《电路分析基础 》课件第7章

第七章电路频率响应7.1网络函数与频率响应7.2常用RC一阶电路的频率特性7.3常用rLC串联谐振电路的频率特性7.4实用rLC并联谐振电路的频率特性7.5小

结

7.1网络函数与频率响应7.1.1网络函数网络函数定义为电路的响应相量与电路的激励相量之比，

以符号H(jω)表示。

即

(7.1-1)式(7.1-1)中响应相量可以是电压相量，也可以是电流相量；激励相量可以是电压相量，也可以是电流相量。响应相量与激励相量既可以是同一对端钮上的相量，又可以是非同一对端钮上的相量。网络函数可以分两大类：若响应相量与激励相量为同一对端钮上的相量，所定义的网络函数称为策动网络函数；否则，所定义的网络函数称为传输网络函数(又称转移函数)。图

7.1-1定义网络函数使用电路

根据网络函数定义,对于(a)图情况，若以为响应相量，则N的网络函数为

(7.1-2)若以I2为响应相量，则N的网络函数为

.(7.1-3)对于(b)图情况，若以U2为响应相量，则N的网络函数为

.(7.1-4)若以I2为响应相量，则N的网络函数为

.(7.1-5)7.1.2网络频响特性纯阻网络的网络函数是与频率无关的，这类网络的频率特性是不需要研究的。研究含有动态元件的网络频率特性才是有意义的。一般情况下，含动态元件电路的网络函数H(jω)是频率的复函数，将它写为指数表示形式，有

(7.1-6)式中，|H(jω)|称为网络函数的模；φ(ω)称为网络函数的辐角。它们都是频率的函数。以|H(jω)|与ω(或f)的关系画出的曲线(函数图形)称为网络的幅频特性；以φ(ω)与ω的关系画出的曲线称为网络的相频特性。若为特殊情况，网络函数H(jω)是ω的实函数，亦可将幅频特性与相频特性合二为一地画在一个实平面上：H(jω)为纵坐标轴，ω为横坐标轴。在横轴上面的曲线部分对应各频率的相位均为0°；在横轴下面的曲线部分对应各频率的相位均为180°或-180°。根据网络的幅频特性，可将网络分成低通、高通、带通、带阻、全通网络，也称为相应的低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。各种理想滤波器的幅频特性如图7.1－2(a)、(b)、(c)、(d)、(e)所示。图中，“通带”表示频率处于这个区域的激励源信号(又称输入信号)可以通过网络，顺利到达输出端，产生响应信号输出。“止带”表示频率处于这个区域的激励源信号被网络阻止，不能到达输出端和产生输出信号，即被滤除掉了。滤波器名称的由来就源于此。符号ωc称为截止角频率。图(a)(低通滤波器)中的ωc表示角频率高于ωc的输入信号被截止，不产生输出信号，它的通频带宽度为BW=0～ωc

(7.1-7)图(b)(高通滤波器)中的ωc表示角频率低于ωc的输入信号被截止，不产生输出信号，它的通频带宽度为BW=ωc～∞

(7.1-8)图(c)(带通滤波器)中的ωc1、ωc2分别称为下、上截止角频率，其意为角频率低于ωc1的输入信号和角频率高于ωc2的输入信号被截止，不产生输出信号，它的通频带宽度为BW=ωc1～ωc2

(7.1-9)图(d)(带阻滤波器)中的ωc1～ωc2亦分别称为下、上截止角频率，其意为角频率高于ωc1而又低于ωc2的输入信号被截止，不产生输出信号，它的阻带宽度为ωc1～ωc2;它的通带要分做两段表示，即(7.1-10)应该说，对于带阻滤波器来说，人们更关注的是它的阻带宽度。图(e)(全通滤波器)中无截止角频率ωc，意味着对于所有频率分量的输入信号都能通过网络，到达输出端，产生输出信号，全通滤波器也就据此而得名。图7.1-2理想滤波器的幅频特性根据网络的相频特性，又可将网络分为超前网络与滞后网络。若φ(ω)＞0°(0＜ω＜∞)的网络，称为超前网络；若φ(ω)＜0°(0＜ω＜∞)的网络，称为滞后网络。也必须明确，对于某种网络，它的φ(ω)可能有的频段大于零，有的频段小于零。如，在0＜ω＜ω0(ω0为一具体的角频率值)频段，φ(ω)＞0°；而在ω0＜ω＜∞频段，φ(ω)＜0°。对于这种网络，应分频段看待网络的超前性与滞后性。具体地说，该网络在0＜ω＜ω0频段属于超前网络，在ω0＜ω＜∞频段属于滞后网络。7.2常用RC一阶电路的频率特性

7.2.1RC一阶低通电路的频率特性在图7.2-1的电路中，若选U1为激励相量，U2为响应相量，则网络函数为..(7.2-1)式中

(7.2-2)(7.2-3)根据式(7.2-2)和(7.2-3)可分别画得网络的幅频特性和相频特性如图7.2-2(a)、

(b)所示。

图

7.2-1RC一阶低通网络

图

7.2-2RC一阶低通网络的频率特性

实际低通网络的截止角频率是指网络函数的幅值|H(jω)|下降到|H(j0)|值的1/时所对应的角频率，记为ωc。这样定义的截止角频率具有一般性。对图7.2－1所示的RC一阶低通网络，因|H(j0)|=1，所以按|H(jωc)|=1/来定义。由式(7.2-2)，得所以

则

(7.2-4)引入截止角频率ωc以后，可将式(7.2-1)这类一阶低通网络的网络函数归纳为如下的一般形式：(7.2-5)式中,|H(j0)|=|H(jω)|ω=0,它是与网络的结构及元件参数有关的常数。

由式(7.2-5)或图7.2-2可以看出：当ω=ωc时，|H(jωc)|=0.707|H(j0)|,φ(ωc)=-45°。对于|H(j0)|=1的这类低通网络，当ω高于低通截止角频率ωc时，|H(jω)|＜0.707，输出信号的幅值较小，工程实际中常将它们忽略不计，认为角频率高于ωc的输入信号不能通过网络，被滤除了。通常，亦把0≤ω≤ωc的角频率范围作为这类实际低通滤波器的通频带宽度。如果用分贝为单位表示网络的幅频特性，其定义为(7.2-6)也就是说，对|H(jω)|取以10为底的对数并乘以20，就得到了网络函数幅值的分贝数。当ω=ωc时，所以又称ωc为3分贝角频率。在这一角频率上，输出电压与它的最大值相比较正好下降了3dB。在电子电路中约定，当输出电压下降到它的最大值的3dB以下时，

就认为该频率成分对输出的贡献很小。

从功率的角度看，输出功率与输出电压平方成正比。在图7.2-1网络中，最大输出电压U2=U1,所以最大输出功率正比于U12。当ω=ωc时，，输出功率正比于U22,即正比于U21/2，它只是最大输出功率的一半，因此3分贝频率点又称为半功率频率点。这里还需要说明的是：3分贝频率点或半功率频率点即前述的截止频率点，它只是人为定义出来的一个相对标准。但为什么要按1/关系来定义通频带边界频率即截止频率呢?应该说，这样定义ωc还是有实际背景的，是有“历史”原因的。早期，无线电技术应用于广播与通信，人的耳朵对声音的响应关系呈对数关系，也就是说，人耳对高于截止角频率ωc以上的频率分量及低于ωc的频率分量，能感觉到它们的显著差异。图

7.2-3例7.2-1使用电路

例7.2-1

如图7.2-3所示由电阻、电容构成的一阶低通网络，其输出端接负载电阻RL。试分析其频率特性(绘出幅频特性、相频特性)，并求出截止角频率。

解以U1作输入相量，U2作输出相量，则网络函数为..令Re=RRL/(R+RL),则RL/(R+RL)=Re/R，代入上式，得(7.2-7)显然

(7.2-8)

(7.2-9)将ω=0代入式(7.2-8)，得(7.2-10)按定义网络的截止角频率，

即

由上式解得

(7.2-11)图

7.2-4图7.2-3网络的频率特性

例7.2-2

在图7.2-5所示的网络中，已知C=0.01μF，在f=10kHz时输出电压U2滞后于输入电压U130°，此时电阻R应为何值?若输入电压振幅U1m=100V，此时输出电压振幅U2m应是多少?

解显然，这个问题是一阶低通网络问题。..所以

ωRC=tan30°=0.577则

又

故

U2m=0.866U1m=0.866×100=86.6V图

7.2-5例7.2-2使用电路

7.2.2RC一阶高通电路的频率特性图7.2-6所示网络是电子线路中常用的RC耦合电路，若选U1为输入相量，U2为输出相量，则网络函数为(7.2-12)式中

(7.2-13)(7.2-14)由式(7.2-13)和(7.2-14)可分别画得网络的幅频特性与相频特性，如图7.2-7(a)、(b)所示。

图

7.2-6RC一阶高通网络图

7.2-7图7.2-6中RC一阶高通网络的频率特性

实际高通网络的截止角频率可按下式定义：

(7.2-15)对于图7.2-6所示的RC一阶高通网络，|H(j∞)|=1，所以根据定义式(7.2－15)并联系幅频特性式(7.2-13)，

有

故解得

(7.2-16)同低通网络类似，在引入截止角频率ωc后，对一阶高通网络的网络函数亦可归纳为如下形式：(7.2-17)式中，|H(j∞)|=|H(jω)|ω=∞,它是与网络的结构和元件参数有关的常数。

图

7.2-8某晶体管放大器的等效电路

例7.2-3

图7.2-8为某晶体管放大器的低频等效电路。图中，Ui为放大器的输入信号电压，已知基射极间等效电阻rbe=1kΩ，β=40,RL=2kΩ,C为输入端耦合电容。试求该放大器的电压放大倍数Au的表达式。若要求放大器低频截止频率fc=50Hz，则电容C应为多大?

解对于这个问题，可先不管晶体管放大器的等效电路是如何得到的，我们只根据图7.2-8所示电路来加以计算。先计算放大器的输出电压Uo。由图可得电流..式中,τ=rbeC。

输出电压

则

(7.2-18)

式(7.2-18)与一阶高通网络函数的通式(7.2-17)是一样的。当ω下降时，Uo下降，Au亦下降。从物理概念上看，这主要是电容C对低频信号的阻止作用造成的。当频率很高时，即ωτ>>1时，放大倍数为式中，负号说明此时Uo与Ui反相。

..该放大器低频截止角频率为

若要求低频截止频率fc=50Hz，则电容应为

实际电路中，可以取C≥3.18μF的市场上有售的电容即可。C值取大，放大器的低频截止频率低，低频特性好。当然,事物不能走向极端，C取得过大会带来其他方面的不利因素，这属于后续课程中电子线路的设计问题，这里不作解释。

思

考

与

练

习

7.2-1一阶低通、高通网络也可以由电阻、电感组成。试写出图示(a)、(b)两网络的网络函数H(jω)，草画出它们的幅频特性与相频特性，指出它们是低通网络，还是高通网络?并求出截止角频率ωc。

练习题

7.2-1图

7.2-2图示(a)、(b)两个网络，U1作为输入，U2作为输出，试写出各网络的网络函数H(jω),并判别它们是低通网络，还是高通网络?概画出它们的幅频特性曲线。

7.2-3图示网络，设为输入，为输出，试写出该网络的网络函数H(jω)，并概画出幅频特性，求出截止角频率ωc。..练习题

7.2-2图

练习题

7.2-3图

7.3常用rLC串联谐振电路的频率特性如果需要考虑电容器的损耗及电源内阻对谐振电路的影响时，相应的电阻也应计入r内。从模型电路来说，图7.3-1电路又常称为rLC串联谐振电路。这里提醒读者注意实际电路与模型电路之间的区别。若要实际观察收音机的输入电路，图7.3-1中的电源Us及电阻r是看不到的。图

7.3-1串联谐振电路的电路模型

设正弦激励电压源的角频率为ω，其电压相量为Us，为了讨论问题方便，取Us的初相位为0°。串联回路的总阻抗为..(7.3-1)则回路电流为

(7.3-2)式中

(7.3-3)(7.3-4)电容上电压为

(7.3-5)式中

(7.3-6)(7.3-7)7.3.1串联谐振设回路中各元件参数保持一定，电源的幅度不变而频率可变，看回路阻抗如何随频率而改变的。因感抗ωL随频率升高而增大，容抗值1/(ωC)随频率升高而减小，而感抗与容抗又是性质相反的两种电抗，所以当电源频率改变到某值时会使回路中的电抗为0。回路中，感抗XL=ωL、容抗、电抗及阻抗模|Z|随ω变化关系曲线如图7.3-2所示。图

7.3-2串联谐振电路的电抗及阻抗模曲线

当串联回路中电抗等于0时，称回路发生了串联谐振。这时的频率称为串联谐振频率，用f0表示，相应的角频率用ω0表示。由于这时(7.3-8)故得

(7.3-9)或

(7.3-10)常称式(7.3-8)为发生串联谐振的条件。由式(7.3-9)和(7.3-10)可以看出：回路的谐振频率仅由回路本身的电感、电容的元件参数决定，而与外加电压源的电压、频率无关，它可以作为反映串联谐振网络基本属性的一个重要参数。发生谐振时的感抗或容抗值，称为电路的特性阻抗，以符号ρ表示，

即

(7.3-11)考虑,代入上式，所以特性阻抗亦可改写为

(7.3-12)回路特性阻抗ρ与回路中电阻r的比值定义为回路的品质因数，用符号Q表示，

即

(7.3-13)考虑式(7.3-11)、(7.3-12)特性阻抗ρ的表达形式，所以品质因数Q亦可以改写为(7.3-14)由式(7.3-12)、(7.3-14)可见，特性阻抗、品质因数也只取决于电路元件的参数值，

而与外界因素无关，所以它们也可作为客观反映谐振电路基本属性的重要参数。

这里应明确，电路的品质因数概念是电感、电容元件品质因数概念的扩展。一个理想的电感元件，它应只具有储存磁场能量的作用，而不消耗能量。实际的电感线圈，因绕线电阻的存在，高频应用时的趋肤效应，以及电磁波辐射等原因，使得它不仅有储存磁场能量的作用(这是主要的，人们所期望的)，而且有能量消耗(这是次要的，是人们所不希望的)。为了客观反映实际线圈储能与耗能的作用，通常以电阻r串联上理想电感L作为实际线圈的模型，如图7.3-3(a)所示。作为储能元件应用，人们希望储能与耗能之比要大，把这一比值定义为衡量元件质量好坏的参数，即元件的品质因数。若从功率角度描述，元件的品质因数是元件上无功功率与损耗功率之比，即(7.3-15)图

7.3-3有耗电感、

电容元件模型

考虑线圈的损耗时(参看图7.3-3(a))，若通过它的电流为I，则电感L上的无功功率为ωLI2；而线圈的损耗功率，即电阻r上消耗的功率为rI2。所以，由式(7.3-15)得实际电感线圈的品质因数为(7.3-16)实际电容器元件极板间的介质并非理想绝缘，也或多或少有漏电，与之对应，呈现有漏电阻跨接于电容两极板之间，其模型如图7.3-3(b)所示。若在实际电容元件两端加电压U，则电容C上的无功功率为ωCU2，实际电容器的消耗功率为U2/R，所以，实际电容器的品质因数为(7.3-17)电路发生谐振有两种情况。一种是电路元件参数一定，改变电源频率使之等于电路的谐振频率，电路达到了谐振。在实验室里观察确定电路的谐振状态，或测试它的频率特性时遇到的就是这种情况。另一种是电源频率一定，改变电路的参数(调电容C或电感L)，即改变电路的谐振频率，使f0=f,同样也可使电路处于谐振状态。用收音机收听广播电台的节目就是这样的。例如，中央人民广播电台的频率是560kHz(载波频率)，它是固定的，调整收音机的波段开关处于中波段(这是调整的电感)，再调整收音机的调台旋钮，其实就是改变电容量，当改变到电路谐振频率正好是560kHz时，电路与中央人民广播电台的信号发生谐振，于是就选听到了中央人民广播电台的节目，调节C或L，使回路与某一特定频率信号相谐振的过程称为调谐。现代的许多电子设备，都采用电调谐。电路发生谐振时(f=f0)具有以下特点：(1)由式(7.3-1)，可得谐振时的回路阻抗为(7.3-18)此为纯电阻，且数值最小。

(2)由式(7.3-2),可得谐振时的回路电流为

(7.3-19)其值最大，且与激励源Us同相位。

.(3)谐振时电阻r上的电压

(7.3-20)它与激励源Us大小相等、相位相同。

.(4)谐振时电容C上的电压为

(7.3-21)谐振时电感L上的电压为

(7.3-22)

比较式(7.3-21)与(7.3-22)可见：电路在谐振时，电容C上电压与电感L上的电压相位相反、大小相等。二者电压大小都等于电源电压的Q倍。在一般情况下，实际串联谐振电路的品质因数Q都有几十、几百的数值，这就意味着，谐振时电容(或电感)上电压可以比输入电压大几十、几百倍。正由于串联谐振电路具有这样的特点，因此这种串联谐振电路又称为电压谐振电路。

例7.3-1

在图7.3-4的串联谐振电路中，已知L=50μH,C=200pF，回路品质因数Q=50，电源电压有效值Us=1mV。试求：电路的谐振频率f0、谐振时回路中电流有效值I0、电容上电压有效值UC0。

解

由式(7.3-10)可得电路的谐振频率为

为求谐振时的电流，需先求得回路中的电阻，

由式(7.3-14)稍作改写，可得

所以谐振时的电流有效值为

由式(7.3-21)可得电容上电压有效值为

UC0=QUs=50×1=50mV图7.3-4例7.3-1使用电路

例7.3-2

图7.3-5(a)所示串联谐振电路由L=1mH,QL=200的电感线圈及C=160pF的电容器组成，接到有效值Us=10mV的信号源上。信号源的内阻为Rs，信号源的频率等于回路的谐振频率。

(1)若信号源内阻Rs=0,求信号源的角频率及电容两端的电压有效值UC0；

(2)若信号源内阻Rs=10Ω，求UC0;

(3)若Rs=0，测量UC0的电压表内阻RV=125kΩ，如图7.3-5(b)所示，求电压表测得的UC0

。图

7.3-5例7.3-2使用电路

解

(1)由式(7.3-9)算得

因回路谐振，又Rs=0,此时电路Q值等于QL,所以

UC0=QUs=200×10×10-3=2Ｖ

(2)电源内阻Rs=10Ω，回路总损耗电阻为r=rL+Rs。所以，此种情况下的回路品质因数Q不等于电感线圈的品质因数QL，根据式(7.3－16),求得则回路的品质因数为

此时电容上电压有效值为

(3)实际电压表都有一定的内阻，若用电压表测量电容电压，相当于在电容器两端并接了一个电阻RV。这里，RV=125kΩ，应用正弦稳态电路阻抗并联化为串联的等效，可将图(b)等效为图(c)。考虑到RV>>1/(ω0C)，在图(c)中，所以有由图(c)可见，这时回路总的损耗电阻为

r=rL+rV=12.5+50=62.5Ω

所以，在这种情况下的回路品质因数为

电容上电压有效值(忽略图(c)中rV上电压)为

UC0≈QUs=40×10×10-3=0.4V这就是用电压表测量的数值。从这一结果可以看到，若用电压表测量电抗元件上的谐振电压，电压表必须具有很高的内阻，一般的电工用的电压表是不能胜任的，必须用晶体管或集成电路制成的高输入电阻的伏特计。在此例中，用内阻为125kΩ的电压表测量电容上的谐振电压仍有十分严重的影响，以致使电容上电压由原来的2V降低为0.4V,测量值与理论值相差这么大就失去了测量的意义。

7.3.2频率特性

以上讨论了串联谐振电路及其特点，这里进一步研究串联谐振电路的频率特性，由此也就可以搞清楚收音机输入电路采用这种串联谐振电路能够“选台”的原因。参看图7.3-1所示电路，若以Us为激励相量，以电流I为响应相量，

则网络函数为

..考虑Q=ω0L/r,ω20=1/(LC),代入上式，得(7.3-23)这里所定义的网络函数就是导纳函数，单位为S。令

(7.3-24)称为相对失谐。ξ=0表示无失谐(处于谐振状态)，ξ数值大表示失谐严重。当失谐较小时，例如|f-f0|/f0＜0.1时，f+f0≈2f0,于是相对失谐ξ可近似地表示为(7.3-25)式中,Δf=f-f0是相对于谐振频率f0的失谐量。将式(7.3-24)代入式(7.3-23)，得(7.3-26)式中

(7.3-28)(7.3-27)

为了通用性和分析问题的方便，一般对H(jω)采用归一化处理，

定义谐振函数

(7.3-29)由式(7.3-23)，得

(7.3-30)将式(7.3-26)和(7.3-30)代入式(7.3-29)，

得

(7.3-31)式中

(7.3-32)(7.3-33)图7.3-6串联谐振电路的归一化频率特性(a)幅频特性；

(b)相频特性

顺便指出，由以ξ为自变量的式(7.3-32)和(7.3-33)画出的幅频特性与相频特性(参看图7.3-6(a)、(b))是严格对称于ξ=0点的。若用式(7.3-24)将式(7.3－32)和(7.3-33)中的ξ换算为f,再以f为自变量画出的幅频特性与相频特性并不对称于f0点。不过，在小失谐的情况下，若用式(7.3-25)将式(7.3-32)和(7.3-33)中的ξ换算为f，即得(7.3-34)(7.3-35)

例7.3-3

某晶体管收音机输入回路的电感L=310μH，今欲收听载波频率为540kHz的电台，问这时调谐电容应是多大。若回路的品质因数Q=50,频率为540kHz的电台信号在天线线圈上的感应电压有效值Us1=1mV，同时有另一频率为600kHz的电台信号在天线线圈上的感应电压有效值Us2=1mV，试求二者在回路中产生的电流。

解为能收听到频率为540kHz的电台节目，应调节电容C，使回路谐振频率等于540kHz,

因回路谐振频率所以

回路对频率540kHz电台的信号谐振，此时回路电流有效值为

因Q=ω0L/r，故r=ω0L/Q，将r代入上式，可得

回路对频率为600kHz电台的信号失谐，此时回路阻抗

所以

那么频率为600kHz电台的信号在回路中产生的电流有效值为

而Us2/r=Us1/r=I10(本题Us2=Us1=1mV),所以由此例具体的计算结果可见，回路对频率有选择性。虽然两电台信号都在天线线圈上感应1mV的电压，但是由于回路对频率为540kHz的电台信号谐振，对频率为600kHz的电台信号失谐，因而两个信号在回路中产生的电流数值相差10倍以上。7.3.3通频带通过对rLC串联谐振电路的频率特性的讨论可见，谐振电路对于频率有一定的选择性，而且从图7.3-6的谐振曲线可看出，回路Q值愈高，谐振曲线愈尖锐，选择能力就愈强。也就是说，选用Q值较高的电路，有利于从众多的各种单一频率信号中选择出所需要的信号，而抑制其他的干扰。可是，实际信号都占有一定的频带宽度，就是说，实际信号是由若干频率分量所组成的多频率信号，我们不能只选择出需要实际信号中的某一频率分量而把实际信号中其余有用的频率分量抑制掉，那样就会引起严重的失真，这是不能允许的。人们期望谐振电路能够把实际信号中的各有用频率分量都能选择出来，而且对各有用的频率分量能“一视同仁”地进行传输，对于不需要频率的信号(统称为干扰)能最大限度地加以抑制。为了衡量回路选择频率的能力与传输有一定带宽的实际信号的能力，在中心频率f0两侧，当时，对应的频率fc1、fc2,如图7.3-7所示。其中，高于f0的fc2称为上截止频率，低于f0的fc1称为下截止频率。对应于fc1～fc2之间的频率范围称为电路的通频带宽度，即BW=fc2-fc1

Hz或

BW=ωc2-ωc1

rad/s所以说，rLC串联谐振电路属于带通网络。

图

7.3-7通频带示意图

下面讨论电路通频带宽度BW与电路的谐振频率f0、品质因数Q之间的关系。根据通频带定义，有则

整理上式，得

解以上两个二次方程，

舍去无意义的负根，

得

所以电路通频带宽度

(7.3-36)或

(7.3-37)式(7.3-36)表明：网络的通频带与网络的谐振频率成正比，与网络的品质因数成反比。

电路的Q值越高，电路的选择性能越好，但电路通频带就越窄。对实际应用的谐振电路，既要求它的选择性能好，又要求它具有满足传输信号所需要的电路带宽。从某种意义上说，“选择性”与“带宽”是一对矛盾。实际中如何处理好这一对矛盾是很重要的。通常，在满足电路带宽等于或略大于欲传输信号带宽的前提下，应尽量使电路的Q值高，以利于“选择性”。从另一个方面来看，为了减小所要传输信号的失真，不但要使信号的各频率分量都处于电路带宽之内，而且电路对它们要“平等对待”地传输，这就要求在通频带内的那部分电路谐振曲线最好是平坦的(由此联想到为什么各种理想滤波器通频带内的曲线是平坦直线的原因)。电路的Q值越低，带内曲线平坦度就越好，相对来说引起带内信号幅度失真就越小。

例7.3-4

在图7.3-8所示的rLC串联谐振电路中，已知us(t)=100cosω0tmV，ω0t为电路谐振角频率，C=400pF，r上消耗的功率为5mW，电路通频带BW=4×104rad/s,试求L、ω0、UCm。

解因电路处于谐振状态，所以电阻r上电压与电源电压相等。因为所以

又

所以

故

因

所以

UCm=QUsm=250×100×10-3=25V图7.3-8例7.3-4使用电路思

考

与

练

习

7.3-1有位读者这样理解信号“幅度失真”：若网络输出信号中各频率分量的振幅相对比例关系与网络输入信号中对应各频率分量的振幅相对比例关系相比较，发生了变化，则说网络产生了信号“幅度失真”。你同意他的观点吗?

7.3-2如图所示的串联谐振电路中，L=160μH,C=250pF,r=10Ω，外加正弦电压有效值Us=1mV，其频率等于电路的谐振频率。求该谐振回路的谐振频率f0、品质因数Q、通频带BW、谐振时回路电流I0及电抗元件上的电压UL0和UC0。练习题7.3-2图

7.3-3为了熟练应用串联谐振电路的公式，试根据下表所列已知条件求出未知的各参数，

并填入表中空格处。

7.3-4由实验测得一串联谐振电路的谐振曲线如图所示。从图中查得谐振曲线中心频率为475kHz，通频带的上、下边频(截止频率)分别为478kHz、472kHz，已知回路中电感L=50μH，求回路的品质因数Q及回路中的电容C。练习题

7.3-4图

7.4实用rLC并联谐振电路的频率特性串联谐振电路仅适用于信号源内阻小的情况，如果信号源内阻较大，将使回路Q值降低，以致使电路的选择性变差。当信号源内阻较大时，为了获得较好的选频特性，常采用并联谐振电路。

图

7.4-1实用并联谐振电路模型

设正弦激励电流源的频率为f、相量为Is，为了讨论问题方便，取Is的初相位为0°。并联回路两端导纳为..式中

(7.4-1)

(7.4-2)(7.4-3)7.4.1并联谐振

满足式(7.4-3)为0的角频率，称为并联谐振回路的谐振角频率，以符号ω0表示。即有(7.4-4)式(7.4-4)称为并联谐振回路的谐振条件。

由式(7.4-4)得

(7.4-5)解上式，

得

(7.4-6)式(7.4-6)表明，对于图7.4-1所示的并联谐振电路，其谐振角频率不但与回路中的电抗元件参数有关，而且与回路中的损耗电阻r有关。

在并联谐振电路中，回路品质因数Q的物理含义，同串联谐振电路时是一样的，也是谐振时电感(或电容元件)上无功功率与电路中有功功率(对图7.4-1的并联谐振电路，即是r上消耗的功率)之比。因流经r与L的电流同是IL，所以.(7.4-7)由式(7.4-7)，

可有

(7.4-8)所以

(7.4-9)

将式(7.4-9)代入式(7.4-6)，则并联谐振回路的谐振角频率又可表示为

(7.4-10)或

(7.4-11)实际应用的并联谐振电路一般满足Q>>1(称高Q条件)，所以式(7.4-10)和(7.4－11),在工程计算中常近似为(7.4-12)(7.4-13)从形式上看，在满足高Q(Q≥10)条件下，并联谐振电路谐振频率的计算公式同串联谐振电路计算谐振频率的公式是一样的。今后若无特殊说明，所给出的并联谐振电路即按式(7.4-12)或式(7.4-13)计算它的谐振角频率或频率。并联谐振电路在发生谐振时，即激励源Is的角频率ω等于电路的谐振角频率ω0时，具有下述特点：

(1)联系式(7.4-4)谐振条件，由式(7.4-1)并考虑在高Q条件下，当发生谐振时，并联回路两端导纳(7.4-14)其值最小，且为纯电导。

若换算为阻抗，即

(7.4-15)其值最大，且为纯电阻。顺便指出，在分析计算实际并联谐振电路的问题时，经常要计算R0，除了用式(7.4-15)计算R0外，联系回路的Q值、特性阻抗ρ，还可诱导出其他形式的R0常用计算式。如(7.4-16)(7.4-17)(2)由图7.4-1，得谐振时回路两端电压

(7.4-18)其数值为最大值，且与激励源Is同相位。实验室中观察并联谐振电路的谐振状态，常用电压表并接到回路两端，以电压表指示最大作为回路处于谐振状态的标志。

.(3)并联回路谐振时，

电容支路的电流为

将Q=ω0L/r代入上式，可得(7.4-19)谐振时，电感支路电流为

考虑高Q条件，所以

(7.4-20)

例7.4-1

在图7.4-2所示的并联谐振电路中，已知L=100μH，C=100pF，虚框线所围的空载回路Q0=50，信号源电压有效值Us=150V，内阻Rs=25kΩ。若欲使回路谐振，电源的角频率应是多少?求谐振时的总电流I0、环流Il、回路两端电压U0及回路消耗的功率P。

解电源频率等于回路谐振频率时回路谐振，所以电源角频率为图

7.4-2例7.4-1使用电路

由式(7.4-17)算得回路谐振电阻为

R0=Q0ρ=50ω0L=50×107×100×10-6=50kΩ所以电流为

环流为

回路两端电压为

回路消耗功率可用两种方法计算。因为回路中只有电阻r消耗功率，所以回路消耗功率就是电阻r上消耗的功率，故有又

考虑式(7.4-16)，回路消耗功率P也可看作I0流过R0所消耗的功率，故有7.4.2频率特性并联谐振回路通常用作高频、中频放大器的负载。参看图7.4-1所示电路，若以Is为激励相量，以回路两端电压U为响应相量，则网络函数..

假设满足高Q条件，且ω为靠近谐振角频率ω0附近的角频率，则有ωL≈ω0L>>r,所以上式可近似写为考虑Q=ω0L/r,R0=L/(Cr),代入上式，得(7.4-21)式中

(7.4-22)(7.4-23)这里定义的网络函数其实就是并联谐振回路两端的阻抗函数。用相对失谐ξ替代式(7.4-22)和(7.4-23)中的ω/ω0-ω0/ω，可得(7.4-24)(7.4-25)

如同讨论串联谐振电路时一样，对H(jω)作归一化处理，定义谐振函数(7.4-26)将ω=ω0代入式(7.4-21)，得(7.4-27)再将式(7.4-21)和(7.4-27)代入式(7.4-26)，

得

(7.4-28)式中

(7.4-29)(7.4-30)考虑ξ=ω/ω0-ω0/ω,代入式(7.4-29)和(7.4-30)，则可得(7.4-31)(7.4-32)

例7.4-2

图7.4-3为某晶体管高频放大器的等效电路，并联回路(虚线框所围部分)的Q0值为100,L=100μH,C=100pF，又知放大器输出电流(集电极电流)中有两个频率分量，即试求两电流在回路两端产生的电压有效值。

图

7.4-3例

7.4-2使用电路

解

回路谐振角频率为

由给出两电流的表达式可知，回路对is1(t)电流源谐振，对is2(t)电流源严重失谐，所以电流源is1(t)在回路两端产生的电压有效值为

U1=U0=R0Is1=100×1=100V而

所以，电流源is2(t)在回路两端产生的电压有效值为

U2=|H(j2ω0)|Is2=0.67×1=0.67V7.4.3通频带比较并联谐振电路的谐振函数式(7.4-31)与串联谐振电路的谐振函数式(7.3-32)，可知由两式画得的谐振曲线(参看图7.3-6)是相同的。因此，并联谐振电路若采用与串联谐振电路一样的通频带定义，便可用同样的推导过程求得并联谐振电路通频带与电路谐振频率、品质因数之间的关系，因而有(7.4-33)或

(7.4-34)为了分析问题简便，假设电源内阻抗与负载阻抗均为纯电阻，如图7.4-4所示。图中，Rs是电源的内阻，实际电路中它可能是前面一级放大器的输出电阻。RL是负载电阻，实际电路中它可能是后面一级放大器的输入电阻，虚线框起来的部分是实际电感线圈和电容器并联的电路模型，常称为空载回路。关于品质因数，在7.3节中提到过元件Q值和回路Q值，这里为了叙述问题方便，对回路Q值再区分为空载回路Q值和有载回路Q值。图

7.4-4考虑Rs、RL影响的并联谐振电路

因仅有内阻Rs、负载电阻RL并到空载回路两端，并假设考虑Rs、RL影响的电路仍属于高Q电路，这样的电路，其特性阻抗不变，则空载回路谐振电阻为R0=Q0ρ

将图7.4-4在谐振频率上等效为图7.4-5，

显然等效电阻

(7.4-35)Re=Rs∥R0∥RL

(7.4-36)将这一等效电阻看作为等效Q值与特性阻抗相乘，即

Re=Qeρ

(7.4-37)式(7.4-37)与(7.4-35)相比，

得

解上式，

得

(7.4-38)由式(7.4-36)可知Re＜R0,由式(7.4-38)可知Qe＜Q0。所以，Rs、RL的接入会使电路Q值下降，从而使电路的选择性变差，通频带增宽。图

7.4-5图7.4-5的等效电路

例7.4-3

图7.4-6所示并联谐振电路处于谐振状态。已知空载回路品质因数Q0=105,L=586μH,C=200pF,电源内阻Rs=180kΩ，负载电阻RL=180kΩ,Is=3∠0°mA。试求回路两端电压U0、环流Il以及电路通频带BW。

解

电路谐振频率为

空载回路谐振电阻为

图

7.4-6例7.4-3使用电路

将图(a)等效为图(b)，考虑Rs、RL的影响，总的等效电阻为Re=R