2024届备战高考数学易错题《排列组合》含答案解析

高中②男医生1名、女医生2名：，一共有+=70种，选C。错误做法：，出现了重复计算。变式3：定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1,且对任意，中0的个数不少于1的个数。若，则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16C.14个D.12个解：，方法一：列举法：可列举出中间六项所有可能性共有14种，选C。方法二：正难则反排除法：中间六项共有种，0的个数小于1的个数有6种，共14种。1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（

）A．60种 B．90种 C．125种 D．150种【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组；将分好的三组全排列，对应3个路口，由分步乘法计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1、2、2的三组，有种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个路口，有种情况，则共有种分配方案.故选:B.2．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗，每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件数，再求出甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的基本事件数，然后利用古典概率公式计算作答,【详解】当A，B，C三家医院都接待一个单位时有种，当A，B，C三家医院有两家接待两个单位时有种，因此，三个单位被系统随机预约接种疫苗的基本事件有个，它们等可能，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的事件M，即甲不选C医院，选A，B医院之一，有种选法，乙、丙从A，B，C三家医院中任选一家，去掉他们都选A医院的情况，有种选法，因此，事件M含有的基本事件数为个，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的概率.故选：B3．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（

）A． B．120 C．240 D．720【答案】D【分析】由题意知：问题等价于3个元素排10个位置，应用排列数计算不同的分法种数即可.【详解】由题设，相当于3个元素排10个位置，有种不同的分法．故选：D．4．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（

）A．81 B．48 C．36 D．24【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①数字3不出现，②数字3出现1次，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2=16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2=32个，故有16+32=48个四位数，故选：B.5．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（

）种A．24 B．36 C．48 D．60【答案】D【分析】首先，根据题意，分析得出应该分两类情况，共选3人参加研讨会和4名学生都参加，之后各自应用分步计数原理求得结果，之后应用分类加法计数原理求得结果.【详解】依题意，分两类情况：（1）每个学科选1人，共选3人参加研讨会，从4名学生中选3名进行排列即可，有种情况；（2）4名学生都参加，则必然有2名学生参加同一学科的研讨会，先从4名学生中选2名看作一个整体，有选法，将这个整体与其他学生全排列即可，有种排法，根据分步计数原理，共有种情况，综上所述，根据分类计数原理可得，每学科至少一名学生的情况有种，故选：D.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于简单题目.6．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种 B．90种 C．180种 D．270种【答案】B【分析】对三个盒子进行编号1，2，3，则每个盒子装球的情况可分为三类：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一类的放法种数相同.【详解】先考虑第一类，即3个盒子放球的个数为：1，2，2，则第1个盒子有：，第2个盒子有：，第3个盒子有：，第一类放法种数为，不同的放法种数有.【点睛】考查分类与分步计算原理，明确分类的标准是解决问题的突破口.7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有人，其中一班、二班、三班、四班各人，现在从中任选人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选人，不同的选取法的种数为A． B． C． D．【答案】B【分析】试题分析：分两种情况，三班没人时，有种选法，三班恰有1人时，有种选法，所以共有种取法.故选B．8．下列说法正确的是（

）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个【答案】ABC【分析】根据分步乘法计数原理可知A、C项正确；先选人，后排列，根据分步乘法计数原理即可得出B项；分为选0以及选2两种情况，分别求出结果，根据分类加法计数原理可得出D项错误.【详解】对于A项，每位同学均有3种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故A项正确；对于B项，第一步从4位同学中选出3人，有种方法；第二步，选出的3名同学，选择不同的项目，有种方法.根据分步乘法计数原理可知，共有种报名方法，故B项正确；对于C项，每项运动的冠军都有4种可能，根据分步乘法计数原理可知，共有种可能的结果，故C项正确；对于D项，若选择0，则0只能在第二位，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能；若选择2，则2可以排在前两位，有2种可能，其他两位从3个奇数中选择2个排好，所以有种可能.根据分类加法计数原理可得，共有种可能，故D项错误.故选：ABC.9．如图，线路从到之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现之间线路不通，则下列判断正确的是（

）A．至多三个断点的有种 B．至多三个断点的有种C．共有种 D．共有种【答案】AC【分析】分五种情况分别讨论求解可得出.【详解】若有1个断点，则1,5中断开1个，有2种情况；若有2个断点，则1,5都断开有1种；1,5断开1个，2,3,4断开1个有种，共种情况；若有3个断点，则2,3,4断开有1种；1,5都断开，2,3,4断开1个有3种；1,5断开1个，2,3,4断开2个有种，共种；若有4个断点，则1,5都断开，2,3,4断开2个有3种；1,5断开1个，2,3,4都断开有2种，共有种；若有5个断点，有1种情况.综上，至多三个断点的有种，故A正确，B错误；所有情况共有种，故C正确，D错误.故选：AC.10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法.（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.【答案】（1）1024种；（2）120种；（3）240种.【分析】（1）根据分步计数原理求解即可；（2）根据分步计数原理求解即可；（3）利用部分平均分组的方法求解即可；【详解】（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，由分布计数原理知共有种.（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有5种不同的选法，第二个项目有4种不同的选法，第三个项目有3种不同的选法，第四个项目有2种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法种.（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，故此需将5人分成4组，有种.每组参加一个项目，由分步计数原理得共有种.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？【答案】（1）720种（2）936种【分析】（1）由题意可知前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品，所以选出排列即可.（2）至多五次能找到，包括检测3次都是次品，检测四次测出3件次品，检测五次测出3件次品或着检测五次全是正品，剩下的为次品，以此求出每种情况求和可得结果.【详解】解：（1）若在第五次检测出最后一件次品，则前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品.则不同的检测方法共有种.（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有种检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有种；检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有种．所以共有936种测试方法【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数的原理以及学生处理实际问题的能力，最后一次的问题一定要注意最后一次是确定的事件，本题属于中档题.12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）【答案】【分析】由题意，按照甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方案数量，再由加法计数原理相加计算.【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有.故答案为：13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）【答案】【分析】由题意，分三种情况讨论：①每个班接收1名同学；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，由分类计数原理结合排列、组合的知识，计算即可得解.【详解】由题意，满足要求的情况可分为三种：①每个班接收1名同学，分配方案共有种；②其中一个班接收2名，其余两个班各接收1名，分配方案共有种；③其中两个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有种；所以不同的分配方案有种.故答案为：.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？【答案】192【解析】分返回单位的2人原来在同一科室，以及2人原来不在同一科室两种情况，分别求出安排方法数，把这两类的方法数相加，即得所求．【详解】返回单位的2人原来在同一科室时，有种方法，返回单位的2人原来不在同一科室时，有种方法，故不同的安排方法共有种方法，故答案为：.【点睛】本题考查查排列与组合及两个基本原理，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，属于中档题．易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）不同元素分组分配问题技巧总结分组问题与分配问题Ⅰ：将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组问题.分组问题共分为3类：不平均分组、平均分组、部分平均分组.将个不同元素按照某些条件分配给个不同的对象，称为分配问题.分配问题共分为2类：定额分配、随机分配.区别：分组问题是组与组之间只要元素个数相同，是不区分的.而分配问题即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的，对于分配问题必须先分组后分配.Ⅱ：分组问题的常见形式及快速处理方法①非均匀不编号分组：个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不管是否分完，其分法种数为：如：6个不同的球分为3组，且每组数目不同，有多少种情况？②均匀不编号分组：将个不同元素分成不编号的组，假定其中组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.如果再有组均匀分组，应再除以.除的原因为：如：123456平均分成3组，可能是也可能是或者是等，一共有种不同的组别，但这些组都是一样的，所以除以.如：两两一组，分两组，若直接用种，但列举出来的分别为、、再往下列举就已经重复了.如：、、.如：6个不同的球分为3组，且每组数目相同，有多少种情况？.③非均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）④均匀编号分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为（为非均匀不编号分组的分法种数）.易错提醒：均匀分组和部分均匀分组在计数过程中易出现重复现象，注意计算公式的应用．重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以．例、将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有______种．（用数字作答）易错分析：先把6本不同的书分成4组，然后分给4个人，但该题易出错的地方有两个：一是分组考虑不全造成漏解，分组方式有2种，即3，1，1，1与2，2，1，1；二是2，2，1，1分组时，忽视平均分组问题造成增解．正解：把6本不同的书分成4组，每组至少一本的分法有2种．①1组有3本，其余3组每组1本，不同的分法共有（种）；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有（种）．所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）．然后把分好的4组分给4个人，所以不同的分法共有（种）．故填1560．易错警示：关于分组问题，有均匀分组、不均匀分组和部分均匀分组三种，无论分成几组，考生应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，解决这类问题必须按照均匀分组的公式来解决．变式1：12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有()种。A.B.3C.D.解：属于平均分组且排序型，共有种，选A。变式2：将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种解：属于平均分组且排序型，共有种，选A。变式3：某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。（用数字作答）解：属于部分平均分组且排序型，即2，1，1，1；共有：种。如熟练可直接得表示分为四组，再进行排序得：种。1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（

）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】C【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．故选：C.2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（

）A．42种 B．36种 C．72种 D．46种【答案】A【详解】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A．3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（

）A．216 B．288C．432 D．512【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合插空法、捆绑法列式计算作答.【详解】求不同的排法种数这件事需要5步：先排3位妈妈，有种方法；把这位爸爸与2位男宝宝按爸爸在2位男宝宝之间，视为一个整体插入3位妈妈排列形成的中间2个间隙，有种方法；下面分为两类：①再任取2位女宝宝排在2位没有宝宝的妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在男宝宝与妈妈的2个间隙中，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；②再任取2位女宝宝排在男宝宝和妈妈间，有种方法；然后把余下的女宝宝排在没有宝宝的妈妈中间，有种方法；最后排2位男宝宝，有种方法，由分步乘法计数原理得：不同的排法种数为；所以不同的排法共有种.故选：C【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（

）A．20种 B．30种 C．50种 D．60种【答案】A【分析】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，利用排列得到答案.【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.故选：A5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了､､三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加､项目，乙不能参加､项目，那么共有（

）种不同的选拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．52【答案】D【分析】根据题意，按甲乙是否参加志愿活动分4种情况讨论，求出每种情况的选拔方法数目，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下4人中任选3人参加即可，有种选拔方法，②甲参加乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下4人中任选2人参加A、B项目即可，有种选拔方法，③乙参加甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选2人参加B、C项目即可，有种选拔方法，④甲乙都参加志愿活动，甲只能参加C项目，乙只能参加A项目，在剩下4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法，则有24＋12＋12＋4＝52种选拔方法；故选：D6．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（

）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】B【解析】分三类，分别求出甲在周一、周二、周三参加公益劳动即可得到答案.【详解】第一类：甲在周一，共有种方法，第二类：甲在周二，共有种方法，第一类：甲在周三，共有种方法，种不同的方法.故选：B7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（）A．20种 B．30种 C．40种 D．60种【答案】A【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．8．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出甲安排在第一、二、三天的可能性，代入概率公式，即可得答案.【详解】第一种情况：甲安排在第一天，则有种；第二种情况：甲安排在第二天，则有种；第三种情况：甲安排在第三天，则有种，所以.故选：A9．从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有种．【答案】42【详解】根据题意，分2种情况讨论：①取出的两个球颜色相同；②取出的两个球颜色不同，有黄球和蓝球，黄球和红球，红球和蓝球，共三种情况，分别求出每一类情况的放入方法种数，由加法原理计算可得答案．根据题意，分两类情况：①若取出2个球全是同一种颜色，有3种可能，若为红色只需把它们放入蓝和黄即可，有（种），此时有（种）；②若取出的2个球为两种颜色的球，有（种），若为一红一黄，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，有3种方法，此时共有（种），因此不同的放法有种．10．将2枚白棋和2枚黑棋放入一个的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为．【答案】3960【分析】利用去杂法可求不同方法的种数.【详解】解析：将两枚白棋放入方格中的方法数为种，两枚黑棋放入方格中使得它们既不在同一行，也不在同一列的方法数为，其中至少有1枚黑棋与白棋放入同一方格的方法数为种，两枚黑棋均放入两枚白棋所在的方格中的方法数为1种，故由容斥原理可知不同的方法数为种．故答案为：.【点睛】思路点睛：对于较为复杂的组合计数问题，我们可以采用去杂法从反面考虑，但要注意防止重复计算，如本题中同色的棋子不做区分.11．现有红、黄、白三种颜色的小球（形状、大小完全相同）5个，每种颜色至多2个小球，若将这5个小球排成一排，要求中间位置不放白球，且同种颜色的小球不相邻，则共有种排法．【答案】24【分析】中间位置必须为黄球或红球，考虑中间位置的颜色有1个球，或2个球，分类讨论即可.【详解】根据题意，中间位置的颜色有2种可能，即红球或黄球.若中间位置的小球颜色是红球或黄球，满足题意的排列个数相同.考虑中间位置是红球即可.此时，若红球个数总共只有1个，则有种排法；若红球个数总共有个，则有种排法；故所有的排法有：种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合问题的求解，涉及分类讨论，属综合中档题.12．把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为(用数字作答)．【答案】96【详解】两张票必须是连号共有4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况；则共有4×24=96种情况；故答案为：96考点：排列、组合的应用点评：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法解决问题．13．全运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加、、三个项目的志愿者工作．因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加1个项目，若甲不能参加、项目，乙不能参加、项目，那么共有多少种不同的选拔志愿者的方案？【答案】52【分析】根据甲乙参加与否，分类计数，可分四种情况讨论，分别计算选拔方法数量，最后汇总即可【详解】根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C项目，在剩下的4人中任选2人参加A、B项目，有种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A项目，在剩下的4人中任选2人参加B、C项目，有种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B项目，有种选拔方法.综上，则有.∴共有52种不同的选拔志愿者的方案14．某电影院一排有10个座位，现有4名观众就座.（1）若4名观众必须相邻，则不同的坐法有多少种？（2）若4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有多少种？（3）若4名观众两两不相邻，且要求每人左右两边至多只有2个空位，则不同的坐法有多少种？【答案】（1）168（2）2520（3）432【分析】（1）将四名观众捆绑一起看做一个符合元素，插入到6个空座位排列后所形成的间隔中，问题得以解决．（2）利用捆绑法和抽空法，根据分步计数原理可得；（3）根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，每两人之间插入一个空位，②，将3个空位插入到7个排好的元素之间，由分步计数原理计算可得答案．【详解】由题意，电影院一排有10个座位，现有4名观众就座后还剩下6个座位：（1）4名观众捆绑有种，插入6个座位一排的7个空位有7种，所以，4名观众必须相邻，不同的坐法有种；（2）4人中选两人捆绑有种，与另两个人组成3个元素插入7个空位中的3个空位有种，故4名观众中恰有两人相邻，则不同的坐法有种；（3）根据题意，由于4名观众每两人都不能相邻，即每两人之间至少要有1个空位，分2步进行分析：第一步，将4人全排列，每两人之间插入一个空位，有种情况，第二步，再安排剩余3个空位，分两类：①若前后两端存在一组连续2个空位，则先插入这组2个空位，再插入剩余1个空位，则有种情况；②若前后两端不存在一组连续2个空位，则需将3个空位分别插入不同位置，有种情况．综上，共有（种排法15．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)若每盒至多一球,则有多少种放法?(3)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(4)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8【分析】（1）1号小球可放进任意一个盒子里，故4种放法，2、3、4号小球也可任意放进一个盒子里，故各4种放法，根据分步计数原理，共44=256种放法；（2）每盒至多一球，即每个盒子中一个球，是全排列问题；（3）四个球放三个盒子，即有两个球在一个盒子里，进而求解；（4）首先任选一球放进编号相同的盒子，有C41种放法，其余球任放进一个盒子里，且使得编号不同，有2种放法，即可得解.【详解】(1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法.(2)这是全排列问题,共有A44=24(种)放法.(3)先取四个球中的两个“捆”在一起,有C42种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有A43种投放方法,所以共有C42A43=144(种)放法.(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有C41×2=8(种)放法.【点睛】在计数过程中，首先要确定要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”，求每“类”或每“步”中不同方法的种数；再利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数.易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）可重复问题总原则：可重复问题方幂处理(乘法原理）Ⅰ：解决排列组合综合问题的一般过程（1）认真审题，确定要做什么事；（2）确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．Ⅱ：数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．Ⅲ：定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．易错提醒：解排列组合的应用题，要注意：由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．例、从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．20错解：D由题意可知不同值的个数为．错因分析：错解中忽略了20种不同a，b取值的情况中，存在数值相同的情况，因此出现了重复计数的问题，需将其减掉．正解：C从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数有种不同的方法，但，，所以不同值的个数为．变式1.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.B.C.D.解：每位同学选一个兴趣小组，属于可重复问题，所以参加方法共有种，参加同一个兴趣小组有3种，，选A。变式2.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.解：每位同学选一天，属于可重复问题，共有种选法，只选一天有两种，，选D。变式3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是()A.B.C.D.解：，选A。1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣篮表演，则西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分步计数及组合排列数求西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的情况数，再应用全排列求4个代表队任意排的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】由题意，西昌代表队队员在第二、三位选一个位置有种，其它三个代表队在剩下三个位置上作全排有种，所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位共有种情况；而4个代表队任意排有种，所以西昌代表队队员扣篮表演不在第一位且不在最后一位的概率为.故选：A2．“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（

）种不同的出场顺序.A．72 B．78 C．96 D．120【答案】B【分析】讨论甲在第三出场、不在第一、三出场，结合排列和计数原理求解即可.【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；当甲不在第一、三出场时，共有种；故共有种不同的出场顺序.故选：B3．将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不被分到A社区的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区的所有情况，以及甲不被分到A社区的情况，求出概率.【详解】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有种情况，其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，剩余3人分配到3个社区，故共有种情况，故甲不被分到A社区的概率是．故选：C4．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有种．【答案】84【分析】考虑前2个节目都是语言类节目和前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类两种情况，根据分步乘法原理以及分类加法原理，即可求得答案.【详解】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．综上，有种不同的排法，故答案为：845．某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有种．【答案】30【分析】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：①甲、乙均单独去一个乡镇，②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，分别计算出选派方法，相加即可.【详解】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：①甲、乙均单独去一个乡镇，则剩下的2人一起去另一个乡镇，共有种选派方法；②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，剩下的2人均单独去一个乡镇，共有种选派方法．由分类加法计数原理可知，不同的选派方法共有（种）．故答案为：6．首个全国生态主场日活动于2023.8