数学学案：空间中的平行关系第一课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1.2.2空间中的平行关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线线平行、线面平行的相关公理、定理或性质．2．理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理．3．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题．1．平行直线(1）平行公理：过直线外一点__________条直线和已知直线平行．(2）基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相________．上述基本性质通常又叫空间平行线的传递性．（3）等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别__________,并且__________，那么这两个角相等．【做一做1】若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()．A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行2．空间四边形【做一做2】在空间中，下列说法正确的个数为（)．①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一直线的两直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．A．1B．2C．3D．43．直线与平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示（1）若直线与平面内的无数多条直线平行,也不能认为直线与平面一定平行，如：直线在平面内，与之平行的直线能有无数条，一定要注意区分“任意”和“无数”不是一回事．(2）直线与平面不相交和直线与平面没有公共点是不一样的，前者包括直线与平面平行及直线在平面内两种情况，而后者仅指直线与平面平行．【做一做3－1】如果两直线a∥b,且a∥平面α，则b与α的位置关系是(）．A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α【做一做3－2】过平面外一点可以作__________条直线与已知平面平行．4．直线与平面平行的判定和性质定理（1)判定定理：如果__________的一条直线和________的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（2)性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线__________．【做一做4－1】已知△ABC，△DBC分别在平面α,β内，E∈AB，F∈AC,M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，则EF与BC的位置关系是（）．A．平行B．相交或平行C．平行或异面D．平行或异面或相交【做一做4－2】P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点，则直线PC和平面BDQ的位置关系为__________．1．一条直线与一个平面平行,这条直线与这个平面中直线的关系剖析：一条直线与一个平面平行，它可以与平面内的无数条直线平行，这无数条直线是一组平行线．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ABCD．在平面ABCD内所有与AC平行的直线，由基本性质4知都应与A1C1平行，这样的直线显然有无数多条,但直线A1C1并不是和这个面内的所有直线都平行，在平面ABCD中，所有与AC相交的直线与A1C1的位置关系都是异面．由此说明：直线与平面平行即直线与平面无公共点,则直线与平面内的任意直线都无公共点，则直线与平面内的直线有且仅有两种位置关系：平行和异面．2．教材中的“思考与讨论”空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，这两个角的大小关系又如何?叙述你得到的结论,并说明理由．剖析:由已知可得如下结论：结论1：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角相等．结论2：空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反,那么这两个角互补．证明：对于结论1：如图(1)，延长CA到C2，延长BA到B2.由于BA∥B1A1，∴B1A1∥AB2,同理A1C1∥AC2.易知∠BAC＝∠C2AB2，且AB与AB2，AC与AC2方向相反，可知AB2与A1B1,AC2与A1C1方向相同，由等角定理可知，∠B2AC2＝∠B1A1C1。从而有∠BAC＝∠B1A1C1.所以结论1是成立的．对于结论2，如图(2），AC与A1C1平行且方向相同，AB与A1B1平行且方向相反，延长BA到B2，就有AB2∥A1B1，且AB2与A1B1方向相同．由等角定理可知∠B2AC＝∠B1A1C1，由于∠B2AC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC与∠B1A1C1互补．题型一基本性质4的应用【例1】如图所示,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G，H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形．分析:要证明四边形EFGH是梯形，需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知,利用平面的基本性质4即可解决．反思：证明空间两直线平行,可寻找第三条直线，使之与这两条直线分别平行，利用基本性质4可证．除此之外,我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．题型二等角定理的应用【例2】已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.分析:欲证两个角相等，可运用等角定理来解决．反思：空间两角的两边分别平行，若方向相同则两角相等；若一边方向相同，另一边方向相反，则两角互补．题型三线面平行的判定定理的应用【例3】如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．分析：解答本题可先在平面BB1D1D内寻求一条与EF平行的直线，再根据线面平行的判定定理证明．反思：按照“先找线后作线”的两步法，在平面BB1D1D中现有的直线BB1,DD1，BD，B1D1都不能作为与已知直线EF平行的线，再者作线的话在平面内也没提示特殊点，只得过E，F作平面BB1D1D的垂线，产生与直线EF平行的线．题型四线面平行性质定理的应用【例4】如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．（1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH;(2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．分析：(1）利用线面平行的判定和性质定理进行证明；(2)利用相似性质来求边长．反思:判定与性质定理常常交替使用：先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称为平行链，如下:线线平行eq\o（→,\s\up7(在平面内作），\s\do5(或找一条直线））线面平行eq\o（→,\s\up7(经过直线作)，\s\do5(或找平面与平面的交线））线线平行题型五易错辨析【例5】平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α,a，b⊄α.求证：b∥α。错解:∵直线a∥b，∴a与b无公共点．又∵a∥平面α，∴a与平面α也无公共点，又b⊄α，∴b与α无公共点，∴b∥α.错因分析：b⊄α包含b∥α和b∩α＝M两种情况,上面证明误认为b⊄α即意味着b∥α而致错．反思:根据条件a∥α，为了利用直线和平面平行的性质定理，因此过a作平面β与α相交,这里我们把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，辅助平面是把空间问题向平面问题转化的一种手段．和平面几何中添加辅助线一样,在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的．在本例中就是以“直线及此直线外一点确定一个平面”为依据作出辅助平面的．1若一个角的两边和另一个角的两边平行，则这两个角()．A．相等B．互补C．相等或互补D．大小关系不确定2已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行．其中正确的个数是（）．A．0B．1C．2D．33如图,点E，F,G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD,AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD成90°角,则四边形EFGH是（）．A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形4两直线a∥b,且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________．5如图，正方形ADEF与梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD,且AB＝2，CD＝4,M为CE的中点．求证：BM∥平面ADEF.答案:基础知识·梳理1．（1）有且只有一（2)平行（3）对应平行方向相同【做一做1】D2．不共面空间四边形ABCD相邻顶点间不相邻【做一做2】B有两组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是空间四边形,故①不正确,同理,②也可能是空间四边形，只有③④正确．【做一做3－1】Db⊂α能满足a∥b，且a∥平面α；b∥α也能满足a∥b，且a∥平面α。【做一做3－2】无数4．（1)不在一个平面内平面内(2)平行【做一做4－1】A如图所示，∵EF∥MN，∴EF∥平面BCD.又EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面BCD＝BC，∴EF∥BC。【做一做4－2】PC∥平面BDQ连接AC，BD交于点O，可证得PC∥OQ,∴PC∥平面BDQ.典型例题·领悟【例1】证明：在△ABC中，∵E，F分别是AB，BC边上的中点，∴EFeq\f（1,2)AC.又在△ACD中,G，H分别是CD,AD边上的三等分点，eq\f(DH，DA)＝eq\f（DG，DC）＝eq\f(1,3），∴GHeq\f(1，3)AC。∴EF∥GH且EF≠GH,即四边形EFGH是梯形．【例2】证明:如图所示，连接EE1.∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1AE.∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1AE1E.又∵A1AB1B，∴E1EB1B。∴四边形BB1E1E是平行四边形．∴EB∥E1B1.同理，EC∥E1C1.又∠BEC与∠B1E1C1的两边的方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.【例3】证明：分别过E，F作BD，B1D1的垂线,垂足为E1,F1，连接E1F1。因为EE1eq\f（1,4）AC，FF1eq\f（1，4）A1C1，ACA1C1,所以EE1FF1，所以四边形EE1F1F为平行四边形，所以EF∥E1F1。又因为EF⊄平面BB1D1D，E1F1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D。【例4】解：(1)证明:∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG。∵HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD。∵EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理，∵CD∥EH,∴CD∥平面EFGH.(2）设EF＝x(0＜x＜4）,由于四边形EFGH为平行四边形,∴eq\f（CF,CB）＝eq\f(x，4）.故eq\f(FG,6）＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f（x,4）。从而FG＝6－eq\f（3，2)x.于是四边形EFGH的周长为l＝2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋6－\f(3,2)x））＝12－x.又0＜x＜4,∴8＜l＜12，即四边形EFGH周长的取值范围为（8,12）．【例5】正解：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β，设β∩α＝c.∵a∥α,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c。∵b⊄α,c⊂α，∴b∥α.随堂练习·巩固1．C由等角定理可知选项C