2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时作业含解析新人教A版必修4VIP

PAGE平面对量应用举例(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝()A．6 B．2C．2eq\r(3) D．2eq\r(7)解析：因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|＝eq\r(F1＋F22)＝eq\r(|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2)＝eq\r(4＋16＋2×2×4×\f(1,2))＝2eq\r(7).答案：D2．已知a＝(－1，eq\r(3))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是()A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(2) D．4解析：因为a＝(－1，eq\r(3))，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2.设AB中点为C，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝a，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a|＝2.在直角三角形AOB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝4，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4×2＝4.答案：D3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)CB，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，但|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(CD,\s\up6(→))|，故此四边形为梯形．答案：A4．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/s B．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/s D．12m/s解析：由题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如右图．∴小船在静水中的速度大小|v|＝eq\r(102＋22)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s)．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．解析：设小车位移为s，则|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳)．答案：506．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设起先时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为____________．解析：由题意知，eq\o(P0P,\s\up6(→))＝5v＝(20，－15)，设点P的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15，))解得点P的坐标为(10，－5)．答案：(10，－5)7．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速率为________．解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝eq\f(|v2|,\f(\r(3),2))＝eq\f(80\r(3),3)(m/s)．答案：eq\f(80\r(3),3)(m/s)三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝eq\f(1,4)AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明：设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－a＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝b－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(3,4)a，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．9．一个物体受到同一个平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所作的功．解析：以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F1＝(1，eq\r(3))，F2＝(2eq\r(3)，2)，F3＝(－3，3eq\r(3))．所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2,4eq\r(3)＋2)．又位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))，所以F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(4eq\r(3)＋2)×4eq\r(2)＝24eq\r(6)(J)．故这三个力的合力F所做的功是24eq\r(6)J.eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．解析：(1)设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\o(AD2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))2＝eq\f(4,9)a2＋2×eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.故AD＝eq\r(3).(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角．因为cosθ＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(AC,\