专题02正四面体模型

专题02正四面体模型【解题技巧归纳总结】一．正四面体如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习（理））棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为，设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则，体高为，由于外接球半径为，利用勾股定理得：，解得，选D．例2．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A例3．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，棱锥的高为，设外接球半径为，则，解得．所以外接球的表面积为．故选：B．例4．（2022·河北·石家庄二中一模（理））如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示，菱形，在菱形中，连接，交于点，则的长即为的最小值，即，因为正四面体，所以，所以，因为是棱的中点，所以，所以，设，则，所以，则，所以，则正四面体的棱长为，所以正四面体的外接球半径为，所以该正四面体外接球的表面积为，故选：A【过关测试】1．（2022·福建龙岩·模拟预测（文））在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，，若的最小值为，则该正四面体外接球的表面积为（

）A．27π B．54π C． D．【答案】B【解析】如图，将正四面体展开，可知当三点共线时最小，即，设正四面体的棱长为，则在中，，即，所以，即；又正四面体外接球，即为棱长为的正方体的外接球，即外接球的直径为，所以正四面体外接球的表面积为．故选：B．2．（2022·贵州·凯里一中高二期末（理））我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体中，分别为棱的中点，当时，四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】设正四面体的棱长为，则：，在等腰三角形ABF中，，据此可得：，正四面体的棱长为：，外接球半径为：，其表面积为：．本题选择D选项．3．（2022·全国·高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．【答案】

【解析】依题意可知，为正四面体的中心，如图：连接，延长交平面于点，则为△的中心，所以设，，因为，所以，由，得，得，解得，所以正四面体的棱长为．依题意可知，正四面体的外接球的圆心为，半径为，所以正四面体的外接球的体积是．故答案为：；．4．（2022·江西师大附中高二期中（文））正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，若BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是________．【答案】．【解析】【详解】把正四面体展开成如图所示的菱形，在菱形中，连结，交于，则的长即为的最小值，即．如图，，．∴设，则．∴，则．∴，即正四面体的棱长为．∴该正四面体的外接球的半径为∴该正四面体的外接球的体积为故答案为．5．（2022·广西·南宁三中高二阶段练习（理））设正四面体的棱长为，则它的外接球的体积为________．【答案】【解析】【详解】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正四面体的棱长为，即正方体面上的对角线长为，所以正方体棱长为1，对角线长为，所以球的体积为：，故填．6．（2022·宁夏育才中学高三阶段练习（文））一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】设大正四面体的内切球半径为，则解得．设小正四面体棱长的最大值为，内切球为小正四面体的外接球，则即，解得．7．（江苏省镇江市20212022学年高一下学期期末数学试题）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为_____．【答案】【解析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，如图正四面体中，为的中点，为的中心，连接，则平面，为正四面体外接球的球心，连接，则，所以，因为正面体外接球的表面积为24π，所以，得，所以，所以，在中，，则，解得或（舍去），所以该四面体的体积为，故答案为：8．（2022·天津南开·高二学业考试）表面积为的正四面体外接球的体积为__________．【答案】【解析】设正四面体的边长为，的外接圆圆心为，正四面体外接球的球心为，半径为，如图所示：因为，解得．因为，所以，．在中，解得．正四面体外接球的体积．故答案为：9．（2022·辽宁鞍山·二模）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．【答案】【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球O的体积为．故答案为：10．（2022·全国·高一）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为______．【答案】【解析】由图可知正四面体的外接球的体积等于正方体的外接球的体积，求正方体外接球体积即可．【详解】如图，由题可得正四面体与正四面体全等，所以正四面体的外接球的体积等于正四面体的外接球的体积，也即是正方体的外接球的体积，因为正方体棱长为1，所以外接球直径为，所以正方体的外接球的体积为：，所以正四面体的外接球的体积为．故答案为：．11．（2022·安徽·池州市第一中学高二期中）正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为______．【答案】【解析】设正四面体的边长为，则该正四面体每个面的面积为，正四面体的侧面积与底面积之差为，解得．如下图所示：过点作平面，垂足为点，连接，可知外接球球心在上，设球的半径为，的外接圆半径为，，由图可知，，即，解得．因此，正四面体的外接球体积为．故答案为：．12．（2022·全国·模拟预测（文））已知球内接正四面体，为棱的中点，是棱上的一点．满足，则球的体积为______．【答案】或【解析】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上．设正四面体的棱长为，则正四面体高为在中，根据勾股定理：可得：．设外接球半径为，在直角三角形中，，即，解得．令，在中，由余弦定理得：﹐由题设，——①，同理，在中，，而——②﹐联立①和②式，解得或．或，故：球的体积或．故答案为：或．13．（2022·湖南长沙·高二期中）已知正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，且图中三角形（正四面体的截面）的面积是，则该球的表面积为______．【答案】【解析】设正四面体的棱长为，过该球球心的一个截面如图为，于是图中，为中点，则．在中，，，∴．因为三角形的面积是，所以有，∴．该正四面体的高，设球的半径为，则，解得，∴．故答案为：．14．（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为_______．【答案】【解析】解：因为一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，所以，正四面体的边长为，在正四面体中，如图所示，为底面正三角形的中心，为外接球的球心，设外接球的半径为R，则有，，，因为正四面体的边长为，所以，故，，在中，，即，解得：，故外接球的表面积为．15．（2022·云南曲靖·一模（文））棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过棱作四面体的截面，交棱的中点于，且截面面积是，则四面体外接球的表面积是__________．【答案】18【解析】截面的面积为正四面体的外接球的半径是体高的．正四面体的高是球的半径为，表面积为故答案为18．16．（2022·福建漳州·高一期末）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为______，线段长度的