考点15平面向量大题9种常见考法归类-2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019)

考点15平面向量大题9种常见考法归类1、向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则；(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解；(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．2、利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，则A，B，C三点共线．[提醒](1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量；(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．3、向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．4、求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.5、解决向量垂直问题一般思路解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.6、求向量a，b的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．(3)坐标法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.注意事项：利用三角函数值cosθ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cosθ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.7、解决向量投影问题应注意以下三点(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cosθeq\f(a,|a|).考点一平面向量共线定理的应用考点二平面向量基本定理的应用考点三平面向量数量积的计算考点四平面向量垂直问题考点五平面向量的夹角问题考点六平面向量的模问题考点七平面向量的投影问题考点八坐标法解决向量问题考点九平面向量的最值范围问题考点一平面向量共线定理的应用1．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）设两个非零向量与不共线．(1)若，，求证三点共线．(2)试确定实数，使和共线．【答案】(1)证明见解析；(2)或.【分析】(1)转化为证明向量，共线，即可证明三点共线；(2)由共线定理可知，存在实数，使，利用向量相等，即可求解的值.【详解】（1）因为，，，所以所以，共线，又因为它们有公共点，所以三点共线；（2）因为和共线，所以存在实数，使，所以，即.又，是两个不共线的非零向量，所以所以，所以或.2．（2022春·新疆哈密·高一哈密市第一中学校考期中）设，是两个不共线的向量，已知，，.(1)求证：，，三点共线；(2)若，且，求实数的值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意证明向量与共线，再根据二者有公共点，证明三点共线；（2）根据与共线，设由（1）的结论及题意代入整理，结合，是两个不共线的向量，构造方程解实数的值.【详解】（1）由已知得,因为，所以,又与有公共点，所以，，三点共线；（2）由（1）知，若，且，可设,所以，即，又，是两个不共线的向量，所以解.3．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知是平面内两个不共线的非零向量，，，且三点共线.(1)求实数的值；(2)已知，，，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求的坐标和点的坐标.【答案】(1)(2)；【分析】（1）由、可构造方程组求得；（2）根据可求得；设，由可构造方程求得点坐标.【详解】（1）三点共线，，即，，解得：.（2）；四边形为平行四边形，，设，则，，，即.4．（2022春·四川南充·高一统考期末）已知非零向量与不共线，，，．(1)若，求λ、μ的值；(2)若A、B、C三点共线，求λ、μ应满足的关系式．【答案】(1)λ＝2，μ＝3(2)λ＋u＝1【分析】（1）利用已知条件代入化简,得到，则2－λ＝0，3－μ＝0，从而求出λ、μ的值（2）三点共线转化为向量共线，即，然后将等式转化为，则解方程即可求出答案.【详解】（1）∵，∴，∴，因为，不共线，∴2－λ＝0，3－μ＝0∴λ＝2，μ＝3；（2）∵A、B、C三点共线，且，∴存在唯一实数m使，∴即，∵与不共线，∴，消m得λ＋u＝1．5．（2022春·山东淄博·高一统考期中）已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，求；（2）若与共线，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．（2）根据向量共线的条件即可求出．【详解】（1）因为（2）由已知：【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．6．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为.（1）若，求AP的长；（2）设，，，，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）化简得到，得到答案.（2），根据三点共线，故，，得到，解得答案.【详解】（1），故.（2），三点共线，故.，故，.展开化简得到：，解得，，故.【点睛】本题考查了向量的数量积求长度，平面向量共线定理，向量垂直，意在考查学生的综合应用能力.考点二平面向量基本定理的应用7．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及．【答案】【分析】结合图形关系，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】在平行四边形中,,所以进而得8．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量.【答案】；【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解.【详解】∵A是的中点，则，故，，故.9．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在中，.设.(1)用表示；(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.【详解】（1）由题图，，.（2）由，又，所以，故三点共线.10．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．(1)用，表示，；(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．【答案】(1)，；(2)答案见详解.【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得，由结合已知可得；（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得..（2）证明：由（1）知，，所以，所以，所以，，共线.又直线，直线有公共点，所以，，，三点共线.11．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.(1)若，试用，和实数表示；(2)试用，表示；(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【详解】（1）由题意，所以，①（2）设，由，，②由①、②得，，所以，解得，所以；（3）由，得，所以，所以，因为与有公共点，所以，，三点共线.12．（2022春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.(1)试用向量表示；(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解；（2）设，由及三点共线联立即可求解.【详解】（1）因为三点共线，所以存在实数使得，又因为三点共线，所以存在实数使得，根据向量相等可得，解得，所以.（2）设，由（1）可得①，②，又三点共线，所以③，由①②可得，，代入③式可得，即不论点在线段上如何移动，为定值.【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用.13．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．(1)若点O满足，证明：．(2)求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据向量的线性运算法则，利用依次表示，再结合向量共线定理证明即可；(2)由(1)，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值．【详解】（1）由题可知，因为点E为AD的中点，所以．由，则，即，，又所以，又三点不共线，所以．（2）因为M，N，E三点共线，所以可设，又，，所以又，所以，所以，所以，当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是．考点三平面向量数量积的计算14．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）如图，在中，，为边的中点．设向量，向量，求：(1)；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用数量积的运算律计算出即可.（2）变形，然后利用数量级的运算率计算即可.【详解】（1），.（2）.15．（2022春·云南·高一统考期末）如图，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，求.【答案】(1)1(2)9【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.（2）先求得，然后利用转化法求得.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，故.（2），，为菱形，，所以，.16．（2022春·广西桂林·高一校考期末）已知向量，，设.(1)求的值；(2)求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1)2(2)，单调递增区间为【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示结合二倍角和辅助角公式化简，再将代入即可求解；（2）利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）因为向量，，所以，所以.（2）由（1）得，所以的最小正周期，因为的单调递增区间为，令，解得，所以的单调递增区间为.考点四平面向量垂直问题17．（2023秋·吉林·高一校考期末）设，为两个不共线的向量，若，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，是夹角为的单位向量，且，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再建立方程求解即可；（2）先求出，再建立方程求解即可.【详解】解：（1）因为，，所以，因为，则，，则所以，解得，（2）因为，是夹角为的单位向量，所以，解得：【点睛】本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题18．（2022春·河南驻马店·高一校联考期中）已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先根据平面向量数量积的运算公式将式子化简，进而求得答案；（2）根据平面向量基本定理即可求得答案.(1)因为，所以，即，解得：.(2)，则存在实数，使，即，因为与不共线，所以，解得.19．（2022春·北京大兴·高一统考期末）已知向量满足.(1)当与的夹角为时，求；(2)当实数为何值时，向量与垂直；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）首先求出，再根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；（3）依题意可得，即可求出；【详解】（1）解：由知，.因为与的夹角为，所以（2）解：由向量与垂直知，所以，所以，所以，所以或.（3）解：由知，，即，所以或.20．（2022春·浙江杭州·高一杭州市西湖高级中学校考期中）已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐标﹔（2）若，且与垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由条件设，则，求出，即可得出答案.(2)由条件可得，，则，由此可得答案.【详解】（1），设，即，则.，或.（2），，，即即则21．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知向量，，.(1)若，求;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)9【分析】（1）由，得，解出；（2）化简，求得的最大值.【详解】（1）因为，所以，得，又，所以；（2）因为，所以当时，的最大值为5＋4＝9.考点五平面向量的夹角问题22．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）已知向量，，．(1)求的最小值及相应t的值；(2)若与共线，求与的夹角．【答案】(1)最小值为，此时(2)【分析】（1）求出向量的坐标，再由向量的模长公式求出，根据二次函数求最值，即可得出答案.（2）由与共线可求出，再由向量的夹角公式即可得出答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，当且仅当取“＝”，即的最小值为，此时．（2）因为，，所以由与共线得，解得，此时，设，的夹角为θ，则，又,故与的夹角为．23．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知平面向量，，，且.(1)求；(2)求向量与向量的夹角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量平行的坐标表示直接构造方程求解即可；（2）根据向量夹角的坐标运算直接求解即可.【详解】（1），，解得：，.（2）由（1）知：，，又，.24．（2022春·上海崇明·高一统考期末）已知向量，．(1)求；(2)已知，且，求向量与向量的夹角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.【详解】（1）由题知，，所以，所以.（2）由题知，，，，所以，，所以，所以，所以，所以，因为，向量与向量的夹角为.25．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.【详解】（1）根据题意，，，，，则，因为，则有，解得（2）由（1）可知，设与的夹角为，则26．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知.(1)若，求实数的值；(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)且【分析】（1）根据向量共线的性质，列式计算即可；（2）设夹角为，则，得到，计算可得的范围，注意与不同向共线.【详解】（1）若，则，解得.（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，故只需，解得且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.27．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）已知向量，，，且，．(1)求向量、；(2)若，，求向量，的夹角的大小.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．【详解】（1）解：因为，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：设向量，的夹角的大小为．由题意可得，，，所以，因为，所以．28．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期中），，为平面内不同的三点，，，.(1)若，，三点共线，求实数的值；(2)若，的夹角为钝角，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，三点共线，可得，又，利用平面向量共线的坐标表示即可求解；（2）由题意，，且与不共线，由平面向量共线的坐标表示及平面向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】（1）解：因为，，，所以，因为，，三点共线，所以，所以，解得；（2）解：因为，的夹角为钝角，所以，且与不共线，所以，解得且，所以实数的取值范围为.29．（2022春·河南·高一校联考期中）已知向量，．(1)若，求；(2)若，求实数k的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)且.【分析】（1）根据共线向量的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可；（3）根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可.(1)因为向量，，且，所以，解得，所以；(2)由题意，得，因为，所以，解得；(3)因为与的夹角是钝角，则且与不共线．即且，所以且．30．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图，正方形中，是中点，是中点，与交于点，求的余弦值．【答案】【分析】运用平面向量数量积的方法求解.【详解】设正方形ABCD的边长为2，，则有，

，，

；综上，.考点六平面向量的模问题31．（2022春·湖北武汉·高一武钢三中校联考期中）已知向量与的夹角为，且，.(1)若与共线，求；(2)求，.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据平面向量共线定理列出方程组，从而可得出答案；（2）根据数量积得计算公式即可求出，根据结合数量积得运算律即可得解.（1）解：若与共线，则存在，使得，即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以；（2）解：，.32．（2022春·天津·高一校联考期末）已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.(1)求；(2)求(3)若与垂直，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意，根据向量模长的坐标表示，结合数量积的定义式，可得答案；（2）由（1），根据数量积的性质，求解模长，可得答案；（3）根据垂直向量的数量积性质，可得答案.【详解】（1），，.（2），∴.（3）若与垂直，则，即，∴，即，∴.33．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）平面内三个向量（1）求（2）求满足的实数（3）若，求实数【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量平行的关系，坐标运算列关系求出参数即可.【详解】因为所以由，得所以解得因为所以解得34．（2022春·河北张家口·高一统考期末）设向量，.(1)若，求实数的值；(2)若与垂直，求实数的值.【答案】(1)或(2)或【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先求出，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；(1)解：因为，，所以，因为，所以，即，解得或.(2)解：因为，，所以，因为与垂直，所以，解得或.35．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，为平面向量，且.(1)若，且，求向量的坐标；(2)若，且向量与平行，求实数k的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设，根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标；（2）计算出向量与的坐标，由已知向量平行，可求得的值.(1)设，因为，所以①又因为，所，即②由①②联立得，解之得或，则所求向量的坐标为或(2)因为，，所以，，又因为向量与平行，所以，解之得36．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市回民中学校考期末）平面内给定三个向量，，．(1)若，求实数；(2)若满足，且，求的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）易得，再根据，利用共线向量定理求解；（2）设，得到，，再根据，求解.【详解】（1）解：因为，，，所以，因为，所以，解得；（2）设，则，，因为，，所以，解得或，所以或.考点七平面向量的投影问题37．（2022春·广东潮州·高一统考期末）已知向量与向量的夹角为，且，.(1)求的值；(2)求向量在向量上的投影向量.【答案】(1)(2)【分析】（1）由数量积的定义与运算性质求解即可；（2）由投影向量的定义求解即可（1）.（2）由投影向量的定义得：，.38．（2022春·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．(1)求与的夹角；(2)求向量在向量上的投影．【答案】(1)(2)【分析】（1）将两边平方，求出，再根据数量积得定义即可得解；（2）根据数量积的运算律求出，再根据向量在向量上的投影为即可得解.【详解】（1）解：∵，∴，即，又，∴，∴，又向量夹角范围是，∴与的夹角为；（2）解：∵，∴向量在向量上的投影为．．39．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量满足：，，．(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通过换元法求其最小值.【详解】（1）由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：；（2）又，，所以令所以所以当时，取到最小值为40．（2022春·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，其中．(1)求及在上的投影向量；(2)证明，，三点共线，并求当时的值．【答案】(1)，在上的投影向量为；(2)证明见解析；【分析】（1）利用数量积的坐标运算算出，接着先算，，接着利用投影公式算出答案；（2）先利用得到且，利用题意算出能得到，再结合公共点能得到三点共线，最后，最终算出的值【详解】（1）因为，，所以，，，所以在上的投影向量为（2）证明：因为，所以且，因为，，，所以，即，又有公共点，所以，，三点共线；因为，所以，即考点八坐标法解决向量问题41．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考期中）在中，．(1)若点E满足，直线与交于点F，求的值．(2)若点D为线段上一动点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，根据C，B，F三点共线，求得即可；（2）以A为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，利用数量积得到求解.（1）解：设，因为C，B，F三点共线，所以．设，所以解得，所以∴，即，∴，故．（2）如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则．设,，故当时，取得最小值，且最小值为；当时，取得最大值，且最大值为32，所以的取值范围为.42．（2022春·全国·高一期末）如图，在四边形中，，且.(1)求实数的值(2)已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案.（2）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.(1)因为，所以，所以，所以，所以，又，所以，即.(2)以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，因为，所以，则，设，则，因为是线段上的两个动点，所以，解得，所以，所以，所以当x=3时，有最小值43．（2022春·四川成都·高一统考期末）已知平面四边形中，，向量的夹角为.(1)求证：；(2)点是线段中点，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）画出示意图，根据边的关系可得，因而．（2）以B为原点建立平面直角坐标系，写出各个点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求出结果．【详解】（1）根据题意，画出示意图如下图所示由题意可知，，所以三角形ABD为等边三角形，则，又，所以，即为直角三角形，且，所以，所以；（2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，因为点是线段中点，所以，则，所以，44．（2022春·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中）已知正方形ABCD的边长为1．E是AB上的一个动点，求的值及的最大值．【答案】，最大值为．【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解.【详解】如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，所以，又由，所以，而，所以的最大值为．故答案为：；.考点九平面向量的最值范围问题45．（2022春·安徽·高一校联考期中）如图，在中，点在边上，且．过点的直线分别交射线、射线于不同的两点，，若，．(1)求的值；(2)若恒成立，求实数的最小整数值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）利用向量的线性表示及向量共线的推论即得；（2）利用基本不等式可得，进而即得.（1）连接．因为，，，所以．因为，，共线，所以，．（2）显然，所以等价于，即．因为，当且仅当，即，时，取到最小值．于是，∴．故实数的最小整数值是2．46．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）设向量，，.(1)若与垂直，求的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，进而结合和角公式整理求解即可；（2）由题知，进而得，再根据三角函数求最值即可.(1)解：∵，，，与垂直，∴，即，∴，即，则，即.(2)解：∵，，∴，∴，∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，∴的最大值为，最小值为，∴的