专题19锐角三角函数（共50题）-2024年中考数学真题分项汇编（含答案）【全国】

专题19锐角三角函数（共50题）-2024年中考数学真题分项汇编（含答案）【全国通用】专题19锐角三角函数（共50题）一．选择题（共14小题）1．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米2．（2020•凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．12 B．22 C．2 3．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．4．（2020•聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．355 B．175 C．35．（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．26 B．2626 C．26136．（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米7．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=A．2+1 B．2-1 C．2 8．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB9．（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m10．（2020•温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanαC．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+15011．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里12．（2020•广元）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）=-1（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正确的结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米 B．200tan70°米C．200sin70°米 D．200sin70°14．（2020•黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cos二．填空题（共14小题）15．（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile．（结果保留一位小数，3≈16．（2020•天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．17．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=18．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．19．（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）20．（2020•枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．（2020•达州）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）22．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米（结果保留根号）．23．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）24．（2020•济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：3，则斜坡AB的长是米．25．（2020•金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是．26．（2020•攀枝花）sin60°＝．27．（2020•黔东南州）cos60°＝．28．（2020•湘潭）计算：sin45°＝．三．解答题（共22小题）29．（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求∠ABE的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈30．（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：3≈31．（2020•临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）32．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈33．（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈34．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：2≈1.414，335．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：3≈1.732，1736．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为26米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？37．（2020•攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？38．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，39．（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：3≈1.732，240．（2020•黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．（1）求A处到临摹亭P1处的距离；（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）41．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．42．（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．43．（2020•内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？44．（2020•天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：2≈1.414，345．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD=346．（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝503米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，347．（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）48．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）49．（2020•广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离62千米处是学校B．（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．（1）求学校A，B两点之间的距离；（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．50．（2020•江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈专题19锐角三角函数（共50题）一．选择题（共14小题）1．（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【解析】根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝423（米）故选：A．2．（2020•凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．12 B．22 C．2 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．【解析】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD=22+22=∴tanA=BD故选：A．3．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+btanα B．a+bsinα C．a+btanα D．【分析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα=AF∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+btanα，故选：A．4．（2020•聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．355 B．175 C．3【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC=A∴sin∠ACH=AH故选：D．5．（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．26 B．2626 C．2613【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【解析】如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB=32+22=∵S△ABC=12AC•BD=12×3∴BD=2∴sin∠BAC=BD故选：B．6．（2020•重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，∴设EF＝x，则DF＝2.4x．在Rt△DEF中，∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，解得x＝30，∴EF＝30米，DF＝72米，∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，∴四边形EFCM是矩形，∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝43°，∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．故选：D．7．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=A．2+1 B．2-1 C．2 【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，根据tan22.5°=【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2∴tan22.5°=AC故选：B．8．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，故选：B．9．（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．【解析】如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴DEEC设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，故选：B．10．（2020•温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5+150tanαC．（1.5+150sinα）米 D．（1.5+150【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150，∴CE＝AD＝1.5，在△ABE中，∵tanα=BE∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），故选：A．11．（2020•济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C＝∠CAB＝42°，根据等角对等边得出BC＝AB，求出AB即可．【解析】如图．根据题意得：∠CBD＝84°，∠CAB＝42°，∴∠C＝∠CBD﹣∠CAB＝42°＝∠CAB，∴BC＝AB，∵AB＝15×2＝30，∴BC＝30，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．12．（2020•广元）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）=-1（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正确的结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．【解析】（1）sin(-30°)=-sin30°=-（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2所以正确的结论有3个，故选：C．13．（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米 B．200tan70°米C．200sin70°米 D．200sin70°【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【解析】在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°=PQ∴PT=PQ即河宽200tan70°故选：B．14．（2020•黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米 B．4sinα米 C．4cosα米 D．4cos【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C，由题意可知：A′O＝AO＝4，∴sinα=A'C∴A′C＝4sinα，故选：B．二．填空题（共14小题）15．（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是20.8nmile．（结果保留一位小数，3≈【分析】过P作PD⊥AB于D，易证△ABP是等腰三角形，得到BP＝AB＝24nmile．然后在直角△PBD中，利用三角函数的定义求得PD的长即可．【解析】过P作PD⊥AB于D．∵∠PAB＝30°，∠PBD＝60°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝24nmile．在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×32=123即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．故答案为20.8．16．（2020•天水）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是22【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．【解析】如图，连接AB．∵OA＝AB=10，OB＝25∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB=2故答案为2217．（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43【分析】通过作辅助线，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，进而得出对应边成比例，再根据tan∠ACB=12，BOOD=43，得出对应边之间关系，设AB＝a，DN＝b，表示【解析】如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，由BCDM=OBOD=∴4b+b=32即，b=310∴S△ABD故答案为：33218．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为23【分析】过点D作DE⊥BC，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．【解析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，又∵点D为AB边的中点，∴BE＝EC=12在Rt△DCE中，cos∠DCB=EC故答案为：2319．（2020•泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、AE，根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．【解析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD，∴四边形BEHF为矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比为12：5，∴BEAE设BE＝12x，则AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH=EH∴AH=EH∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．20．（2020•枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是1.5m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】在Rt△ADC中，求出AD即可．【解析】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），故答案为1.5．21．（2020•达州）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）故答案为：11．22．（2020•自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为62米（结果保留根号）．【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE＝CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．【解析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝32（米），∴DE＝CF＝32（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝62（米），故答案为62．23．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝23m【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC＝AC＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BD∴sin60°=BD∴BD＝23（m），答：自动扶梯的垂直高度BD＝23m，故答案为：23．24．（2020•济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：3，则斜坡AB的长是203米．【分析】如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，根据三角函数的定义得到∠ABF＝30°，根据已知条件得到∠HPB＝30°，∠APB＝45°，求得∠HBP＝60°，解直角三角形即可得到结论．【解析】如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，∵斜面坡度为1：3，∴tan∠ABF=AF∴∠ABF＝30°，∵在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，∴∠HBP＝60°，∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，∴PB＝AB，∵PH＝30m，sin60°=PH解得：PB＝203，故AB＝203（m），答：斜坡AB的长是203m，故答案为：203．25．（2020•金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是19315【分析】如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32a．求出BH，【解析】如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32观察图象可知：BH=192a，AH=∵AT∥BC，∴∠BAH＝β，∴tanβ=BH故答案为19326．（2020•攀枝花）sin60°＝32【分析】根据我们记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．【解析】sin60°=3故答案为：3227．（2020•黔东南州）cos60°＝12【分析】根据记忆的内容，cos60°=1【解析】cos60°=1故答案为：1228．（2020•湘潭）计算：sin45°＝22【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解析】根据特殊角的三角函数值得：sin45°=2三．解答题（共22小题）29．（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求∠ABE的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，由平行线的性质得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，则可得出答案；（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝20×1BD＝AB×cos30°＝20×32=∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四边形BDCF为矩形，∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，设快艇的速度为v，则v=19.7答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离为19.9海里．30．（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：3≈【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AD＝AB＝25米，则可求出答案；（2）解直角三角形求出AE＝30•tan60°＝303（米），则可求出BE．【解析】（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝303（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（303-∵3≈∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．31．（2020•临沂）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α般要满足60°≤α≤75°，现有一架长5.5m的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）【分析】（1）根据正弦的定义求出AC，得到答案；（2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可．【解析】（1）由题意得，当α＝75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙，在Rt△ABC中，sinα=AC∴AC＝AB•sinα≈5.5×0.97≈5.3，答：使用这架梯子最高可以安全攀上5.3m的墙；（2）在Rt△ABC中，cosα=BC则α≈66.4°，∵60°≤66.4°≤75°，∴此时人能够安全使用这架梯子．32．（2020•岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CD∴CD7-CD∴CD＝2，∴AD＝CD＝2，BD＝7﹣2＝5，∴AC＝22≈BC=CD∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．33．（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．【解答】解：没有触礁的危险；理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝12，在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×32=∵AN＝63≈∴没有危险．34．（2020•怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：2≈1.414，3【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°=CD【解析】由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°=CD解得x＝103+∴CD＝27，答：CD的高度为27米．35．（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：3≈1.732，17【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．【解析】∵DE＝10m，其坡度为i1＝1：3，∴在Rt△DCE中，DE=D∴解得DC＝5．∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5．∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，∴ABBF∴BF＝4AB＝20，∴在Rt△ABF中，AF=AB2故斜坡AF的长度约为20.61米．36．（2020•株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1∥l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BC⊥l1于点C，且线段AC的长为26米．（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60°，过点M作MN⊥l1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解．【解析】（1）在Rt△ABC中，BC=A（2）∵∠α＝60°，∴∠AMN＝30°，∴AM＝2MN，∵在Rt△ABC中，AN2+MN2＝AM2，∴AN2+300＝4AN2∴AN＝10，∴AM＝20，∴AM﹣AB＝20﹣18＝2．综上所述，长度增加了2米．37．（2020•攀枝花）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i＝1：0.75，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG＝4m，CG＝3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB．【解析】（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：9072解得：x＝120，经检验：x＝120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC＝100，CF＝100，∵斜坡坡度i＝1：0.75，∴DECE∴设FG＝4m，CG＝3m，在△CFG中，（4m）2+（3m）2＝1002，解得：m＝20，∴CG＝60，FG＝80，∴BG＝BC+CG＝160，过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴9072∴AH=90∴AB＝AH+BH＝AH+FG＝200+80＝280，故高圆柱的高度为280cm．38．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，【分析】作PN⊥BC于N，则四边形ABNP是矩形，得PN＝AB，证出△APM是等腰直角三角形，得AM=22PM＝152m，则PN＝AB＝2AM＝302m，在Rt△PNQ中，由含30°角的直角三角形的性质得NQ=33PN＝106m，PQ＝2【解析】作PN⊥BC于N，如图：则四边形ABNP是矩形，∴PN＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵∠APM＝45°，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=22PM=22×∵M是AB的中点，∴PN＝AB＝2AM＝302m，在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．39．（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：3≈1.732，2【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝20003，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝20003-460，进而解得x【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝20003，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝20003-在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝20003-解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．40．（2020•黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．（1）求A处到临摹亭P1处的距离；（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）【分析】（1）如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长；（2）作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，根据（1）的结果求得P1N，从而求得P1P2．【解析】（1）作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，∴AM＝P1M＝x，在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，∴MC=3P∵AC＝1000，∴x+3x=100，解得x＝500（∴P1M＝500（3-1）∴P1A=P1M22故A处到临摹亭P1处的距离为500（6-2）（2）作BN⊥AP2于N，∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m∴BN＝AN=22AB＝300∴PN＝500（6-2）﹣3002=5006在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，∴P2N=33BN=3∴P1P2＝1006-（5006-8002）＝8002-故临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离是（8002-4006）m41．（2020•天津）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC．测得BC＝221m，∠ACB＝45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求AB的长（结果取整数）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵∠ACB＝45°，∴AD＝CD，设AB＝x，在Rt△ADB中，AD＝AB•sin58°≈0.85x，BD＝AB•cos58°≈0.53x，又∵BC＝221，即CD+BD＝221，∴0.85x+0.53x＝221，解得，x≈160，答：AB的长约为160m．42．（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．【分析】过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，进而可得商业大厦的高MN．【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商业大厦的高MN为80m．43．（2020•内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定．【解析】（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×32=∵303＞∴海监船继续向正东方向航行是安全的．44．（2020•天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：2≈1.414，3【分析】（1）由题意得，∠PAB＝30°，∠APB＝135°由三角形内角和定理即可得出答案；（2）作PH⊥AB于H，则△PBH是等腰直角三角形，BH＝PH，设BH＝PH＝x海里，求出AB＝20海里，在Rt△APH中，由三角函数定义得出方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠APB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠APB＝180°﹣30°﹣135°＝15°；（2）作PH⊥AB于H，如图：则△PBH是等腰直角三角形，∴BH＝PH，设BH＝PH＝x海里，由题意得：AB＝40×30在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°=PH即x20+x解得：x＝103+∴海监船继续向正东方向航行安全．45．（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD=3【分析】根据∠C＝90°，tanA=33，可求出∠A＝30°，∠ABC＝60°，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠CBD＝∠【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=3∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=3∴BC=CD在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB=BC答：AB的长为6．46．（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝503米．（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝2，MC＝503，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝1003，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解析】过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50，（1）在Rt△ACM中，tanα＝2，MC＝503，∴AM＝2MC＝1003=BN答：无人机的飞行高度AM为1003米；（2）在Rt△BND中，∵tan∠BDN=BNDN，即：tan30°∴DN＝300，∴DM＝DN+MN＝300+50＝350，∴CD＝DM﹣MC＝350﹣503≈答：河流的宽度CD约为264米．47．（2020•辽阳）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝403，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出AC=2AD＝406【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示：由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝80×32=∵∠CAB＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AC=2AD=2×403答：货船与港口A之间的距离是406海里．48．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H，在Rt△DCH中，∠C＝37°，∴CH=DH在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，∴BH=DH∵BC＝CH﹣BH，∴DHtan37°解得DH≈18，在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，∴AD=DH答：轮船航行的距离AD约为20km．49．（2020•广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离62千米处是学校B．（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）．（1）求学校A，B两点之间的距离；（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．【分析】（1）过点A作CD∥MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．【解析】（1）过点A作CD∥MN，BE⊥MN，如图：在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，∵sin36.5°=CA∴CA＝3，MC＝4km，在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB=62km∵sin45°=BE∴BE＝6，ME＝6km，∴AD＝CD﹣CA＝ME﹣CA＝3km，BD＝BE﹣DE＝BE﹣CM＝2km，在Rt△ABD中，AB=13km（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，此时PA+PB＝PA+PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE+EG＝DE+BE＝4+6＝10，∠ADG＝90°，∴AG=AD答：最短距离为109km．50．（2020•江西）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，3≈【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解析】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×32=403（mm∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+403≈120.7（mm答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D=BC∴∠D＝26.6°，因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．专题20圆选择题（共50道）一．选择题（共50小题）1．（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6 B．9 C．12 D．152．（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8 B．12 C．16 D．2913．（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．523 B．33 C．32 4．（2020•宜昌）如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A． B． C． D．5．（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110° B．130° C．140° D．160°6．（2020•荆门）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（）A．14° B．28° C．42° D．56°7．（2020•临沂）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．