2024-2025学年重庆一中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年重庆一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣2．（4分）下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过点（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（2，0）4．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C，已知∠AOD＝40°，AD∥OC（）A．40° B．50° C．60° D．70°5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．26．（4分）已知，则实数m的范围是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜67．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…y…﹣12﹣50343…如表，则当x＝1时，y的值为（）A．﹣12 B．﹣5 C．0 D．38．（4分）下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知（）A．51 B．50 C．66 D．609．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，点E为CD上一点，点F为BC上一点，DF交于点M，AC与DF交于点N．若AE＝DF，则的值为（）A． B． C． D．10．（4分）已知恒等式（2x﹣1）n＝anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+⋯+a1x+a0，其中n为正整数，an，…，a0为整数，下列说法：①当n为奇数时，a0一定为﹣1；②无论n为何值，an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝1；③当n＝2024时，a2+a4+a6+…+a2022+a2024＝；其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）计算：＝．12．（4分）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为．13．（4分）从﹣2，1，3，﹣5这4个数中任选两个数，分别记作m，n（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是．14．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，使得DE＝AD，连接CE，，则BD＝．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上经过点C和线段AB的中点D，平行四边形OABC的面积为4．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的绝对值之和为．17．（4分）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝∠BAC，连接DA，，，则DB＝．18．（4分）我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，其中，，（1≤a，b，y≤6，0≤c，d，x≤5，且a，b，c，d，x，y均为整数），将A的前三位数字组成的三位数，A的后三位数字组成的三位数记为n，则a+b＝，在此条件下，将A的前两位数字组成的两位数记为s，若3s+t＝k2（k为整数），则满足条件的B的最大值与最小值的差为．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上。19．（8分）计算：（1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）；（2）．20．（10分）在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，完成以下作图与填空．（1）如图，在等腰△ABC中，BE是∠ABC的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．（2）已知△ABC是等腰三角形，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D证明：∵△ABC是等腰三角形∴①∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠ABE＝②＝，∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝∠ACD∴OB＝OC在△OBD和△OCE中∴△OBD≌△OCE（④）∴OD＝OE再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离⑤．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PB、PC．（1）求直线BC的解析式；（2）若S△PBC＝，求点P的坐标．22．（10分）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个A商品和240个B商品进行销售，已知购买2个A商品和3个B商品共需900元（1）求A商品和B商品的售价分别是多少元？（2）在A商品售出总数量的，B商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，对剩余的B商品每个降价5a元销售，很快全部售完．若要保证销售总额不低于87600元23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿对角线AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q．设运动时间为t秒，点P、Q的距离为y1，△ACD的周长与△APQ的周长之比为y2．（1）请直接写出y1，y2分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y2＞y1时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．24．（10分）如图，海上有一座小岛C，一艘游艇在海中自东向西航行，半小时后游艇到达离小岛C处60海里的B处，测得小岛C在西北方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数）（2）由于游艇在B处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西75°方向航行，与此同时，在航线l上D处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向前往小岛C取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往M处．游艇到达M处后，再过多少小时救援船能到达M处？（结果精确到0.01）25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，连接CK、QK，当∠CKQ＝∠ACO+∠OBC26．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°AB＝AC．（1）如图1，点D是BC的中点，点E是AC上一点，作DF⊥DE交AB于点F．若，，求线段BF的长；（2）如图2，点D是BC延长线上一点，连接AD，∠DAF＝90°，点E是FD的中点，连接DH，若2∠H+∠HBD＝90°，并证明；（3）如图3，点D是线段BC上一动点，连接AD，连接AM，点E是线段AC上一点，连接EM，点P是线段AD上一点，当EM最小时，在平面内将△APM沿PM翻折至△NPM，当CN最小时，请直接写出△APM的面积．

2024-2025学年重庆一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C． D．﹣【解答】解：根据相反数的含义，可得6的相反数是：﹣6．故选：B．2．（4分）下列重庆地标建筑标识图案中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：C．3．（4分）反比例函数y＝的图象一定经过点（）A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（2，0）【解答】解：∵y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣7，当x＝2时，y＝1，当x＝3时，y＝1，选项D不符合题意，故选：C．4．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点C，已知∠AOD＝40°，AD∥OC（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵OA＝OD，∠AOD＝40°，∴∠A＝∠D＝＝70°，∵AD∥OC，∴∠D＝∠DOC＝70°，故选：D．5．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积与△DEF面积之比＝（）2＝（）2＝．∵△ABC的面积为9，∴△DEF的面积为7．故选：C．6．（4分）已知，则实数m的范围是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【解答】解：由题意得，＝﹣＝﹣＝﹣2，∵5＜＜7，∴3＜﹣2＜6，即3＜m＜4，故选：B．7．（4分）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1…y…﹣12﹣50343…如表，则当x＝1时，y的值为（）A．﹣12 B．﹣5 C．0 D．3【解答】解：由表格数据可知函数值为3时，x的值分别为﹣3和﹣3，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，点的坐标为（﹣2，设抛物线的解析式为：y＝a（x+5）2+4，∵x＝﹣7时，y＝0，∴a×（﹣4+2）2+4＝3，解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）7+4，当x＝1时，y＝﹣5．故选：B．8．（4分）下列图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有3个黑点，第②个图案有6个黑点，第④个图案有18个黑点，…，按此规律可知（）A．51 B．50 C．66 D．60【解答】解：由所给图形可知，第①个图案中黑点的个数为：3＝17+2；第②个图案中黑点的个数为：6＝62+2；第③个图案中黑点的个数为：11＝52+2；…，所以第n个图案中黑点的个数为：n7+2；当n＝7时，即第⑦个图案中黑点的个数为72+2＝51个．故选：A．9．（4分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，点E为CD上一点，点F为BC上一点，DF交于点M，AC与DF交于点N．若AE＝DF，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方形ABCD的边长为3a，则DE＝a，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°CD＝8a，∴ON＝OA＝AC＝a，在Rt△ADE和Rt△DCF中，，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴CF＝DE＝a，∵CF∥AD，∴△CNF∽△AND，∴＝＝＝，∴＝，∴CN＝AC＝a，∴ON＝OC﹣CN＝a﹣a，∴＝＝．故选：A．10．（4分）已知恒等式（2x﹣1）n＝anxn+an﹣1xn﹣1+an﹣2xn﹣2+⋯+a1x+a0，其中n为正整数，an，…，a0为整数，下列说法：①当n为奇数时，a0一定为﹣1；②无论n为何值，an+an﹣1+an﹣2+…+a1+a0＝1；③当n＝2024时，a2+a4+a6+…+a2022+a2024＝；其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：由题知，当x＝0时，，则当n为奇数时，a0＝﹣1．故①正确．当x＝2时，，即无论n为何值，an+an﹣1+an﹣2+⋯+a2+a0＝1．故②正确．当n＝2024时，将x＝6代入得，a0＝1；将x＝5代入得，an+an﹣1+an﹣2+⋯+a6+a0＝1①；将x＝﹣7代入得，an﹣an﹣1+an﹣2﹣⋯﹣a7+a0＝32024②；①+②得，，所以，所以．故③正确．故选：D．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）计算：＝π．【解答】解：＝π﹣2+3＝π，故答案为：π．12．（4分）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为6．【解答】解：多边形的边数是：360°÷60°＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：5．13．（4分）从﹣2，1，3，﹣5这4个数中任选两个数，分别记作m，n（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，n）在平面直角坐标系中第二象限内的有4种结果，所以点（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率为＝，故答案为：．14．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，使得DE＝AD，连接CE，，则BD＝．【解答】解：设AC的中点为H，连接DH则AC＝2AH，∵AC＝2AB，∴AB＝AH，∵DE＝AD，∴HD是△ACE的中位线，∴HD＝CE＝，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD，在△BAD和△HAD中，，∴△BAD≌△HAD（SAS）∴BD＝HD＝．故答案为：．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上经过点C和线段AB的中点D，平行四边形OABC的面积为4．【解答】解：过C作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F，设C的坐标为（a，b），∵平行四边形OABC的面积为4，∴OA＝，∴B（a+，b），∵点D是线段AB的中点，∴D（+，），∵反比例函数经过点C和线段AB的中点D，∴ab＝（），∴ab＝，∴k＝ab＝，故答案为：．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的绝对值之和为9．【解答】解：解不等式组，得≤x＜5，∵原不等式组至少有4个整数解，∴≤3，∴a≤3；解分式方程，得y＝，∵原分式方程的解为正数，∴+2＞0，∴a＞﹣6，∴﹣7＜a≤6，∵原分式方程的解为整数，∴a＝﹣3，4，3，6，∵y＝2是原分式方程的增根，∴+2≠6，∴a≠3，∴a＝﹣3，8，6，|﹣3|+|7|+|6|＝9，∴所有满足条件的整数a的绝对值之和为3．故答案为：9．17．（4分）如图，点D是△ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝∠BAC，连接DA，，，则DB＝3．【解答】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M．∵∠BDC＝∠CAB，∠DEB＝∠AEC，∴∠DBM＝∠DCN，∴tan∠DBA＝tan∠DCN＝＝，设DN＝x，则CN＝6x，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN7，∴13＝x2+（2x﹣5）2，解得x＝3或（舍去），∴DN＝3，CN＝6，∴DB＝DC＝＝＝3．故答案为：6．18．（4分）我们规定：如果一个四位自然数A，满足千位数字与个位数字之和为6，百位数字与十位数字之和也为6，其中，，（1≤a，b，y≤6，0≤c，d，x≤5，且a，b，c，d，x，y均为整数），将A的前三位数字组成的三位数，A的后三位数字组成的三位数记为n，则a+b＝4，在此条件下，将A的前两位数字组成的两位数记为s，若3s+t＝k2（k为整数），则满足条件的B的最大值与最小值的差为90．【解答】解：①m＝＝100a+10b+c，，由题意得a+d＝6，b+c＝6，∴d＝5﹣a，c＝6﹣b，∴m+n＝100a+110b+11（6﹣b）+4﹣a＝99a+99b+72＝13（7a+7b+4）+8a+8b+5∵a，b为整数，∴13（7a+7b+4）能被13整除，∴使得m+n能被13整除，则&a+8b+7需要能被13整除，∵6≤a，b≤6，∴16≤8a+8b≤96，∴23≤8a+8b+6≤103，∴8a+8b+8可取26，39，65，91，∴8a+8b可取19，32，58，84，显然19，45，71，故舍，∴2a+8b＝32，∴a+b＝4；②，t＝，∴k7＝3+y1，∵a+b＝6，∴b＝4﹣a，∴k2＝5+y1＝7（10a+4﹣a）+10y+1＝27a+10y+13，∵8≤a，b≤6，∴可求50≤27a+10y+13≤235，即50≤k2≤235，∴k27可取64，81，121，169，当k3＝64，则27a+10y＝51，此时无符合题意的整数解，舍；当k2＝81则27a+10y＝68，此时无符合题意的整数解，舍；当k2＝100，则27a+10y＝87，则；当k2＝121，则27a+10y＝108，则，舍；当k2＝144，则27a+10y＝131，则；当k2＝169则27a+10y＝156，此时无符合题意的整数解，舍；当k5＝225则27a+10y＝212，则，不满足a+b＝3，舍，∴或，∵x+y＝6，∴y＝7时，则x＝0，y＝5时，则x＝4，∴Bmax﹣Bmin＝5151﹣5061＝90，故答案为：4，90．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上。19．（8分）计算：（1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）；（2）．【解答】解：（1）（2x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）＝2x2﹣4xy+y5+x2﹣y2＝6x2﹣4xy．（2）＝÷＝•＝．20．（10分）在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，完成以下作图与填空．（1）如图，在等腰△ABC中，BE是∠ABC的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．（2）已知△ABC是等腰三角形，BE平分∠ABC交AC于点E，CD平分∠ACB交AB于点D证明：∵△ABC是等腰三角形∴①∠ABC＝∠ACD∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB∴∠ABE＝②∠CBE＝，∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝∠ACD∴OB＝OC在△OBD和△OCE中∴△OBD≌△OCE（④ASA）∴OD＝OE再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离⑤相等．．【解答】解：（1）如图所示，CD即为所求；（2）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACD，∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABE＝∠CBE＝，，∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝∠ACD，∴OB＝OC在△OBD和△OCE中，，∴△OBD≌△OCE（④ASA），∴OD＝OE，再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．故答案为：①∠ABC＝∠ACD，②∠CBE，④ASA．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PB、PC．（1）求直线BC的解析式；（2）若S△PBC＝，求点P的坐标．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+4，当x＝0时，令y＝0，则x＝﹣5或3，即点A、B、C的坐标分别为：（﹣1、（4、（0，由点B、C的坐标得；（2）△PBC和△ABC是同底的两个三角形，则面积比为高的比，故过点A作直线n∥BC交y轴于点N，取CN的中点M，交平行线于点P′，取CM＝CL，过点L作直线l交抛物线于点P，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，则直线n的表达式为：y＝﹣（x+4），则点N（0，在点M（0，6），同理可得直线l的表达式为：y＝﹣x+5，联立直线了和抛物线的表达式得：﹣x+5＝﹣x8+2x+3，解得：x＝2或1，即点P（2，8）或（1．22．（10分）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个A商品和240个B商品进行销售，已知购买2个A商品和3个B商品共需900元（1）求A商品和B商品的售价分别是多少元？（2）在A商品售出总数量的，B商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，对剩余的B商品每个降价5a元销售，很快全部售完．若要保证销售总额不低于87600元【解答】解：（1）设A商品的售价是x元，B商品的售价是y元，根据题意得：，解得：．答：A商品的售价是150元，B商品的售价是200元；（2）根据题意得：150×300×+200×240××300×（1﹣）≥87600，解得：a≥8，∴a的最小值为8．答：a的最小值为4．23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿对角线AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q．设运动时间为t秒，点P、Q的距离为y1，△ACD的周长与△APQ的周长之比为y2．（1）请直接写出y1，y2分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y2＞y1时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）∵矩形ABCD，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝8，∴，∴△ACD的周长＝△ACB的周长＝6+5+10＝24，又∵PQ⊥AB，即∠AQP＝90°，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∵AP＝2t，∴，，∴，；（2）函数图象如图所示：当0＜t＜5时，y4随t的增大而增大；当0＜t＜5时，y4随t的增大而减小；（3）由函数图象可知，0＜t＜1.6（右端点的值可为1.6，4.8．24．（10分）如图，海上有一座小岛C，一艘游艇在海中自东向西航行，半小时后游艇到达离小岛C处60海里的B处，测得小岛C在西北方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数）（2）由于游艇在B处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西75°方向航行，与此同时，在航线l上D处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向前往小岛C取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往M处．游艇到达M处后，再过多少小时救援船能到达M处？（结果精确到0.01）【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，由题意，得BC＝60海里，∠CBE＝45°，在Rt△CBE中，CE＝BE＝BC＝30，在Rt△CAE中，AE＝＝CE＝30，∴AB＝AE﹣BE＝30﹣30，∵航行时间为半小时，∴航行速度为≈≈62（海里），答：游艇每小时约航行62海里；（2）过点C作CM⊥BD于点M，则点M为游艇等待地点，由题意，得BC＝60海里，∠CDM＝（90°﹣60°）+（90°﹣75°）＝45°，在Rt△CBM中，CM＝BC＝30海里，BM＝＝CM＝30，在Rt△CDM中，DC＝＝CM＝30，∴游艇从B处航行到M处需要时间为＝＝≈8.73（小时），救援船从D﹣C﹣M需要时间为＝＝≈4.81（小时），∴游艇到达M处后，需等1.81﹣1.73＝6.08（小时），答：游艇到达M处后，再过多少0.08小时救援船能到达M处．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线BC方向平移个单位，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，连接CK、QK，当∠CKQ＝∠ACO+∠OBC【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，∴C（2，4），当y＝0时，﹣x+8＝0，∴x＝4，∴B（7，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）（x+2），把C（0，4）代入得：﹣7a＝4，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣8）（x+2）＝﹣x2+x+4；（2）设点P的坐标为（t，﹣t2+t+5），则D（t，如图1，延长PE交y轴于H，∵OC＝OB＝4，∠COB＝90°，∴△COB是等腰直角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵DG∥y轴，∴∠CDP＝∠OCB＝45°，∵PE∥BC，∴∠EPG＝∠CDP＝45°，四边形CHPD是平行四边形，∴CH＝PD，△EGP是等腰直角三角形，∴EG＝PG，∴PG＝PE，设直线AC的解析式为：y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝2x+4，设PE的解析式为：y＝﹣x+d，∴6x+4＝﹣x+d，∴x＝，∴E的坐标为（，），∵CH＝PD，∴d﹣3＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4），∴d＝﹣t2+5t+4，∴PE+PD＝PG+PD＝DG＝﹣（﹣t+4）＝+t﹣4，＝+（﹣t3+2t+4）+t﹣4＝﹣t6+＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，有最大值是，此时点P的坐标为（，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣5）2+，∵∠OCB＝45°，∴该抛物线沿射线BC方向平移个单位，再向上平移8个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2+5）2++5＝﹣2+＝﹣x7﹣4x+，∴新抛物线的对称轴为：直线x＝﹣4，设点Q的坐标为（m，﹣m2﹣4m+），如图2，过点A作AP⊥BC于P，过点M作DE⊥x轴于E，过点Q作QG⊥x轴于G，∵A（﹣5，0），0），5），∴AB＝6，OC＝4＝4，∴S△ABC＝×6×8＝×AP，∴AP＝3，∵∠OBC＝45°，∠BOC＝90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴BP＝AP＝7，∴CP＝，∵∠CKQ＝∠ACO+∠OBC，∠OBC＝∠OCB，∴∠CKQ＝∠ACB，∵∠APC＝∠CMK＝90°，∴△ACP∽△CKM，∴＝＝，∵∠CMK＝∠D＝∠KEM＝90°，∴∠CMD+∠DCM＝∠CMD+∠KME，∴∠DCM＝∠KME，∴△CDM∽△MEK，∴＝＝＝3，设EK＝c，EM＝d，DM＝4c，∵∠D＝∠DEO＝∠COA＝90°，∴四边形DEOC是矩形，∴CD＝OE，OC＝DE，∴3d＝c+4，3＝3c+d，∴c＝，d＝，∵QG⊥x轴，EM⊥x轴，∴QG∥EM，∴△QGK∽△MEK，∴＝＝＝2，∴QG＝2GK，∴﹣m2﹣7m+＝4（﹣4﹣m），解得：m＝﹣2，综上，点Q的坐标为：（﹣5+）或（﹣2﹣