专题01平面向量的运算名校重难点题型分类高分必刷题-2022-2023学年高中数学下学期重难点题型分类高分必刷题（人教A版2019）

专题01平面向量的运算名校重难点题型分类高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《平面向量的运算》这一节的七种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，与考试的吻合度很高，本份资料具体包含的题型有：向量的概念题、抽象向量的加减法、抽象向量的数乘与共线、抽象向量的中点与三等分点、抽象向量的数量积与模、抽象向量的夹角问题、抽象向量的综合大题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。题型一向量的概念题1.（市实验）下列说法中错误的是()A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的【解答】解：零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，因此B，C，D，正确，A错误．故选：A．2.（明德）下列命题中正确的有.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则，，，四点构成平行四边形；④在平行四边形中，一定有；⑤若，，则；【解答】解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，所以一定有，所以④正确；⑤显然错误；故答案为：④．3.（南雅）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若(为实数)，则必为零；④已知，为实数，若，则，共线.其中错误命题的个数为()A. B. C. D.【解答】解：（1）两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，因此（1）不正确．（2）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，正确．（3）λ＝（λ为实数），则λ＝0或，因此不正确．（4）若λ，μ都为0，λ＝μ，则与不一定共线，不正确．综上可知：只有（2）正确．故选：C．题型二抽象向量的加减法4.（市实验）________.【解答】解：．5.(雅礼)已知平行四边形，是平行四边形所在平面内任意一点，，，，则向量等于()A. B. C. D.【解答】解：∵O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点，＝，＝，＝，则∴＝+＝+＝+﹣＝，故选：C．6.（明德）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是()（多选）A. B.C. D.【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，，∴A正确；，∴B错误；，∴C错误；，∴D正确．故选：BC．7.（明德）如图，向量﹣等于（）A．﹣2e1﹣4e2 B．﹣4e1﹣2e2 C．e1﹣3e2 D．﹣e1+3e2【解答】解：设连接，起点的向量为，则+＝，∴＝﹣，又得＝﹣+3，∴﹣＝﹣+3，故选：D．8.（雅礼）下列运算中正确的是（）（多选）A． B． C． 【解答】解：由向量减法定义知，故A正确；由向量加法定义知，故错误；由向量加法定义知，故正确．故选：．题型三抽象向量的数乘与共线9.（市实验）已知向量，是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A.， B.，C.， D.，【解答】解：选C．10.（联考）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则()A. B. C. D.【解答】解：与共线，且，存在，使，即，且不共线，根据平面向量基本定理，，解得．故选：．11.（一中）设，为两个不共线的向量，若与共线，则________.【解答】解：。12.(一中)如图，在中，点、是线段上两个动点，且，则的最小值为．【解答】解：设，，，，共线，，，，则，点，是线段上两个动点，，，，当且仅当，即时取等号；所以的最小值为8．故答案为：8．13.（一中）如图，在中，为的中点，，，与交于，，则()A. B.C. D.【解答】解：由中，为的中点，，，与交于，，则，由点、、三点共线，则，解得，故选：D．14.（明德）如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段的中点，若，则.【解答】解：根据条件：；∴；∴．故选：B．15.（师大）已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是()（多选）A.且 B.存在相异实数，，使C.，其中实数，满足 D.已知梯形，其中，【解答】解：A．联立和消去向量可得出，∴，且，∴，共线；B．∵都是非零向量，且λ≠μ，，∴λ，μ都不为0，∴，∴共线；C．当x＝y＝0时，满足x+y＝0，此时对任意的向量都有，∴得不出共线；D．∵AB与CD不一定平行，∴得不出共线．故选：AB．16.（周南）如图，四边形是正方形，延长至，使得，连接.若动点从点出发，按如下路线运动：，其中，(1)当点为的中点时，求的值；(2)满足的点有几个【解析】(1)连接，因为点为的中点，所以，①因为，所以，所以，因为，所以，②因为，不共线，由①②可得，解得，所以.(2)若，则，因为，所以，所以，所以，所以，，三点共线，所以动点运动至点，及与边交点时满足条件，即满足的点有个.17.（长郡）（1）如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且.（2）用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点.【解析】（1）因为是直线上的动点，所以不妨设（为实数），则，，令，，则有，并且.所以存在实数，，使得，并且.（2）如图，中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点.（注：此处对定理的已知和求证必须说明（符号化），不书写该步骤不给分.）证明：不妨设BE、CF交于一点G，连接AG，因为D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，所以，，，根据（1）的结论得，在中，，，，为实数.在中，，，，为实数.所以解得所以，即，，A、G、D三点共线，所以AD、BE、CF交于一点.18.（市实验）设为的重心，过作直线分别交线段，(不与端点重合)于，.若，.(1)求的值；(2)求的取值范围.【解析】(1)连续并延长交于，则是的中点，设，，则，，①又，，②∴，，∵，，三点共线，故存在实数，使，∴，∴，消得：，即；或者另一种解法由②式得，，③把③代入①得，∵，，三点共线，故，即.∵，∴，∴，即，，其中时，有最大值，或时，，于是，的取值范围是.题型四抽象向量的中点与三等分点19.（雅礼）在中，为边上的中线，为的中点，则等于()A. B.C. D.【解答】解：因为中，为边上的中线，为的中点，所以，故选：．20．(师大)在中，，．若边上一点满足，则A． B． C． D．【解答】解：因为，，且上一点满足，所以．故选：．21.（雅礼）在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【详解】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.22.（联考）在中，为的中点，为上一点，则()A. B. C. D.【解答】解：如图：为的中点，，．故选：．23.（市实验）若点，，分别为的边，，的中点，且，，则下列结论正确的是()（多选）A. B.C. D.【解答】解：如图，因为点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，所以＝+＝﹣﹣＝﹣﹣，故A错误；＝（+）＝﹣+＝﹣+，故B正确；＝﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，故C正确；＝﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，故D错误．故选：BC．24.（长郡梅溪湖）如图，在中，，，若，则的值为()A.B.C.D.【解答】解：，，；又，，；．故选：．25.（师大）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则()A. B.C. D.【解答】解：由已知得，结合，，所以．又因为，，三点共线，所以，所以．故选：．题型五抽象向量的数量积与模26.（市实验）已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.【解答】解：因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为||cos＝；故选：B．27.（南雅）已知向量与的夹角为，若，且，则_________.【解答】解：根据条件，＝；∴．故答案为：4．28.（一中）已知在中，，，，则()A. B. C. D.【解答】解：，故选：．29.（市实验）在边长为的等边三角形中，，则()A. B.C. D.【解答】解：如图，，，∵，∴，∴＝．故选：D．30.（雅礼）在等腰直角中，，，则的值等于()A.2 B.2 C. D.【解答】解：如图，是等腰直角三角形，且，，，，．．故选：．31.（雅礼）已知正方形的边长为2，为的中点，则的值为__________.【解答】解：已知正方形的边长为2，为的中点，则，32.（明德）已知菱形的边长为，，，则的值为()A. B. C. D.【解答】解：如图，,∴,∴＝,且,,∴＝＝＝．故选：B．33.（长郡梅溪湖）若、、是非零向量，则下列命题中的真命题是()A. B.若，则C.若，则 D.若，则【解答】解：向量的数量积不满足结合律，不正确，即不正确；，，，，故正确；，则，或，故不正确；，则，故不正确．故选：．34.（市实验）设平面向，，均为非零向量，则下列命题中正确的是()（多选）A.若，则 B.若，则与同向C.若，则 D.若，则【解答】解：当时，可得，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角θ＝0或π，与同向或反向，B错误；若，两边平方得，＝0，即，C正确；若，则＝，其中，，根据向量共线定理得，，D正确．故选：CD．35.（一中）在中，，，若为内部的一点，且满足，则()A. B. C. D.【解答】解：，点是三角形的重心，，，故选：．36.（联考）已知单位向量，满足，则的最小值为()A. B. C. D.【解答】解：由向量，为单位向量，则，又，则，当且仅当时取等号，故，即的最小值为，故选：．37.（雅礼）点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（）（多选）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【详解】∵P是所在平面内一点，且，∴，即，∴，两边平方并化简得，∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选：AD.38.（一中）已知的面积为，在所在的平面内有两点，，满足，，记的面积为，则下列说法正确的是()（多选）A. B.C. D.【解答】解：由，可知点为的三等分点，点为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于，点为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故错误；对于，故正确；对于，，故正确；对于，设的高为，即，则的面积，故正确；故选：．39.（炎德联考）在中，为钝角，，且，函数的最小值为，则|的最小值为________.【解答】解：在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，函数f（m）的最小值为．∴函数＝＝，化为4m2﹣8mcos∠ACB+1≥0恒成立．当且仅当m＝＝cos∠ACB时等号成立，代入得到，∴．∴＝＝＝x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）＝，当且仅当x＝＝y时，取得最小值，∴的最小值为．故答案为：．40.(雅礼)已知，，.(1)求；(2)求.【解析】①②题型六抽象向量的夹角问题41.（雅礼）若向量，满足，，，则与的夹角为()A. B. C. D.【解答】解：选：C．42.（明德）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为__________.【解答】解：．43.（师大）已知单位向量，满足，若向量，则()A. B.C. D.【解答】解：由已知有，又，则，，故选：．44.（联考）已知非零向量，满足.(1)求，的夹角的余弦值；(2)若，求. 【解析】(1)因为，所以，化简可得.因为，所以.故，的夹角的余弦值为.(2)因为，所以，即.45.（长郡）已知向量，满足，，.（1）求与的夹角；（2）若，求的值.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴与的夹角为.（2）∵，∴，，，解得.46.（市实验）已知，，，的夹角为.(1)求的值；(2)求与夹角.【解析】(1)；。(2)，，，.夹角为题型七抽象向量的综合大题47.（炎德联考）如图，在平行四边形中，点、、分别在边，，上，且满足，，，设，.(1)用，表示，；(2)若，，求角的值.【解析】(1)，.(2)若，则，即，∴，又，∴，∴，即，∴.48.（师大）已知单位向量，的夹角为，向量，向量.(1)若，求的值；(2)若，求.【解析】(1)因为，所以存在买数，使得，即，则有，，解得.(2)由，有，即，解得，故，所以.49.（长郡梅溪湖）已知，，.(1)求与的夹角；(2)求；(3)若，