微积分复习教案

第一讲极限理论一基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20）二求极限的各种方法⑴当SKIPIF1<0为连续函数时,SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0例1计算极限SKIPIF1<0⑵设SKIPIF1<0为非负整数,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0例2计算极限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑶用两个重要极限求①SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）结论：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）实质：外大内小，内外互倒例4计算极限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0⑷未定式的极限（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）①罗必达法则例5计算极限：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法）例6计算极限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）例7计算极限SKIPIF1<0⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。例8计算极限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0三连续和间断1.连续的定义2.间断点的定义和分类四闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。第二讲微分学一导数概念导数：SKIPIF1<0左导数：SKIPIF1<0右导数：SKIPIF1<0实质：差商的极限。例1计算极限：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0二各种求导法⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）例2设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例3设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；⑵复合函数的求导（P90）例4求下列函数的导数①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑶隐函数求导（方法：把SKIPIF1<0当作SKIPIF1<0的函数，两边对SKIPIF1<0求导）例5求下列隐函数的导数①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）例6求下列函数的导数①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑸由参数方程确定的函数的求导重点：由参数方程SKIPIF1<0确定的函数SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0；例7设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；三高阶导数例8设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例9设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；四微分重点：函数SKIPIF1<0的微分是SKIPIF1<0例10设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；例11设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；五单调性和极值重点：⑴由SKIPIF1<0的符号可以判断出SKIPIF1<0的单调性；⑵求SKIPIF1<0的极值方法：①求出SKIPIF1<0，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近SKIPIF1<0的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。例12求函数SKIPIF1<0的单调区间和极值点。例13证明：当SKIPIF1<0时，恒有SKIPIF1<0。六最值问题求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最值之步骤：①求出SKIPIF1<0，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。例14求下列函数在指定区间上的最值。⑴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0七凹凸性和拐点重点：⑴凹凸性概念：设SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内连续，若对SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）则称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。⑵由SKIPIF1<0的符号可以判断出SKIPIF1<0的凹凸性。SKIPIF1<0为正号则SKIPIF1<0是凹函数，SKIPIF1<0为负号则SKIPIF1<0是凸函数。⑵判断SKIPIF1<0的拐点之方法：①求出SKIPIF1<0，令其为零，得到SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的点和SKIPIF1<0不存在的点；②判断在这些点两侧附近SKIPIF1<0的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。例15求下列函数的凹凸区间和拐点。⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0例16证明：当SKIPIF1<0时，必有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）。第三讲积分学一不定积分与原函数的概念与性质⑴原函数：若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个原函数。⑵不定积分：SKIPIF1<0的全体原函数称为SKIPIF1<0的不定积分，即SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0⑶不定积分的性质（P174,共2个）特别强调：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（切记常数SKIPIF1<0不可丢）二定积分的概念与性质⑴定积分概念：SKIPIF1<0⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。⑶SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可积的必要条件：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有界；充分条件：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续；⑷定积分的几何意义：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0围成的曲边梯形的面积。⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。例：⑥若对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0。⑦若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则存在SKIPIF1<0，使得满足SKIPIF1<0。另：若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0。三由变上限积分确定的函数⑴定义：设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上连续，则称函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为变上限积分确定的函数。⑵求导问题：SKIPIF1<0例1求下列函数的导数SKIPIF1<0。①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑶与罗必达法则结合的综合题例2求下列极限：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0四求积分的各种方法⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）例3计算积分：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⑵第一换元法（凑微分法）重点：SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用凑微分公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例4计算积分：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0⑶第二换元法重点：SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用换元方法：①被积函数中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；若有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小公倍数。②被积函数中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；③被积函数中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；④被积函数中若有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0；注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。例5计算积分：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0例6设SKIPIF1<0是定义于实数集上的连续函数，证明⑴SKIPIF1<0，⑵SKIPIF1<0⑷分部积分法SKIPIF1<0关键：适当选择SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令SKIPIF1<0为易积函数，SKIPIF1<0为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令SKIPIF1<0为幂函数，SKIPIF1<0为不易积函数。例7计算积分：SKIPIF1<0⑸有理分式函数的积分步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式SKIPIF1<0的积分。②把SKIPIF1<0分解成如下形式SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0。③把SKIPIF1<0化为如下形式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这里SKIPIF1<0为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。④于是对SKIPIF1<0的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。例8计算积分：⑴SKIPIF1<0⑵SKIPIF1<0五定积分的分段积分问题例9计算积分：⑴SKIPIF1<0。⑵SKIPIF1<0六定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。⑴由曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0[SKIPIF1<0]及直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0[SKIPIF1<0]围成的图形的面积为：SKIPI