7.3 万有引力理论的成就（举一反三）【三大题型】（原卷版）-2024-2025学年高一物理举一反三系列（人教版2019必修第二册）

7.3万有引力理论的成就【三大题型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【题型1天体的质量和密度的计算】 2【题型2天体运动的分析与计算】 3【题型3天体自转的相关问题】 4知识点1：天体的质量和密度的计算1．天体质量的计算（1）“自力更生法”：若已知天体（如地球）的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天体质量为M＝eq\f(gR2,G)，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”．（2）“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r⇒M＝eq\f(4π2r3,GT2)，已知绕行天体的r和T可以求M.2．天体密度的计算若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，将M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式可得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝eq\f(3π,GT2).注意：（1）计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．要明确计算出的是中心天体的质量．（2）要注意R、r的区分．一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕“近地”轨道运行，则有R＝r.知识点2：天体运动的分析与计算1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．2．常用关系（1）Geq\f(Mm,r2)＝ma向＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r（2）mg＝Geq\f(Mm,R2)（物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力），整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式．3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．（1）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小．（2）由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小．（3）由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大．（4）由Geq\f(Mm,r2)＝ma向得a向＝eq\f(GM,r2)，r越大，a向越小．以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．【题型1天体的质量和密度的计算】【例1】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（）A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径【变式1-1】木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（

）A．木卫一轨道半径为 B．木卫二轨道半径为C．周期T与T0之比为 D．木星质量与地球质量之比为【变式1-2】（多）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则（

）A．g′∶g=1∶5B．g′∶g=5∶2C．M星∶M地=1∶20D．M星∶M地=1∶80【变式1-3】嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（）A． B． C． D．【题型2天体运动的分析与计算】【例2】我国是第三个对火星探测并将探测器着陆火星的国家，探测器在环绕火星表面飞行时周期是T。火星表面气体非常稀薄可近似认为真空，在火星表面附近以初速度v0水平抛出一个物体，测得抛出点距火星表面高度为h，落到火星表面时物体的水平位移为x，已知引力常量为G，下列说法正确的是（）A．物体在火星表面附近做平抛运动的加速度大小是B．火星的半径是C．火星的质量是D．火星的密度是【变式2-1】2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是（）A．在环月飞行时，样品所受合力为零B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小【变式2-2】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.2倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（

）A． B． C． D．【变式2-3】某星球的质量约为地球质量的4倍，半径与地球近似相等。（1）若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛同一物体，水平射程应为多少？（2）如图所示，在该星球表面发射一枚火箭，其上有精密的探测器，竖直向上做加速直线运动，已知该星球半径为，表面重力加速度为，升到某一高度时，加速度为，测试仪器对平台的压力刚好是起飞前压力的，求此时火箭所处位置距星球表面的高度？【题型3天体自转的相关问题】【例3】地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（）A． B．C． D．【变式3-1】假定太阳系一颗质量均匀、可看作球体的小行星自转可以忽略。现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面“赤道”上的物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量G，则该星球密度ρ为（）A． B． C． D．【变式3-2】（多）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球，地球半径为R，地球北极表面附近的重力加速度为g，引力常量为G，地球质量为M，则地球的最大自转角速度ω为（）A． B． C． D．【变式3-3】（多）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而