分别是和的中点．则的长为（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由点分别是和的中点可得，再由进行计算即可得到答案．【详解】解：点分别是和的中点，，，故选：D．【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，根据题意得出是解题的关键．2．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据AC比BC的多5可分别求出AC与BC的长度，然后分别求出当P与Q重合时，此时t=30s，当P到达B时，此时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置．【详解】解：设BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，当0≤t≤15时，此时点P在线段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M是BP的中点∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，当t＞30时，此时点P在Q的右侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，综上所述，AB＝4NQ，故②正确，当0＜t≤15，PB＝BQ时，此时点P在线段AB上，∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝t，∴t＝12，当15＜t≤30，PB＝BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，当t＞30时，此时点P在Q的右侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，不符合t＞30，综上所述，当PB＝BQ时，t＝12或20，故③错误；故选：C．【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．二、填空题3．（2023秋·江西九江·七年级统考期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则．【答案】1或【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：

，，，，，，；当点N在线段的延长线上，如图：

，，，，综上所述：的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键．4．（2023秋·四川绵阳·七年级统考期末）如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为．【答案】1或4或16．【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点A始终在点B的左侧，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t+9，当点B为线段AC的中点时，-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），解得：t=1；当点C为线段AB的中点时，-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），解得：t=4；当点A为线段CB的中点时，-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）解得：t=16.故答案为：1或4或16．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题5．（2023秋·河北承德·七年级统考期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．(1)若，求的长；(2)若为的中点，则与的数量关系是______；(3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变．【答案】(1)(2)(3)说明见解析【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解；（2）根据线段中点的概念求解即可；（3）根据线段中点的概念求解即可．【详解】（1）因为，所以．因为点是的中点．所以，因为点是的中点．所以，所以；（2）∵为的中点，∴∵点是的中点∴；（3）因为点是的中点．所以因为点是的中点．所以，所以，所以，的长不变．【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．6．（2023秋·湖北武汉·七年级校考期末）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段的长度为________；(2)当t为何值时，M、N两点重合?(3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由．【答案】(1)2t(2)20(3)30或50【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案；（2）根据题意可得出，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可；（3）根据题意可得：，，且．由此可求出．再根据或，即可列出关于t的等式，解出t即可．【详解】（1）∵点M的速度为每秒2个单位长度，∴．故答案为：；（2）根据题意可知．当M、N两点重合时，有，解得：．故t为20时，M、N两点重合；（3）根据题意可得：，，且．∴．∴或，即或解得：或．故存在时间t，使长度为5，此时t的值为30或50．【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键．7．（2023春·吉林长春·七年级统考开学考试）如图，点在线段上，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动．当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．(1)线段的长为______．(2)当点与点相遇时，求的值．(3)当点与点之间的距离为个单位长度时，求的值．(4)当时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(4)【分析】（1）根据即可求解；（2）依题意，，根据点与点相遇时，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分别列出方程，解方程即可求解；（4）分点在线段上和线段上，分别讨论，列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵点在线段上，，，∴，故答案为：．（2）解：依题意，，当点与点相遇时，解得：；（3）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：，相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：，综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度；（4）∵，当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：（舍去）当在线段上时，，此时，∵，∴，解得：，∴【点睛】本题考查了线段的和差计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．8．（2023秋·河北唐山·七年级校考期末）如图，是线段上一动点，沿以的速度往返运动次，是线段的中点，，设点的运动时间为秒（）．(1)当时，①；②求线段的长度；(2)用含的代数式表示运动过程中的长；(3)当时，求的值；(4)在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)①；②(2)当时，；当时，(3)或(4)不变，【分析】（1）①根据即可得出结论；②先求出的长，再根据是线段的中点即可得出的长；（2）分两种情况进行讨论即可；（3）根据时间＝路程÷速度计算即可；（4）根据中点定义即可得出结论．【详解】（1）解：①∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动，∴当时，．故答案为：；②∵，，∴，∵是线段的中点，∴．∴线段的长度为．（2）∵是线段上一动点，沿以的速度往返运动，当点从点出发到点时，，∴当点沿点运动时，这时：，；当点沿点运动时，这时：，；（3）当点沿点运动时，（），∴，又∵，∴，解得：，当点沿点运动时，（），∴，又∵，∴，解得：，综上所述，当时，求的值为或；（4）不变．∵的中点为，是线段的中点，，∴，，∴，即：