特训08 几何证明 章末阶段复习（九大题型上海其他补充）（解析版）-A4

第页特训08几何证明章末阶段复习（九大题型，上海精选+其他补充）目录：题型1：概念辨析、填空题型2：轨迹题型3：两点的距离公式题型4：证明举例题型5：线段的垂直平分线题型6：角的平分线题型7：直角三角形全等的判定题型8：直角三角形的性质题型9：勾股定理题型1：概念辨析、填空1．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（

）A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称B．周长相等的两个等边三角形全等C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【分析】分别根据全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义判断即可．【解析】解：A．两个全等的三角形不一定关于某点成中心对称，原命题是假命题；B．周长相等的两个等边三角形边长相等，故全等，真命题．C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，真命题．D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．2．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（

）A．任何定理都有逆定理 B．真命题的逆命题一定是真命题C．任何命题都有逆命题 D．“绝对值等于它本身的数是正数”是真命题【答案】C【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．利用命题与定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【解析】解：A、任何定理不一定有逆定理，故A说法错误，不符合题意；B、真命题的逆命题不一定是真命题，故B说法错误，不符合题意；C、任何命题都有逆命题，故C说法正确，符合题意；D、绝对值等于它本身的数是正数或0，故D说法错误，不符合题意；故选：C．3．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式．【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【解析】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．4．（21-22八年级上·四川眉山·期末）命题“两点之间线段最短"的题设是，结论是．【答案】连接两点，得到线段；线段最短【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．【解析】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，故答案为：连接两点；线段最短【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．5．（23-24八年级上·上海宝山·期末）下列命题中，逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形的两个锐角互余C．关于某个点成中心对称的两个三角形全等 D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【答案】C【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定、直角三角形的判定、中心对称、线段垂直平分线的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．【解析】A、两直线平行，内错角相等，逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；C、关于某个点成中心对称的两个三角形全等，逆命题是两个全等三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意；D、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题，不符合题意；故选：C．题型2：轨迹6．（23-24八年级上·上海·期末）以为底边的等腰三角形，它的两腰上的中线交点的轨迹是．【答案】线段的垂直平分线（底边中点除外）【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，线段垂直平分线的逆定理．根据三角形的三条中线交于一个，和等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】解：如图，∵，分别是的中点，点是的交点，连接并延长交于点，∴是底边的中线，也是的垂线，∴点在底边的垂直平分线上（底边中点除外），故答案为：线段的垂直平分线（底边中点除外）．7．（2024八年级上·上海·专题练习）到定点的距离等于定长的点的轨迹是．【答案】以定点为圆心，定长为半径的圆【分析】根据圆的定义即可得答案.【解析】在平面内,到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆，故答案为以定点为圆心，定长为半径的圆【点睛】本题考查了圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹.8．（2024八年级上·上海·专题练习）到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是．【答案】线段PQ的垂直平分线【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【解析】解：到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是线段PQ的垂直平分线；故答案为：线段PQ的垂直平分线．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行解题．9．（2024八年级上·上海·专题练习）下列说法错误的是（

）．A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线【答案】D【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．【解析】A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确，B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确，C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确；D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误，故选D．【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．题型3：两点的距离公式10．（2024八年级上·上海·专题练习）已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于．【答案】5．【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB=【解析】A.B两点间的距离为：AB===5,故答案为5,故答案是：5.【点睛】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．11．（2024八年级上·上海·专题练习）若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【解析】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.12．（2024八年级上·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有个．【答案】3【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q（x，0）或（y，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q点坐标【解析】解：设这一点为Q，坐标轴上点Q到点P的距离等于10，若点Q在x轴上，设Q（x，0）则，解得x=0或x=-12，此时Q点坐标为（0,0），（-12,0）；若点Q在y轴上，设Q（0，y）则，解得y=0或y=16，此时Q点坐标为（0,0），（0,16）所以坐标轴上到点P（-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3【点睛】本题的关键是掌握两点间的距离公式，进行分类讨论题型4：证明举例13．（2024八年级上·上海·专题练习）写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．（要求写出已知、求证和证明过程）.【答案】一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，证明见解析.【分析】（1）交换命题的题设和结论即可写出其逆命题；（2）通过HL证得Rt△BCD≌Rt△CBE得到∠ABC=∠ACB，则等角对等边：AB=AC，即△ABC是等腰三角形．【解析】逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形.已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB.∴∠BDC＝∠CEB＝90°，又∵BD＝CE，BC＝CB，∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)，∴∠BCD＝∠CBE，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形【点睛】本题考查了逆命题及等腰三角形的判定．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．题型5：线段的垂直平分线14．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．【解析】解：是的垂直平分线，，，．故选：A．15．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，．【答案】5【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得．【解析】解：∵，，∴垂直平分，∴，故答案为：．16．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图，DE垂直平分，，，则的周长为．【答案】【分析】本题考查了垂直平分线的性质；由于DE垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质得到，由此得到的周长，由此即可求出的周长．【解析】解：垂直平分，，，，的周长，故答案为：．17．（24-25八年级上·上海·期中）如图，等腰的周长为13，底边，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为．【答案】8【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据题目条件求出，再根据的周长，求出结果即可．【解析】解：∵等腰的周长为13，底边，∴，∴，是的垂直平分线，，的周长．故答案为：8．18．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质及等腰三角形性质可得，，从而可得，即可求解．【解析】解：的垂直平分线交边于点E，的垂直平分线交边于点N，，，，，，，，；故选：B．19．（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图：已知中，，中，，连接并延长交于．试说明的理由．【答案】见详解【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的判定条件是解题关键．根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可得点、在线段的垂直平分线上，易得垂直平分线段，即可证明结论．【解析】证明：∵，∴点在线段的垂直平分线上，∵，∴点在线段的垂直平分线上，∴垂直平分线段，∵延长线交于，∴．20．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，．求证：是线段BD的垂直平分线．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证．【解析】∵是的平分线，∴．在和中，∴．∴，．∴，两点都在线段BD的垂直平分线上．∴垂直平分BD，即是线段BD的垂直平分线．21．（20-21八年级上·上海金山·期末）已知：如图，ΔABC中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：（1）；（2）垂直平分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）根据线段垂直平分线的判定证明即可．【解析】（1）∵分别是上的中线，∴BE=CD，∠EBC=∠DCB，∵BC=CB，∴△EBC≌△DCB，∴∠ECB=∠DBC，∴OB=OC；（2）设AO与DE的交点为F，∵△EBC≌△DCB，∴EC=DB，∵OB=OC；∴OD=OE，∴点O在线段DE的垂直平分线上，∵AE=AD，∴点A在线段DE的垂直平分线上，∴直线AO是线段DE的垂直平分线，∴垂直平分．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．22．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．

(1)若，，则；(2)若，求的度数；(3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上．【答案】(1)11(2)(3)点O在的垂直平分线上，理由见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等：（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则；（2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得；（3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上．【解析】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E，∴，．∵，，∴，故答案为：11；（2）解：∵，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴的度数为20°；（3）解：点O在的垂直平分线上．理由：如图，连接，，，

∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，，∴，∴点O在的垂直平分线上．题型6：角的平分线23．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（

）A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点【答案】D【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解析】解∶∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择三条角平分线的交点，故选：D．24．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，则点到边的距离是（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出的长即可得到答案．【解析】解：如图所示，过点D作于E，∵平分，，，∴，∴点到边的距离是3，故选：B．25．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键．过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解．【解析】解：如图所示，过点作于点，∵BD是的角平分线，，∴，∵，∴，故选：A．26．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是．【答案】24【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积．【解析】解：过作于，，，，，的面积．故答案为：24．27．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于．【答案】9【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可．【解析】解：过点作，∵，平分，∴，∴的面积等于；故答案为：9．28．（23-24八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么．【答案】【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案．【解析】解：过点作，，∵，∴，∵，∴，∵，∴平分，∴，∵，∴为等腰三角形，∴平分，∵，∴，∴，故答案为：．29．（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的平分线，点、分别在、上，点为直线上的一个动点，如果，的面积为9，那么线段的长不可能是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5.5【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质解答即可．【解析】解：过点D作于E，于F，

∵，的面积为9，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴线段的长不可能是2，故选：A．30．（21-22八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，点是的中点，平分，若，连接，则．

【答案】【分析】作于，根据平行线的判定定理，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据中点的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据角平分线的判定定理，得出是的角平分线，再根据角平分线的定义，计算即可得出答案．【解析】解：如图，作于，

∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵是的中点，∴，∴，又∵，，∴是的角平分线，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的判定和性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．31．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，的三边长分别是20、30、40，其三条角平分线将分成三个三角形，则等于．

【答案】【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的边上的高相等，利用三角形面积公式即可求解．【解析】解：如图所示，过点O作于D，于E，于F，

∵O是三条角平分线的交点，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．32．（22-23八年级·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，于点D，于点E，且，交于点O．求证：平分．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定定理，能求出是解此题的关键．利用已知条件证得，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质得出结论即可．【解析】证明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．33．（2024八年级上·上海·专题练习）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．【答案】证明见解析.【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解析】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理，PN=PD，∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【点睛】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．34．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在的边外侧作等边三角形，连接交于点

(1)求证：≌(2)为的角平分线【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题的关键．（1）先根据等边三角形的性质可得，，，再根据角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）过点分别作于点，于点Q，先根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，由此即可得证．【解析】（1）证明：和是等边三角形，，，，，即，在与中，，≌（2）证明：过点分别作与点，于点，

≌，，而，，为的角平分线．35．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交AD于点，过点作，垂足为，且．

(1)直接写出的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据邻补角的定义和垂直的定义可得、，进而得到,然后根据即可解答；（2）如图：过点分别作于，与，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答；（3）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．（2）证明：如图：过点分别作于，与，

∵平分，∴，∵，∴平分，∴，∴，∴平分．（3）解：∵，∴，即，解得，∵，∴．【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．题型7：直角三角形全等的判定36．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，是内一点，且点到，的距离，则的直接依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据“”判定即可．【解析】解：∵，∴在和中∴．故选：D．37．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）下列命题中，假命题是（

）A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等B．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等【答案】A【分析】本题主要考查真假命题以及两个直角三角形全等的判定，判定两个直角三角形全等的方法有：SSS、AAS、ASA、HL四种，对每个选项依次判定解答．【解析】A、两直角相等，两个锐角对应相等，只有两个角相等，不能判定全等，选项是假命题，符合题意；B、两个直角对应相等、斜边及锐角对应相等，构成AAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意；C、两个直角对应相等、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意；D、两个直角相等、一条直角边和斜边对应相等，构成了HL，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意．故选：A．38．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）中，，AD是边上的高，，点在上，交AD于点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等．根据，，证明，求出，即可．【解析】解：∵AD是边上的高，∴，在和，，∴，∴，∴．故选：B．39．（20-21八年级上·上海普陀·期中）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①，，根据等腰三角形的性质，可证得是的角平分线，又由，，根据角平分线的性质，即可证得；②根据证明，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出；③根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出；④根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质得出．【解析】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正确；②∵，，∴，∵，∴；故②正确；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正确；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．40．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键．（1）根据证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得出，，再由即可求值．【解析】（1），，且，，在与，，．（2），，，．41．（19-20八年级上·上海青浦·期中）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．（1）求证：PM＝PN；（2）联结MN，求证：PD是MN的垂直平分线．【答案】（1）见解析

（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可得到答案；（2）利用“HL”证明Rt△PDM≌Rt△PDN，根据全等三角形对应边相等可得DM＝DN，然后根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理即可得到结论；【解析】解：(1)∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，,∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分线上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分线上，∴PD是MN的垂直平分线．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解题的关键．题型8：直角三角形的性质42．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，，，，，则（）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【分析】本题考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．先求出，再得出，即可推出．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，∴，故选：B．43．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，，若，那么．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形性质等知识，掌握这两个性质是关键；由，，得；再由得，从而可得；由30度直角三角形性质得，则可求得．【解析】解：∵，，∴；∵，∴，∴；∴；∴．故答案为：．44．（21-22八年级上·上海·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=.【答案】127.5°或7.5°【分析】过D作DF⊥AB于F，根据直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出结果．【解析】解：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC，∴DF=DC，∠ADF=67.5°，当点E在线段AB上时，∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°，∴DEF=30°，∠EDF=60°，∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°；当点E在线段AB的延长线上时，同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°；综上述：∠ADE=7.5°或127.5°．【点睛】本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段．45．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的高和中线的性质，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键；根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解．【解析】解：线段、分别为的高和中线，，，，，故A选项正确，不符合题意；在中，，，，，故B选项正确，不符合题意；，，故选项C正确，不符合题意；根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项D错误，符合题意；故选：D46．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F．(1)求的度数；(2)若，求的长．【答案】(1)(2)5【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质．（1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解析】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴是等边三角形．∴，∵，，∴．47．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在和中，，连接与BD交于点，，分别是、BD的中点．求证：垂直平分BD．【答案】见解析【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解．【解析】证明：连接，∵，是的中点，∴，∵是的中点，∴，即垂直平分BD．48．（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图是等边三角形，M，N分别在，上，且，，交于点E，于D．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质：（1）先由等边三角形的性质得到，再由即可证明；（2）由全等三角形的性质得到，进而根据三角形外角的性质得到，再求出，即可证明．【解析】（1）证明：∵是等边三角形，∴，又∵，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．49．（23-24八年级上·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点C在上，点E在上，，，点G是的中点．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质．（1）连接，得到，根据三线合一，即可得证；（2）三线合一，得到，根据，得到，即可得证；掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．【解析】（1）解：连接，∵，，∴，∵，∴，∵点G是的中点，∴；（2）由（1）知：，∴，∵点G是的中点，∴．题型9：勾股定理50．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．，， B．4，6，8 C．6，8，10 D．3，6，9【答案】C【分析】本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解析】解：A、∵，，不是整数，∴不是勾股数，故本选项不符合题意；B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；C、∵，∴是勾股数，故本选项符合题意；D、∵，∴不是勾股数，不符合题意．故选：C．51．（2024八年级上·上海·专题练习）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为．【答案】【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【解析】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，∴斜边为=13，∵三角形的面积=×5×12=×13h（h为斜边上的高），∴h=．故答案为．【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．52．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知的三个顶点，，，则为三角形．【答案】直角【分析】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．由题意根据两点间的距离公式可得的长度，再根据勾股定理的逆定理进行分析即可求解．【解析】解：，，，∴是直角三角形．故答案为：直角．53．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为．【答案】16【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE，然后证明△ΔBCA≌ΔAED，结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．【解析】解：∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，∴∠ABC=∠DAE，∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，∴BC=AE，AC=ED，故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，即正方形b的面积为16.点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，解题的重点在于证明ΔBCA≌Δ