专题14解三角形中的恒成立问题-2020-2021学年高一数学下学期期末考试压轴题专练（2019尖子生专用）

专题14解三角形中的恒成立问题（时间：90分钟总分：120）班级姓名得分解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2(1)若asinB−3bcos(2)若cosA≥34【答案】解：(1)∵asinB−3bcosA=0，

∴由正弦定理得sinAsinB−3sinBcosA=0，

∵sin

B≠0，∴sinA−3(2)由题意，m>0，

∵a2=b2+c2−2bccosA≥2bc−2bccosA=2bc(1−cosA)=2a2m(1−cosA)，

【知识点】利用基本不等式求最值、三角形面积公式、余弦定理、正弦定理【解析】

本题考查了三角形正余弦定理以及面积公式，同角三角函数关系，基本不等式以及恒成立问题，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题．

(1)利用正弦定理化简asinB−3bcosA=0，可得A=π3，由a2=2m，a2=mbc得bc=2

已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b−ac=sinB−sinCsin(1)求角A的值；(2)求函数fC【答案】解：(1)因为b−ac=sinB−sinCsinB+sinA

所以根据正弦定理可得b−ac=b−cb+a，整理为b2−a2+c2=bc

根据余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc【知识点】不等式的恒成立问题、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、余弦定理、正弦定理【解析】本题考查正余弦定理的应用以及函数值域的求法，属于中档题．

(1)根据正余弦定理即可求出结果；

(2)根据不等式恒成立可得cosC⩾12进而求出已知f(x)=−12cosα+sinxcos(1)求α的值；(2)若f(A)=14，BC=3，△ABC的面积为32，求边【答案】解：(1)f(x)=−1=−1=1=1因为对任意的x∈R，f(x)≤f(π所以x=π6时，f(x)取得最大值所以2×π6−α=2kπ，k∈Z，即α=又0<α<π，所以α=π(2)由(1)得，f(x)=1因为f(A)=14，所以即cos(2A−因为在△ABC中，0<A<π，所以−π3<2A−所以A=π因为△ABC的面积为32，所以1即AC·AB=2.①在△ABC中，由余弦定理得，BC所以A由① ②得AC=2，AB=1或AC=1，AB=2．【知识点】三角形面积公式、二倍角公式及其应用、两角和与差的三角函数公式、余弦定理【解析】【分析】本题考查三角恒等变换、解三角形等，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力．

(1)利用三角恒等变形以及函数的最值求解出α的值；

(2)利用三角形面积公式以及余弦定理求解出边AB，AC的长．

如图，在平面凸四边形ABCD中(凸四边形指没有内角度数大于180∘的四边形)，AB=2,BC=4,CD=5(1)若B=120∘，cosD=15，(B,D为该四边形内角(2)已知AD=3，记四边形ABCD的面积为S．①求S的最大值；②若对于常数λ，不等式S≥λ恒成立，求实数λ的取值范围.(直接写结果，不需要过程)【答案】解：(1)在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=120°，

所以由余弦定理得AC=AB2+BC2−2AB×BC×cosB=27，

在△ACD中，AC=27,CD=5，cosD=15，

所以由余弦定理得AD2+CD2−2AD⋅CD×cosD=AC，

即AD2+52−2AD=27，

解得AD=3．

(2)在△ABC中，由余弦定理得AC2=20−16cosB，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=34−30cosD，

所以20−16cosB=34−30cosD，即15cosD−8cosB=7，

而面积S=12(15sinD+8sinB)，

所以4S2+49=225+64−240cos(B+D)【知识点】三角形面积公式、不等式的恒成立问题、正弦、余弦函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性、余弦定理【解析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于较难题．

(1)由余弦定理得AC的值，在△ACD中，由余弦定理即可解得AD的值．

(2)①在△ABC中，由余弦定理得AC2=20−16cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2=34−30cosD，可得15cosD−8cosB=7，利用三角形的面积公式可得S=12(15sinD+8sinB)，可得4S2+49=225+64−240cos(B+D)，利用余弦函数的性质可求S2=60−60cos(B+D)≤120．

②由于S2=60−60cos(B+D)，可求B+D∈(π−β,π+α)，令S2=f(x)=60−60cosx，则f(x)已知△ABC的三边a、b、c满足b2(1)求B的取值范围;(2)设x=B，关于x的不等式cos2x−4sin(【答案】解：(1)∵b2=ac，

∴cosB=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，

∵a2+c2≥2ac，

∴cosB=a2+c2−ac2ac≥ac2ac=12，等号当且仅当a=c时取得，

∴12≤cosB<1，【知识点】不等式的恒成立问题、余弦定理【解析】本题考查余弦定理、基本不等式，考查恒成立问题，属于基础题。

(1)利用等比数列的性质，结合余弦定理及基本不等式，即可求B的取值范围；

(2)关于x的不等式cos2x−4sin(π4+x2)sin(已知函数f(x)=2sinx(3(1)求y=fx(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且fA【答案】解：(1)由题意得f(x)=23sin

xcos

x−2sin2x+1

，

令，得，

∴曲线y=f(x)的对称中心为，其中k∈Z；

(2)∵fA2=2，

，

又在锐角三角形ABC中，

则，

，

，

由正弦定理，得

b+ca=sinB+sinCsinA=233(sinB+sinC)=233sin(A+C)+sinC

，

在锐角三角形【知识点】二倍角公式及其应用、不等式的恒成立问题、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】本题考查三角函数的性质、不等式恒成立问题、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、正弦定理，属于中档题．

(1)化简f(x)=2sinx(3cosx−sinx)+1，得到方程，令，得，则得出对称中心．

(2)由题意，所以，由正弦定理得化简，在锐角三角形ABC中，，则，即可求出解．

三角形ABC的面积S满足S∈[3,3]，且(1)若m=(sinA,cos(2)已知f(x)=sinxcosx+3【答案】解：因为三角形ABC的面积S满足S∈[3,3]，且所以12CA→因此tanC∈−1,−因为C是三角形内角，所以C∈3π(1)因为m→所以|=2−2sinAcosB+cosAsinB=2−2sinA+B由C∈3π4,即2−2sinC∈2−因此|m→−(2)因为f(x)==1=sin要f(C)⩾t恒成立，则sin2C+因为C∈3π4,即sin2C+因此实数t的取值范围(−∞,−1【知识点】平面向量的坐标运算、辅助角公式、三角形面积公式、二倍角公式及其应用、不等式的恒成立问题、正弦、余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、向量的数量积【解析】本题考查了三角形面积公式，向量的数量积，平面向量的坐标运算，两角和与差的三角函数公式，正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式及应用，辅助角公式和不等式的恒成立问题．利用三角形面积公式和向量的数量积计算得C∈(1)利用平面向量的坐标运算和两角和的正弦函数公式得|m→(2)利用二倍角公式和辅助角公式得fx

已知函数fx=2sin(1)求曲线C：y=fx(2)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，且fA2=2.若b+c≤ka【答案】解：(1)由题意得f(x)=23sin

xcos

x−2sin2x+1

，

令，得，

∴曲线C：y=f(x)的对称中心为，其中k∈Z；

(2)∵fA2=2，，即，

又在锐角三角形ABC中，

，，

由正弦定理，得

b+ca=sinB+sinCsinA=233(sinB+sinC)=233sin(A+C)+sinC

，

在锐角三角形【知识点】辅助角公式、二倍角公式及其应用、不等式的恒成立问题、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、正弦定理【解析】本题考查三角函数的性质、不等式恒成立问题、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、正弦定理，属于中档题．

(1)化简，令，得，则得出对称中心．

(2)由题意，所以，由正弦定理得化简，在锐角三角形ABC中，，则，即可求出．

已知直线x0=π3是函数f(x)=−2cos2x+4msinxcosx+3的一个极值点，将f(x)的图象向左平移π4个单位，向下平移2个单位得到g(x)的图象．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)设锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若g(B)=0，且【答案】解：(1)化简得f(x)=2msin2x−cos2x+2，

由题意知x=π3是函数f(x)的一条对称轴，

于是4m2+1=|2msin2π3−cos2π3+2|，解得m=32，

故f(x)=3sin2x−cos2x+2=2sin(2x−π6)+2，

于是g(x)=2sin(2x+π3)．

(2)由g(B)=0⇒2sin(2B+π3)=0⇒2B+π【知识点】正弦定理【解析】(1)由题意知x=π3是函数f(x)的一条对称轴，可得4m2+1=|2msin2π3−c