第8讲等式性质与不等式性质

第8讲等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数,①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.题型一：作差法比较两数(式)的大小【例1】（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得xy的表达式，根据题意，分析可得xy的正负，即可得答案.【详解】，因为，所以，又，所以，即.故选：B【例2】（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；对于B，不确定符号，取则，故B错误；对于C，，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；通过作差法，，确定符号，排除C选项；通过作差法，，确定符号，排除A选项；【详解】由，且，故；由且，故；且，故.所以，故选：B.【题型专练】1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设，，，则P、Q的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用作差法计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为，所以.故答案为：<.3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；（2）已知，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求差法进行大小比较即可；（2）求差法去证明即可解决.【详解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．4.（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较的大小.【答案】【解析】【分析】应用作差法：，结合已知条件，即可确定大小关系.【详解】∵∴，即.5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：（1）设，求证：；（2）设，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差法运算即可得证；（2）利用作差法运算即可得证.【详解】证明：（1）因为，因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以.题型二：作商法比较两数(式)的大小【例1】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为_______．【答案】≥【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.【详解】因为，则由所以故答案为：【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________【答案】【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。【例3】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小【答案】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.【详解】，，.两数作商，.【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；【题型专练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知：、，且，比较的大小.【答案】【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.【详解】∵、，∴，作商：

（*）(1)若a>b>0，则，ab>0，，此时成立；(2)若b>a>0，则，ab<0，，此时成立.综上，总成立.2.（2021·全国·高一课时练习）已知，求证：．【答案】见解析【分析】利用作商法得到等式，再判断，，得到证明.【详解】．，，，，，，．，同理得，，．又，．【点睛】本题考查了作商法证明不等式，意在考查学生的计算能力和推断能力.3.（2021·全国·高一课时练习）已知，，试比较与的大小；【答案】（当且仅当时取等号）【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.【详解】方法一：由题意，因为，，所以，，，所以，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.方法二：由，当且仅当时等号成立，所以（当且仅当时取等号）.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.题型三：利用不等式的性质判断命题真假【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．可得，，，故B不正确．可得，，，故C不正确．故选：D．【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（

）A．若a>b，则 B．若a>b，则C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取则，故A错，对于B:若，则，故B错误，对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，对于D:若，则，，故D错误.故选：C【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可【详解】因为实数a，b，c满足，，所以，对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，故选：C【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】【分析】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；对于C，当时，满足，不满足，故C不正确；对于D，若，则，故D正确.故选：D.【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若且，则 B．若，则C．若且，则 D．【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.【题型专练】1.（2021·湖北黄石·高一期中）若，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．，若，则C．若，则 D．，，若，则【答案】C【解析】【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误，故选：C.2.（2022·贵州·高二学业考试）已知，则下列不等关系中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C、D；【详解】解：因为，所以，故A正确；对于B：当时，故B错误；对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；故选：A3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误，对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，故选：C4.（2022·北京昌平·高二期末）已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.【详解】为正数，为负数，所以，，，所以.故选：C5.（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，，则【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断；D.作差判断.【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，故错误；D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若且，则C．若，则 D．若，则【答案】BD【解析】【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；对选项C：若，则，所以选项C错误；对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，故选：BD．题型四：利用不等式的性质证明不等式【例1】（2022·全国·高一课时练习），，，，设，证明：【答案】证明见解析【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.【详解】解：，，，，，；，.【例2】（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.(1)证明：因为，，所以，所以；(2)证明：由（1）得，又，所以.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.【答案】3个，证明见解析.【解析】【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.【详解】可以组成3个真命题.（1）若，，则.证明：因为，，所以，即.（2）若，，则.证明：因为，，所以，即.（3）若，，则.证明：因为，，所以.【题型专练】1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若，且，则；(2)若，且，同号，，则；(3)若，且，则．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为，所以，又，故，即；(2)证明：因为，，所以，因为，同号，所以，，故，即，所以；(3)证明：因为，所以，又，所以，故.2.（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：【答案】证明见解析【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.【详解】证明：，．又，．则，即．又，．3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设，，证明：；（2）设，，，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据作差法证明即可；（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.【详解】证明：（1）因为，，所以，。所以，故得证；（2）由不等式的性质知，，所以，又因为根据（1）的结论可知，，所以.所以.4.（2022·全国·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.【详解】证明：(1)当时，，故，由，且，利用不等式性质可得，；(2)欲证，只需证明，即，①当时，显然不等式成立，②当时，不妨令，即，故，由于，显然成立，故原不等式成立；同理，当时，原不等式也成立.综上所述，对于任意，，均成立.题型五：利用不等式的性质比较大小【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知，，下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；对于B，时，显然不成立，故错误；对于C，时，，故错误；对于D，由可得，所以，即，故正确.故选：AD【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.【详解】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D【题型专练】1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.【详解】A：当时，不成立，错误；B：由，有，则，正确；C：由，则，错误；D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.故选：BD2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B：利用同向不等式相乘可以证明；对于C：利用不等式的可乘性可以判断；对于D：取特殊值可以判断.【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；对于D：取特殊值满足，但是，，所以.故D错误.故选：AB3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..【详解】因为，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故选：D.4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.【答案】，，【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.【详解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【例2】（2023·全国·高三专题练习多选题）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【解析】利用不等式的性质直接求解.【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.【例3】（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．【答案】【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．故答案为：.【例4】（2022·河南省杞县高中高二阶段练习（理））已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.【详解】.设，所以，解得：，，因为，，所以，因为单调递增，所以.故选：C【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.【答案】

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3【分析】由题干条件得到，又因为，故得到，化简可得到结果，通过可分别求出参数的值.【详解】∵