2024-2025学年新教材高中数学第六章概率6.3.1离散型随机变量的均值课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(四十一)离散型随机变量的均值(建议用时：40分钟)一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,4)(k＝1，2，3，4)，则EX＝()A．2.5B．3.5C．0.25D．2A[EX＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2)．]2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于()X012P0.10.30.6A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8A[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的状况如下，则有结论()工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法推断谁的质量好一些B[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3A[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A．]5．甲、乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局输赢相互独立，则竞赛停止时已打局数X的期望EX为()A．eq\f(241,81)B．eq\f(266,81)C．eq\f(274,81)D．eq\f(670,243)B[依题意，知X的全部可能值为2，4，6，设每两局竞赛为一轮，则该轮结束时竞赛停止的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,9)．若该轮结束时竞赛还将接着，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,81)，故EX＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81)．]二、填空题6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的均值为________．8.5[从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X的值为：2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是eq\f(1,10)．∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×eq\f(1,10)＝8.5．]7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：x123P(ξ＝x)？！？请一位同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．2[设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]8．某地有A、B、C、D四人先后感染了某种流感病毒，其中只有A到过疫区．B确定是受A感染的．对于C，因犯难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2)，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3)．在这种假定下，B、C、D干脆受A感染的人数X就是一个随机变量，X的均值为________．eq\f(11,6)[X可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．则EX＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(11,6)．]三、解答题9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则须要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别须要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望(均值)．[解](1)ξ的全部可能取值为1，3，4，6．P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝6)＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列为ξ1346Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)(2)Eξ＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(7,2)(小时)．10．受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[解](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事务A，则P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10)．(2)依题意得，X1的分布列为X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列为X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得EX1＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝eq\f(143,50)＝2.86(万元)，EX2＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(万元)．因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为()X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)A[由Y＝12X＋7得EY＝12EX＋7＝34，从而EX＝eq\f(9,4)，所以EX＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(9,4)，又m＋n＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,4)＝1，联立解得m＝eq\f(1,3)．故选A．]12．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2)，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为()A．eq\f(3,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(2,7)D．eq\f(1,7)B[当k＝±2eq\r(2)时，直线l的方程为±2eq\r(2)x－y＋1＝0，此时d＝eq\f(1,3)；当k＝±eq\r(3)时，d＝eq\f(1,2)；当k＝±eq\f(\r(5),2)时，d＝eq\f(2,3)；当k为0时，d＝1．由等可能事务的概率公式可得ξ的分布列为ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)所以Eξ＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7)．]13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则()ξ0123P0.1ab0.1A．a＝0.3 B．b＝0.5C．P(X≤1)＝0.4 D．P(X＞1)＝0.6ABCD[依据题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋a＋b＋0.1＝1，,0×0.1＋a＋2×b＋3×0.1＝1.6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.5.))由此易知，ABCD均正确．]14．(一题两空)一次单元测验由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对随意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中选对的题数的均值是________，成果的均值是________．3.618[设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成果为Y，则Y＝5X．EX＝0×0.14＋1×Ceq\o\al(1,4)×0.9×0.13＋2×Ceq\o\al(2,4)×0.92×0.12＋3×Ceq\o\al(3,4)×0.93×0.1＋4×0.94＝3.6．由随机变量均值的性质得EY＝E(5X)＝5×3.6＝18．]15．某商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．依据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，假如两天内无法售出，则食品作销毁处理，且两天内的销售状况互不影响，为了解市场的需求状况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010视样本频率为概率，回答下列问题：(1)依据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，该商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？[解](1)依据题意可得，X的全部可能取值为30，31，32，33，34，35，36．则P(X＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(X＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(X＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(X＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(X＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(X＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(X＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)．所以X的分布列为X30313233343536Peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)EX＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8．(2)当购进32份时，利润为32×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(7,25)＋\f(11,50)＋\f(2,25)＋\f(1,1