




河北省郑口中学2024届高三下学期第一次联合考试数学试题.doc 免费下载
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文档简介
河北省郑口中学2024届高三下学期第一次联合考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.2.已知点P在椭圆τ:=1(a>b>0)上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆τ的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆τ的离心率e=()A. B. C. D.3.若复数z满足,则()A. B. C. D.4.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.已知集合,,若,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.46.已知i为虚数单位,则()A. B. C. D.7.是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为()A.300, B.300, C.60, D.60,9.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为()A. B.C. D.10.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.11.圆心为且和轴相切的圆的方程是()A. B.C. D.12.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量与的夹角为,||=||=1,且⊥(λ),则实数_____.14.已知边长为的菱形中,,现沿对角线折起,使得二面角为,此时点,,,在同一个球面上,则该球的表面积为________.15.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_______.16.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.18.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.19.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E为AB的中点,底面四边形ABCD满足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求证:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.20.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.21.(12分)设函数,,其中,为正实数.(1)若的图象总在函数的图象的下方,求实数的取值范围;(2)设,证明:对任意,都有.22.(10分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.2、C【解析】
设,则,,,设,根据化简得到,得到答案.【详解】设,则,,,则,设,则,两式相减得到:,,,即,,,故,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、D【解析】
先化简得再求得解.【详解】所以.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、A【解析】
根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.5、B【解析】
解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解:,.当时,,此时不成立.当时,,此时成立,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.6、A【解析】
根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数代数运算,属于基础题题.7、B【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以(逆否命题)必要性成立当,不充分故是必要不充分条件,答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件,属于简单题.8、B【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数,同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率.【详解】由频率分布直方图得:在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为,∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为:,行驶速度超过的频率为:.故选:B.【点睛】本题考查频数、频率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9、C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可,【详解】由题意可知几何体的直观图如图:上部是底面半径为1,高为3的圆柱,下部是底面半径为2,高为2的圆锥,几何体的表面积为:,故选:C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.10、D【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.11、A【解析】
求出所求圆的半径,可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为,因此,所求圆的方程为.故选:A.【点睛】本题考查圆的方程的求解,一般求出圆的圆心和半径,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】
对于①中,根据指数幂的运算性质和不等式的性质,可判定值正确的;对于②中,构造新函数,利用导数得到函数为单调递增函数,进而得到,即可判定是错误的;对于③中,构造新函数,利用导数求得函数的最大值为,进而得到,即可判定是正确的.【详解】由题意,对于①中,由,可得,根据不等式的性质,可得成立,所以是正确的;对于②中,设函数,则,所以函数为单调递增函数,因为,则又由,所以,即,所以②不正确;对于③中,设函数,则,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得最大值,最大值为,所以,即,即,所以是正确的.故选:C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质,以及导数在函数中的综合应用,其中解答中根据题意,合理构造新函数,利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
根据条件即可得出,由即可得出,进行数量积的运算即可求出λ.【详解】∵向量与的夹角为,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案为:1.【点睛】考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量垂直的充要条件.14、【解析】
分别取,的中点,,连接,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,由勾股定理可得、,再根据球的面积公式计算可得;【详解】如图,分别取,的中点,,连接,则易得,,,,由图形的对称性可知球心必在的延长线上,设球心为,半径为,,可得,解得,.故该球的表面积为.故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的计算,属于中档题.15、0.08【解析】
先求解这组数据的平均数,然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得,.故答案为:0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差,明确方差的计算公式是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养.16、【解析】
根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解:由,得,,,则,,,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)16.【解析】
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线的极坐标方程,得出,利用三角形面积公式,结合正弦函数的性质,得出的面积最小值.【详解】(1)曲线:,即化为直角坐标方程为:;(2),即同理∴当且仅当,即()时取等号即的面积最小值为16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用,属于中档题.18、(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【详解】(1)依题,当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;当时,令,得,令,得所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数有极小值,且极小值为.综上:当时,函数无极值;当时,函数有极小值,极小值为.(2)令易得且,令所以,因为,,从而,所以,在上单调递增.又若,则所以在上单调递增,从而,所以时满足题意.若,所以,,在中,令,由(1)的单调性可知,有最小值,从而.所以所以,由零点存在性定理:,使且在上单调递减,在上单调递增.所以当时,.故当,不成立.综上所述:的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.19、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】
(Ⅰ)由题知,如图以点为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,计算,证明,从而平面PAC,即可得证;(Ⅱ)求解平面PDE的一个法向量,计算,即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一个法向量,计算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【详解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如图以点为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)设为平面PDE的一个法向量,又,则,取,得,直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)设为平面PBE的一个法向量,又则,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【点睛】本题主要考查了平面与平面的垂直,直线与平面所成角的计算,二面角大小的求解,考查了空间向量在立体几何中的应用,考查了学生的空间想象能力与运算求解能力.20、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
证明:(1)在矩形中,,又平面,平面,所以平面.(2)连结,交于点,连结,在矩形中,点为的中点,又,故,,又,平面,所以平面,又平面,所以平面平面.21、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)据题意可得在区间上恒成立,利用导数讨论函数的单调性,从而求出满足不等式的的取值范围;(2)不等式整理为,由(1)可知当时,,利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立,从而证明对任意,都有.【详解】(1)解:因为函数的图象恒在的图象的下方,所以在区间上恒成立.设,其中,所以,其中,.①当,即时,,所以函数在上单调递增,,故成立,满足题意.②当,即时,设,则图象的对称轴,,,所以在上存在唯一实根,设为,则,,,所以在上单调递减,此时,不合题意.综上可得,实数的取值范围是.(2)证明:由题意得,因为当时,,,所以.令,则,所以在上单调递增,,即,所以,从而.由(1)知当时,在上恒成立,整理得.令,则要证,只需证.因为,所以在上单调递增,所以,即在上恒成立.综上可得,对任意,都有成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用,利用导数判断函数单调性与求函数最值,利用导数证明
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