综合能力提升卷（考试范围第二十六~二十八章）

【高效培优】2021—2022学年人教版九年级数学下册轻松冲刺学神考霸必刷卷【第三次月考】综合能力提升卷（考试范围：第二十六章~二十八章考试时间：120分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时120分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2021·全国·九年级期末）已知反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用待定系数法即可得．【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，由题意，将点代入得：，则这个反比例函数的解析式为，故选：D．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．2．（2021·安徽宿松·九年级期末）若且，则的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值，最后把所求的代入所求的代数式即可求解．【详解】解：，，，，解，得，，故选：D．【点睛】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．3．（2021·北京·九年级期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC等于（）A． B．4 C．36 D．【答案】B【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴＝，解得BC＝4，故选B．【点睛】本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.4．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）如果反比例函数的图象经过点，则下列各点可能在此图像上的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，

∴，

则函数解析式为．因为，，，．所以点，，不在的图象上，点在的图象上．

故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．5．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，O是坐标原点，点B在x轴上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象上，则k的值（）A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30【答案】A【分析】过A点作AC⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．【详解】解：过A点作AC⊥OB，∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，∴OC＝BC＝3，在Rt△AOC中，OA＝5，∵AC＝，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．（2021·全国·九年级单元测试）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误．D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．7．（2021·全国·九年级单元测试）如图，已知，分别是，上的点，且，，，，那么等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可解题.【详解】解：∵，∴,∵，，∴∵,∴BC=6,故选C.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,属于简单题,熟悉概念是解题关键.8．（2021·湖南湘潭·九年级期末）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡比是，∴，∴，解得：AC＝，故AB＝＝＝8（m），故选：D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．9．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解．【详解】解：由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，如下图：∵，∴，由勾股定理得∵∴，又∵∴∴∴，即解得，∵∴∴∴，即解得由题意可知四边形为矩形，∴故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．10．（2021·山东济宁·中考真题）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地点出发，要到距离点的地去，先沿北偏东方向到达地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地,此时小霞在营地的（）A．北偏东方向上 B．北偏东方向上C．北偏东方向上 D．北偏西方向上【答案】C【详解】根据方位角的概念及已知转向的角度结合三角函数的知识求解．解：A点沿北偏东70°的方向走到B，则∠BAD=70°，B点沿北偏西20°的方向走到C，则∠EBC=20°，又∵∠BAF=90°∠DAB=90°70°=20°，∴∠1=90°20°=70°，∴∠ABC=180°∠1∠CBE=180°70°20°=90°．∵AC=1000m，BC=500m，∴sin∠CAB=500÷1000=1/2，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=∠BAD∠CAB=40°．故小霞在营地A的北偏东40°方向上．故选C．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11．（2021·全国·九年级单元测试）点在反比例函数的图像上.若，则的范围是_________________.【答案】1＜a＜1【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于y1＜y2，而a1必小于a+1，则说明两点应该在不同的象限，得到a1＜0＜a+1，从而得到a的取值范围．【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，

∴在同一象限内y随x的增大而减小，

∵a1＜a+1，y1＜y2

∴这两个点不会在同一象限，

∴a1＜0＜a+1，解得1＜a＜1

故答案为：1＜a＜1．【点睛】本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．12．（2021·天津·九年级期末）反比例函数(x<0)图象上的点的函数值y随x增大而_____(填“增大”或“减小”)．【答案】增大【分析】根据反比例函数的比例系数进而判断函数的增减性，即可求得答案【详解】解：反比例函数(x<0)图象上的点的函数值y随x增大而增大故答案为：增大【点睛】本题考查了判断反比例函数的增减性，理解“时，反比例函数图象在每个象限内是y随x增大而增大”是解题的关键．13．（2021·上海普陀·九年级期末）已知在中，，，，那么_____________.【答案】6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∵cotB=，

∴AC==3BC=6．

故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．14．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，一次函数的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点，与反比例函数的图象交于点和点F．则不等式的解集是___________．【答案】＜或【分析】把点分别代入两函数解析式，分别求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式，求出直线和双曲线的交点坐标，利用数形结合思想解题．【详解】解：由题意得：，，解得：，，∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：，联立：，解得：，∴点F的坐标为：，由题意得：当＜或时，，故答案为：＜或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，能够求出函数的解析式和点的坐标是解题的关键，注意数形结合的运用．15．（2021·黑龙江前进·九年级期末）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝______时，△ADP与△BCP相似．【答案】2或5或8【分析】分两种情况：△ADP∽△PCB及△ADP∽△BCP，再由相似三角形的性质即可求得DP的值．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴BC=AD=4，CD=AB=10当△ADP∽△PCB时，，即∴DP(10−DP)=16即解得：DP=2或DP=8当△ADP∽△BCP时，∴DP=PC∵DP+PC=10∴DP=5综上所述，当DP的长为2或5或8时，△ADP与△BCP相似．故答案为：2或5或8【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，分类讨论思想的运用，特别注意这里有两种情况，不要忽略任意一种情形．16．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为__．【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=ADAP=2，∠BCD=∠ECF=90°∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴∴∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，，即∴CE=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．17．（2021·河北河间·九年级期末）2021年10月21日，河间市诗经国际马拉松比赛拉开帷幕，电视台动用无人机航拍技术全程录像．如图，是无人机观测AB两选手在某水平公路奔跑的情况，观测选手A处的俯角为，选手B处的俯角为45º．如果此时无人机镜头C处的高度CD＝20米，则AB两选手的距离是_______米．【答案】【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可；【详解】解：由已知可得，，CD=20，∵于点D，∴在中，，，∴，在中，，，∴，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确理解和计算是解题的关键．18．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．【答案】48【分析】过作于，交于，设，，，通过证得△△，得到，解方程组求得、的值，即可得到的坐标，代入即可求得的值．【详解】解：过作于，交于，，，，，，△△，，设，，，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，，，，解得，，，反比例函数的图象经过点，，故答案为48．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．三、解答题：本题共7个小题，1923每题8分，2425每题13分，共66分。19．（2021·山东莱芜·九年级期末）计算（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先计算零指数幂，负指数幂，二次根式乘法，化去绝对值，再合并同类项即可；（2）先将特殊角三角函数值代入，然后计算乘法，乘法，再合并同类项即可．【详解】解：（1），=，=；（2），=，=，=．【点睛】本题考查含特殊三角函数混合运算，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负指数幂，二次根式乘法，绝对值化简，合并同类项是解题关键．20．（2021·重庆·九年级期末）化简求值：，其中a，b满足【答案】，2【分析】先化简分式，在根据特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性求得的值，代入化简结果计算即可【详解】解：，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值以及绝对值和算术平方根的非负性，掌握以上知识是解题的关键．21．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．（1）求直线的解析式；（2）求反比例函数的解析式；（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；（2）利用先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；（3）设而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，则设直线为：则所以直线为：（2）轴，．所以反比例函数为：（3）设而为的中点，【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.22．（2021·广东揭阳·九年级期末）如图，四边形中，平分，，为的中点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得证；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案．【详解】解：证明：（1）平分，，在和中，，，，；（2），为的中点，，，由（1）已得：，，；（3），为的中点，，由（2）已证：，，，，即，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．23．（2021·湖北十堰·九年级期末）如图，将一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4，宽为2的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角度为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，请求出旋转角α的值；若不能，说明理由．【答案】（1）30°；（2）能，旋转角a的值为135°或315°【分析】（1）由旋转的性质利用三角函数即可求解；（2）由题意可得CB＝CD，CD＝CD′，因此只需要证明∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′成立，由此可以进行解答.【详解】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′＝CD＝4，在Rt△CED′中，CD′＝4，CE＝2，∴∴∴（2）解：△DCD'与△CBD能全等，理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD，∵CD＝CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α＝（360°90°）＝135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°则α＝360°﹣45°＝315°，即旋转角α的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（2021·天津南开·九年级期末）如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．【答案】（1）；（2）4；（3）或【分析】（1）把A点坐标代入中，即求出b的值，即可得出一次函数的表达式．再把C(1，m)、D(n，1)代入一次函数表达式，即求出C、D的坐标，最后把C点坐标代入，求出k即可；（2）直接利用，即可求出结果；（3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，，再结合点C、点D的坐标和图象即可得出结果．【详解】解：（1）∵点在直线上，∴，即，∴直线的解析式为．∵点和点在直线上，∴，，解得：，，∴，，又∵在反比例函数上，∴，解得：．（2）∵，∴，∴．（3）要使，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即或时．【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．25．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）如图（1），∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，点B是AM上一点，AB＝4，BG⊥AP于C点，交AN于点G，CD⊥AN，交AN于点D，连接BD交AP于点O，AF⊥BD于E，连接CE．（1）求证：∠BEC＝∠BAC；（2）请判断CF与DF的数量关系，并给予证明；（3）若∠MAN≠90°，如图（2）试证明CF＝DF．【答案】（1）证明见详解；（2）CF=DF；理由见详解；（3）证明见详解．【分析】（1）由BG⊥AP于C点，AF⊥BD于E，可得点A、B、C、E四点在以AB为直径的圆上，由∠BEC、∠BAC是所对圆周角，可得∠BEC=∠BAC；（2）CF=DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC=∠BAC=45°，由BG⊥AP于C点，可得∠GCA=∠BCA=90°，可证△ACG≌△ACB（ASA），可得AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，可求GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理，由面积桥可得AF=，在Rt△AED中勾股定理，可得BE=，可证△DFE∽△BAE，可求即可；（3）由CD⊥AN，DE⊥AF，可证△DEF∽△ADF，可得，由∠A