高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时 课件

第三章圆锥曲线与方程漳州市龙海区港尾中学3.1.2椭圆的简单几何性质（第一课时）教学目标

理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质（重点）01

椭圆的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点）02直线与椭圆位置关系（重点、难点）03椭圆的简单几何性质01知识回顾RetrospectiveKnowledge椭圆的标准方程椭圆的定义:平面上到两个定点F1、

F2的距离之和为常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1

、F2叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|=2c叫做焦距．焦点在x轴上：

焦点在y轴上：

椭圆的标准方程：a²

=

b²＋c²

椭圆的标准方程焦点在x轴上：

焦点在y轴上：

椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a²

=

b²＋c²；

（3）椭圆的标准方程中，大的分母是a²

，小的分母就是

b²；（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上．焦点在坐标轴上，且关于原点对称的椭圆的标准方程为：

02新

知

探

索NewKnowledgeexplore观察椭圆的图象并思考下列问题：1．范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高

分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．2．对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心．图象是

不是轴对称图形？如果是，找出对称轴．3．通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明．4．试根据方程解释你所观察到的现象．

下面，我们通过对椭圆标准方程

的研究，来认识椭圆的一些简单几何性质．范围

这说明椭圆位于四条直线

x=－a

，x=a

，y=－b

，y=b所围成的矩形内．

同理可知，椭圆

位于四条直线

x=±b，y=±a，所围成的矩形内．

由椭圆的标准方程

可知，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式：对称性-对称轴平面上任一点(x，y)关于x轴的对称点是(x，－y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(x，－y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x，－y)也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称．平面上任一点(x，y)关于y轴的对称点是(－x，y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(－x，y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于y轴的对称点P2(－x，y)也在椭圆上，因此椭圆关于y轴对称．

椭圆的标准方程是以两个焦点所连线段的中点为原点、以两焦点连线为x轴或y轴得到的．因此，平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是它的对称轴，两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴．

平面上任一点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(－x，－y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(－x，－y)也在椭圆上．由此可见，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫作椭圆的对称中心．对称性-对称中心

对于平面上任意一个椭圆，它的两个焦点所连线段的中点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心．

对于标准方程的椭圆关于两坐标轴对称也关于原点对称．顶点

椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．

在椭圆的标准方程

中，令y

=

0，得

x

=

±a；令x

=

0，得y

=

±b．因此A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．

线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．

椭圆的中心O分别将长轴、短轴等分，a和b分别叫作长半轴长和短半轴长．顶点

在椭圆的标准方程

中，令y

=

0，得

x

=

±b；令x

=

0，得y

=±a．因此B1(－b，0)，B2(b，0)，A1(0，－a)，A2(0，a)是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．

线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．

椭圆的中心O分别将长轴、短轴等分，a和b分别叫作长半轴长和短半轴长．离心率

回顾一下我们用细绳画椭圆的过程，若细绳的长度不变，改变焦点F1，F2的位置，椭圆的形状会发生怎样的变化?逐渐增大，因此椭圆会越来越圆，反之椭圆会越来越扁．

对椭圆而言，因为a

>

c

>

0，所以0

<

e

<

1．

当|F1F2|变小时，

的值逐渐变小，这时由b²=a2－c2知，短轴长2b

这说明

反映了椭圆的扁平程度．

我们把半焦距与长半轴长的比

叫作椭圆的离心率．例3

求椭圆

的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率．解：由椭圆的标准方程

可知

a2

=25，b2

=9，即a

=5，b

=3．

所以c²

=

a²－b²=25－9=16，即c

=4．

于是，椭圆的长轴长为2a

=10，短轴长为2b

=6，焦距为2c

=8

；

顶点坐标为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)；

焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)；

离心率

例4

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）长轴长为18，离心率为解：因为2a

=18，所以a

=9．

椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，所求的椭圆标准方程为

又因为

，

所以c

=3．

于是，

b²

=

a²－c²

=81－9=72．

例4

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（2）经过点P(2，2)，Q(－3，－1)，焦点在x轴上．解：因为椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为

将P，Q两点的坐标代入得

解：设椭圆的方程为mx²

＋n

y²=1（n>m>0）

例4

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（2）经过点P(2，2)，Q(－3，－1)，焦点在x轴上．将P，Q两点的坐标代入得

练习1

已知椭圆

的离心率为

，求实数m的值．03拓展提升ExpansionAndPromotion练习2

已知椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，过点F2且与F1F2垂直的直线l交椭圆与两点，求|AB|的值．解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以F2的坐标为(c，0)

，

将x=c，代入椭圆的方程可得

过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦叫做椭圆的通径，其长度为[变式]

已知椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，且AF2⊥F1F2，若求∠AF1F2=30°，则椭圆离心率为

．解：依题意，得

，

[变式]

已知椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，且AF2⊥F1F2，若求∠AF1F2=30°，则椭圆离心率为

．[变式]

已知椭圆

的左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，且AF2⊥F1F2，若求∠AF1F2=30°，则椭圆离心率为

．解：依题意，得

，

04归纳总结SumUp方程图像方程焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x