2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题184 矩形的性质与判定【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题18.4矩形的性质与

判定【九大题型】

【人教版】

【题型।由矩形的性质求线段的长度】............................................................1

【题型2由矩形的性质求角的度数】.............................................................2

【题型3由矩形的性质求面积】.................................................................3

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】.......................................................4

【题型5矩形判定的条件】......................................................................6

【题型6证明四边形是矩形】....................................................................7

【题型7矩形中多结论问题】...................................................................11

【题型8矩形的判定与性质综合】..............................................................12

【题型9直角三角形斜边的中线】...............................................................15

浮一笈三

【知识点1矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【知识点2矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对

角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的

直线；对称中心是两条对角线的交点.

【题型1由矩形的性质求线段的长度】

【例I】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形ABCZ）中，AD=45/2,对角线4c与8。相交于点O,DE

1AC,垂足为点E,CE=OE,则OE的长为（）

A______________________P

O

E

Br

【变式1・1】（2022春•开州区期末）如图，在矩形ABC。中，对角线AC、4。相交于点O,DF垂直平分

OC,交AC于点E,交BC于点尸，连接AF,若8。=2遍,。尸=2,则A尸的长为（）

&pc

A.V6B.2V2C.y/7D.3

【变式1-2］（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形/WC。中,。是8。的中点，七为八。边上一点，且有

AE=013=2.连接OE,若/AE（）=75°,则。£的长为（）

A.__________♦______,D

/

BC

A.1B.V3C.2D.2A/3-2

【变式1-3］（2022•南岗区期末）如图，矩形ABCQ中，点E,F分别在AD,CD上，且CF=2DF=2,

连接BE,EF,BF,且B产平分NE8C,NEFB=45°,连接CE交BF于点G,则线段EG的长为_____.

.二邑D

【题型2由矩形的性质求角的度数】

【例2】（2022春•深水区期中）如图，在矩形ABC。中,AC>8。交于点0,O£LAC于点E,ZAOD=

110°,则NCQE大小是（）

3

A.55°B.40°C.35°D.20°

【变式2-1］（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得NEO尸=22°,则/正。8

的大小是（）

C.24°D.68°

【变式2-2]（2022春•江夏区期中）如图，矩形ABCO中，AB=2,AD=\,点M在边。。上，若4M平

)

C.75°D.30°

【变式2-3】（2022春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形A8CO的形状,

并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCZ）的最大内角的大小是

【题型3由矩形的性质求面积】

[例3]（2022春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩

形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10c7〃，则矩形的面积为cm2.

【变式3-1]（2022•成都）如图，过矩形ABCQ的对角线8。上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,

那么图中矩形AMKP的面积S与矩形QCNK的面枳S2的大小关系是$一S2；（填或“〈”或

BQC

【变式3-2]（2022春•成都期末）如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE,以BE边作矩形

BEFG,使得FG始终经过点C.若矩形ABCD的面枳为日，矩形BEFG的面积为s?,则g与52的大小

关系是（）

A.S1〈S2B.Si=S2C.51>52D.不确定

【变式3-3]（2022春•九龙坡区校级期中）已知：矩形A8CO中，延长8c至E,使BE=BD,F为DE的

中点，连接AF、CF.

（1）求证:CF±AF；

（2）若AZ?=10G〃，BC=16cm,求△AO”的面积.

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】

【例4】（2022春•潮南区期中）如图，在矩形中，点。的坐标是（1,3）,则CE的长是（）

A.3B.V3C.VSD.V10

【变式4/】（2022春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三

角形为“智慈三角形”.如图，在平面直角坐标系X。），中，矩形。43。的边04=3,0C=4,点M（2,

0）,在边A8存在点P,使得ACMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）

C.（3,或（3,1）D.（3,；）或（3,1）或（3,3）

22

【变式4-2］（2022•西平县模拟）已知在矩形A8CO中，AB=4,8C=卷O为BC上一一点、,BO=p如图

所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点.

（1）若点M的坐标为（I,0）,如图1,以OM为一边作等接AOMP,使点P在矩形ABC。的一边上,

则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

（2）若将（1）中的点〃的坐标改为（4,（））,其他条件不变，如图2,那么符合条件的等腰三角形有

几个？求出所有符合条件的点P的坐标.

图1图2

【变式4-3]（2022春•浦江县期中）如图，长方形O44C中，。为平面直角坐标系的原点，4点的坐标为

（4,0）,C点的坐标为（0,6）,点8在第一-象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度

沿着O-C-8-A-0的路线移动（移动一周）.

（1）写出点B的坐标：

（2）当点P移动了4秒时，求出点尸的坐标；

（3）在移动过程中，当△OAP的面积是10时，直接写出点P的坐标.

八

y

C-------Is

OAx

【知识点3矩形的判定方法】

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形;

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

【题型5矩形判定的条件】

【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形ABC。为平行四边形，延长AO到£使。2=4。，连接£&

EC,DB,添加一个条件，不能使四边形Q4CE成为矩形的是（）

E

C

AB

A.AB=BEB.BEA.DCC.NAQB=90'D.CEDE

【变式5-1]（2022春•江油市期末）在四边形/WCQ中，AC.BD交于前O,在下列条件中，不能判定四

边形A8c。为矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZB/.D=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C.NBAD=NBCD,NABC+/8CD=180°,ACLBD

D.NB4O=NABC=90°,AC=BD

【变式5-2]（2022春•仙居县期末）如图，四边形4BCO为平行四边形，延长4。到E,使DE=A。，连

接E8,EC,DB,添加一个条件，不能使四边形OBCE成为矩形的是（）

A.AB=BEB.CE1DEC.ZADB=WD.BELDC

【变式5-3]（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点F，G在边上,

且。G=ER只需添加一个条件即可证明四边形。尸GE是矩形，这个条件可以是.（写出一个

即可）

【题型6证明四边形是矩形】

【例6】（2022春•南谯区期末）如图，在平行四边形A8C。中，对角线AC,4。相交于点O,若E,尸是

线段4c上两动点，同时分别从A,。两点出发以"〃?/5的速度向点C,A运动.

（1）求证：MADE乌ACBk

（2）若BD=8cm,AC=14an,当运动时间，为多少秒时，四边形。E8尸是矩形？

【变式6-1]（2022春•海陵区期末）如图，在aABC中，。是边AC上的一个动点，过点。作直线MN,

交NAC8的平分线于点£,交aABC的外角/ACO的平分线于点F.给出下列信息：&MN//BC：②OE

=OC；®OF=OC.

（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；

（2）在（1）的条件下，连接AE、AF,当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AEC厂是矩形？

请说明理由.

BCD

【变式6-2]（2022春•津南区期末）已知口A8CD,对角线AC,8。相交于点O（AO8。），点E,广分

别是OA,。。上的动点.

（I）如图①，若AE=CF,求证：四边形EB尸。是平行四边形；

（II）如图②，若OE=OB,OF=OD,求证：四边形EBFO是矩形.

图①图②

【变式6-3］（2022春•洪泽区期末）在矩形A8C。中，A8=6,BC=8,E、尸是对角线AC上的两个动点,

分别从4、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，秒，其中0WW10.

（1）若G、〃分别是40、BC的中点，则下列关于四边形EGFH（E、/相遇时除外）的判断：①一定

是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是—；（直接填序号，不用说理）

（2）在（1）的条件下，若四边形EGF”为矩形，求/的值.

【题型7矩形中多结论问题】

【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片/1BC7）中/W=4,BC=8,点、E,产分别在AD,BC上,

将纸片A8CO沿直线石/折叠，点C落在人。上的点，处，点D落在点G处，连接CE,CH.有以下四

个结论：①四边形是菱形；②CE平分NDC”：③线段A尸的取值范围为3W4FW4：④当点H9

点A重合时，EF=5.以上结论中，其中正确结论的个数有C）

【变式7-1］（2022春•南充期末）如图，矩形人8€7）中，M,N分别是边人从CQ的中点，4P_L4V于P,

C尸的延长线交4。于Q.下列结论：①PM=CN；②PM_LCQ；③PQ=AQ；®DQ<2PN.其中结论正

确的有（）

【变式7-2］（2022春•泉州期末）如图，点P是矩形/WC。内一点，连结爪PB、PC、PD,设△氏8、

APBC、丛PCD、△0加的面积分别为Si、S2、S3、S4，以下四个判断：

①当N%6=NPD4时，B、P、。三点共线

②存在唯——点P,使PA=PB=PC=PD

③不存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点P

④若S1—S2»则§3=§4

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

【变式7-3］（2022春•兴文县期中）如图，矩形48C。中，AC,8。相交于点O,过点8作8F_LAC交C。

于点F,交4c于点M,过点。作OE〃8尸交48于点E,交AC于点N,连接产MEM.则下列结论:

①DN=BM；②上M〃尸M③/才=N”；④当AO=AL）时，四边形DE8卜是菱形.其中正确的结论是

【题型8矩形的判定与性质综合】

【例8】（2022春•海淀区期末）如图，在△A8C中，£＞是A8上一点，AO=QC,QE平分乙4OC交AC于

点E。厂平分N8DC交BC于点F,ZDFC=90°.

（1）求证：四边形CEZ＞是矩形；

（2）若N8=30°,40=2,连接8E,求BE的长.

C

E

ADB

【变式8-1]（2022•息烽县二模）如图，菱形ABCO的对角线AC、8D交于点。，过点B作8E〃AC,且

BE=\AC,连接EC、ED.

（1）求证：四边形3ECO是矩形；

（2）若AC=2,NA8C=60°,求OE的长.

【变式8-2】（2022•开福区校级二模）如图，平行四边形/WC7）的对角线AC、BZ）相交于点。，过点A作

AFA.CD,垂足为F，延长。C到点七，使CE=O尸，连接8E.

（1）求证：四边形4/3"是矩形;

(2)若A8=5,CF=2,AC1BD,连接。七，求OE的长.

DFE

【变式8-3]（2022•崇左）如图，。是矩形A8C。的对角线的交点，E、F、G、”分别是OA、OB、OC、

。。上的点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形打'G〃是矩形；

（2）若E、F、G、”分别是。4、08、OC、。。的中点，且OG_LAC,OF=2an,求矩形A8CQ的面

积.

【知识点4直角三角形斜边中线】

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

【题型9直角三角形斜边的中线】

【例9】（2022•青县二模）如图，直角△ABC中，N8=90°,/84C=78°,过C作C/〃A8,连接"

与BC相交于G,若G/=2AC则N84G的大小是度.

【变式9-1］（2022春•河南期末）如图，在AABC中，点。在边AC上，DB=BC,E是CO的中点，尸是

的中点.

（1）直接写出A8与E尸的数量关系：；

（2）若40=3,BD=2,ZC=60°,求EF的长.

【变式9-2](2022•浦东新区期天)如图(1),已知锐角△ABC中，CD、BE分别是48、AC边上的高,

“、N分别是线段8C、DE的中点.

(1)求证：MNA.DE.

(2)连接OM,ME,猜想NA与NOME之间的关系，并证明猜想.

(3)当NA变为钝角时，如图(2),上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答,

不需证明；若结论不成立，说明理由.

【变式9-3](2022秋•启东市校级月考)引理：如图1所示已知Rt^ABC中，C。是斜边46上的中线,

则CD=AD=DB=-AB

2

应用格式为：是斜边A8上的中线，・・・CO=AQ=Q8=y/3

如图2所示已知，ZkABC中，AC=8C,NAC8=90°,。为A8的中点，若£在直线AC上任意一点,

DFVDE,交直线8C于尸点.G为E尸的中点，延长CG交A8直线于点〃.

(1)若E在边AC上.①试说明。E=QF；②试说明CG=G〃；(本题需要用引理)

(2)若4E=3,CH=5.求边AC的长.

专题18.4矩形的性质与判定【九大题型】

【人教版】

【题型।由矩形的性质求线段的长度】............................................................1

【题型2由矩形的性质求角的度数】.............................................................2

【题型3由矩形的性质求面积】.................................................................3

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】.......................................................4

【题型5矩形判定的条件】......................................................................6

【题型6证明四边形是矩形】....................................................................7

【题型7矩形中多结论问题】...................................................................11

【题型8矩形的判定与性质综合】..............................................................12

【题型9直角三角形斜边的中线】...............................................................15

”蚪A女三

【知识点1矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【知识点2矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对

角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的

直线；对称中心是两条对角线的交点.

【题型1由矩形的性质求线段的长度】

【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形ABC。中，AD=4^,对角线AC与8。相交于点O,DE

LAC,垂足为点E,CE=OE,则。E的长为（）

A.4B.3V2C.2V2D.2

【分析】根据矩形的性质得出“AOC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出求出OD

=CD=OD,根据等边三角形的判定得出△QOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出NOCA=

60°,求出ND4C=90°-NQC4=30°,再根据含30度角的直角三角形的性质得出。即可.

【解答】解：•・•四边形48C。是矩形，

ZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：・OD=OC,

••/圮_LAC,CE=(JE,

：,OD=CD,

即OD=OC=CD,

•••△OOC是等边三角形，

：,ZDCA=60°,

/.ZDAC=90°-ZDCA=30°,

VDEIAC,

・・・NOE4=90°,

・・・阳*

*：AD=4V2,

：.DE=2\[2,

故选：C

【变式1/】（2022春•开州区期末）如图，在矩形A8C。中，对角线AC、8。相交于点O,D/垂直平分

F,连接AF,若BD=2W，DF=2,则4/的长为（）

C.V7D.3

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，。。=/。=怖，再根据。尸垂直平分oc,得。C=OD=V5,

分别在RtZXQCR为△。。3中，利用勾股定理求出C/、8c的长，从而求出8F,在RtZ\48/中利用勾

股定理求出AF的长.

【解答】解：•・•四边形A8CO是矩形.

：,AB=CD,OD=,D=痘.

•・・。户垂直平分oc.

：.CD=OD=x/3.

：.AB=CD=V3.

在RtZ\8C。中,

BC=>JBD2-CD2=](26)2—[遮)2=3

在RlAL>CF中，

CF=y/DF2-DC2=J22-(V3)2=1.

:・BF=BC-CF=3-1=2.

在RtAABF中,

=J(V3)2+22=V7.

AF=y/AB2+BF2

故选：C.

【变式1-2］（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形ABCO中，O是的中点，E为A。边上一点，且有

AE=OB=2.连接OE,若NAEO=75°,则DE的长为()

C.2D.2V3-2

【分析］连接AC,OE,根据矩形的性质可得AC=4,由NAEO=75°,可得NE4O=30°,进而利用

含30度角的直角三角形即可解决问题.

在矩形48CO中,

•・・。是8。的中点,

：.OA=OB,

,:AE=OB=2.

**•AE=OA=2.

，AC=4,

VZAEO=75°,

・・・NE4O=30°,

：,CD=^AC=2,

2

：,AD=V3CD=2V3,

：.DE=AD-AE=2>/3-2.

故选：O.

【变式1-3](2022•南岗区期末)如图，矩形A8C。中，点E,尸分别在AZ),C。上，且Cr=2QF=2,

连接BE,ERB凡且8尸平分NEBC,NEFB=45°,连接CE交B尸于点G,则线段EG的长为—.

一U一

【分析】在"C上截取使BN=BE,过点G作G/ZLEP于点证明△下£1)(44S),推

出ED=FC=2,CN=DF=\,设BN=BE=x,作GQ_L8E于Q,GP_L8C于0.利用勾股定理构建方程

求出-再证明普=翌即可解决问题.

GCBC6

【解答】解：在8c上截取8N,使BN=BE,过点G作GH1.EF于点H,

■:BF平分NEBC,

：,/EBF=/CBF,

又VBE=BN,BF=BF,

:.△BEFW/\BNF(SAS),

:.EF=NF,/EFB=/NFB=45°,

：・NEFN=90°,

AZEFD+ZNFC=90c,,

又•：/EFD+NFED=90°,

4NFC=NFED,

又・・・NO=NNCF=90°,

:.4NFg/\FED(AAS),

:.ED=FC=2,

在Rt△尸EO中，DF=l,

・•・EF=y/ED2+DF2=Vl2+22=V5,

在RtAEDC中，EC=>/DE2+DC2=V22+32=V13,

设BN=BE=x,作GQ_L8E于Q,GPLBC于P.

在RtAAZ？E中,AB2+AE2=BE2,

A32+(x-1)2=;r,

解得x=5,

•.”G平分GQA.BE,GP_L〃C,

:・GQ=GP,

・SABEG_]BEGQ_EG

SHBGC~\BCGPGC'

5

•.•_EG~~-__BE—-—，

GCBC6

：.EG=-EC=—,

故答案为警.

【题型2由矩形的性质求角的度数】

【例2】（2022春•深水区期中）如图，在矩形ABC。中，AC、3。交于点O,OEJ_AC于点E,ZA0D=

110°,则/CDE大小是（）

D

A.55°B.40°C.35°D.20°

【分析】由矩形的性质得出OC=O。，得出NOOC=NOCD=55°,由直角三角形的性质求出NODE=

2。°,即可得出答案.

【解答】解：•・•四边形ABC。是矩形，

AZ4DC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：,OC=OD,

：.NODC=NOCD,

VZAOD=\\0°,

AZDO£=70°,ZODC=ZOCD=^(180°-70°)=55°,

VDEIAC,

；・/ODE=900-NDOE=20’,

:・NCDE=NODC-NODE=55°-20°=35°；

故选：C.

【变式2-1](2022•武昌区期末)如图，把一张矩形纸片沿对角线折善，如果量得N£1W=22',贝UN4W

【分析】由N/7)B=9()。-NBDC.根据已知条件易求N8OC的度数.

【解答】解：VZ£DF=22°,ZADC=9()°,

AZEDC=112°.

：.ZBDC=56°.

・・・NFQ8=90°-ZBDC=34C.

故选:B.

【变式2-2］（2022春•江夏区期中）如图，矩形/WCQ中，A6=2,AQ=1,点M在边QC上，若AM平

分NQM3,则N4W。的大小是（)

C.75°D.30°

【分析】由矩形的性质和角平分线定义证出/R4M=N4MB,得出BM=AB=2,因此BC=/“，由直

角三角形的性质得出N3MC=30°,即可得出答案.

【解答】解：•・•四边形A8C。是矩形

AZD=ZC=90o,AD=BC=\,AB//CD,

：.ZBAM=ZAMD,

••・AM平分NDM8,

ZAMD=ZAMB,

：,BM=AB=2,

，BC=-BM.

2

：.ZBMC=30Q,

：.ZAMD=ZAMB=-（1800・30°）=75°；

2

故选：c.

【变式2-3］（2022春♦英旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形4BC。的形状，

并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABC。的最大内角的大小是150°.

【分析】过。作OELW于点E,根据面枳的关系可以得到其。=2。£,则ND4E=30"，再根据平行四

边形的性质即可求解.

【解答】解：如图，过。作OE_LA8于点E,

•・•矩形的面积=A8・5F=2S平行四边段8°=243・。£

:・BF=2DE,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,AD=BC,

・・・ND4E+N48C=180°,

•:BF=BC,

,AD=BF=2DE,

：.ZDAE=3O0,

・・・/A8C=18()°-NQAE=150°,

即平行四边形A8CQ的最大内角的大小是150°,

故答案为：150°.

【题型3由矩形的性质求面积】

【例3】(2022春•浦东新区期末)我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩

形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10。〃，则矩形的面积为25国c〃形

【分析】根据“和谐矩形”的性质求出NADB=30°,由含30°角的直角三角形的性质求出AB、4。的

长，即可得出答案.

【解答】解：•・•四边形ABCD是“和谐矩形”，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD=\(),/8八£>=9(『，ZCAD：NZMC=I：2,

：.OA=OD,NC4O=30°,N8AC=60°,

AZADB=ZCAD=3Qa,

,\AI3=沏=5,AD=WAB=5W,

・•・矩形ABC。的面积=ABXAD=5X5V5=25VS(cm2)；

故答案为：25Vs.

【变式3-1]（2022•成都）如图，过矩形ABC。的对•角线8。上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,

那么图中矩形的面面S与矩形OCNK的面积S2的大小关系是$=S?；（填或“V”

或“=”）

【分析】根据矩形的性质，可知△A8O的面积等的面积，△M8K的面积等广△QK8的面积，

△PKD的面积等于△'£＞长的面积，再根据等量关系即可求解.

【解答】解：•・•四边形46co是矩形，四边形M8QK是矩形，四边形PKNQ是矩形，

•••△A8O的面积=Z\CD3的面积，△A/8K的面积=Z\QK3的面积，△PKD的面积=4N0K的面枳，

/.AABD的面积-△M8K的面积-4PKD的面积=Z\CO8的面积-△QKB的面枳=4NDK的面积，

Si=S?.

故答案为$=S2.

【变式3-2]（2022春•成都期末）如图，点E是矩形4BC。边AD上一动点，连接BE,以BE边作矩形

BEFG,使得FG始终经过点C.若矩形ABCD的面积为Si，矩形BEFG的面积为$2,则g与隧的大小

关系是（）

A.5)<52B.S|=S2C.5|>52D.不确定

【分析】连接CE，根据矩形ABC。和矩形BEFG都与三角形CBE同底等高，进而可以解决问题.

【解答】解：如图，连接CE,

•・•矩形A8CO的面积为矩形BMG的面枳为为

*»S\=2SZSC«£»S2=2SziC8£，

则S1=S2・

故选:B.

【变式3-3］（2022春•九龙坡区校级期中）已知：矩形A8CQ中，延长8C至E,使BE=B。,尸为。E的

中点，连接4F、CF.

（1）求证：CF_L4F；

（2）若A8=10c，〃，BC=16（7»,求尸的面积.

【分析】（1）连接8尸，根据矩形的性质可得AQ=8C,/4。。=/8。。=90°,根据直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半可得CF=DF,根据等边对等角可得NCO"=乙DCF、然后求出NAD〃=Z0CF,

利用“边角边”证明AA。产和ABC尸全等，根据全等三角形对应角相等可得N4/再根据等

展三角形三线合一可得BF_LOE,然后求出/AFC=90°,即可得证；

（2）根据全等三角形对应边上的高相等可得点尸到A。、8c的距离相等，都是AB的一半，然后利用三

角形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】（1）证明：如图，连接4F,在矩形A3C。中，AD=BC,NADC=NBCD=90：

:尸为。E的中点，

:.CF=DF,

・•・ZCDF=/DCF,

・•・ZADC+ZCDF=/BCD+/DCF,

即NA。/=NBC凡

在△4。尸和△BC77中，

AD=BC

^ADF=乙BCF,

CF=DF

:.△ADF出XBCF（SAS）,

ZAFD=NBFC,

■:BE=BD,尸为DE的中点,

:.BFLDE,

・•・ZAFC=ZAFB+ZBFC=NAP3+NAPO=90°，

:.CFLAF；

(2)解：♦:△ADF94BCF,

・•・点不到AD、BC的距离相等,

'：AB=10cm,

・•・点r到AD的距离为工X1O=5C7H,

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】

【例4】（2022春•潮南区期中）如图，在矩形COEO中，点。的坐标是（1,3）,则CE的长是（）

A.3B.V3C.V5D.V10

【分析】连接OQ，过。作。F_Lx轴于尸，由矩形的性质得CE=O。，再由点。的坐标得。尸=1,DF

=3,然后由勾股定理求出OD的长，即可解决问题.

【解答】解：如图，连接O。，过。作。轴于E

•・•四边形C。。是矩形，

:,CE=OD,

•・•点。的坐标是（1,3）,

・・・0尸=1,DF=3,

：.OD=y/OF2+DF2=Vl2+32=710,

ACE=A410,

故选：D.

【变式4-1](2022春•任城区期末)定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三

角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系xQy中，矩形0ABe的边OA=3,OC=4,点M(2,

0),在边45存在点P,使得ACMP为“智慧三角形”，则点尸的坐标为()

C.(3,1)或(3,1)D.(3,1)或(3,1)或(3,3)

【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或/CMP=90°,设P(3,a),

则AP=a,BP=4-a；分两和情况：①若NCPM=90°,②若NCMP=90°,根据勾股定理分别求出

CP\CM?,并根据图形列出关于。的方程，解得”的道，则可得答案.

【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,

・••设P(3,a),则BP=4-a；

①若NCPM=9（）°,在RtZ\BCP中，由勾股定理得：

CP2=BP2+BC2=（4-fl）2+9,

任为△"心中，由勾股定理得：

,必产="不+人"=1+〃2,

在RtZXMPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=i+a2+（4-a）2+9=2a2-8t/+26,

乂CM2=OM2+OC2=4+16=20,

Ma2--84+26=2（）,

解得：a=3或a=l,

：.P（3,3）或（3,1）；

②若NCMP=90°,在Rt^BCP中，由勾股定理得：

CP2=BP2+BC2=（4-。）2十9,

在RtZXM以中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=\+a2,

VCM2=OA/2+OC2=20,

在RlZXMCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

・・・20+1+。2=（4-a）?+9,

解得：

：.P（3,-）.

2

综上，P（3,9或（3,1）或（3,3）.

故选：。.

【变式4-2］（2022•西平县模拟）已知在矩形ABCO中，AB=4,fiC=y,。为8c上一点，BO=p如图

所示，以8C所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点.

（1）若点M的坐标为（1,0）,如图1,以OM为一边作等按△OMP,使点P在矩形43CQ的一一边上,

则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4,0）,其他条件不变，如图2,那么符合条件的等腰三角形有

几个？求出所有符合条件的点〃的坐标.

【分析】（1）0M的长是1,小于矩形的宽，也小于0B的长，所以点P只能是0M的垂直平分线与4。

的交点；

（2）0M的长是4,等于矩形的宽，所以点P可以是过0、W的垂线与人。的交点，也可以是0M的垂

直平分线与A。的交点，又的长大于08的长，所以点户也可以在A4上；

【解答】解：（1）符合条件的等腰△OWP只有1个；

点P的坐标为尊4）；

（2）符合条件的等腰AOM尸有4个.

如图②，在△OPiM中，OP】=OM=4,

在RlZXOBPi中，B0=%

BP尸40Pl尸-OB?=一（今2=苧，

・•・/（二，叵）;

22

在RtZkOMP?中，OP2=OM=4,

・・・尸2（0,4）:

在△0MP3中，MP3=OP3，

・•・点P3在OM的垂直平分线上，

•・•OM=4,

:・P\（2,4）；

在Rt^OMP』中，0M=MP&=4,

・"4（4,4）:

【变式4-3］（2。22春•浦江县期中）如图，长方形0AAe中，。为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为

（4,0）,C点的坐标为（0,6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度

沿着C-BfA—O的路线移动（移动一周）.

（1）写出点4的坐标；

（2）当点。移动了4秒时，求出点。的坐标；

（3）在移动过程中，当的面积是10时，直接写出点P的坐标.

八

y

C----------

0Ax

【分析】（I）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可；

（2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标；

（3）分点。在OC上，在4C上，在A4上，在AO上四种恃况讨论，由三角形的面积公式可求点P坐

标.

【解答】解：（1）YA点的坐标为（4,0）,C点的坐标为（0,6）,

・・・OA=4,。。=6,

，点B（4,6）；

（2）•・•点P移动了4秒时的距离是2X4=8,

，点P的坐标为（2,6）；

（3）如图，

①当点P在0C上时，S/、O稗=gxOP|X4=10,

・•・OPi=5,

・,•点P(0,5)；

②当点。在8c上，S=BP=gXBP?X6=10,

・・.引＞2=学

••。2=4若号,

工点P(p6)；

③当点尸在上，S^P=^X«P3X4=10,

；.BP3=5,

.,."3=6-5=1,

：・点、P(4,1)；

④当点。在AO上，SMBP=：xOP*6=10,

・・.。〃4=/，

・•・点尸号,0).

综上，点P的坐标为(0,5)或(16)或(4,1)或常，0).

【知识点3矩形的判定方法】

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形;

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

【题型5矩形判定的条件】

【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形/WCQ为平行四边形,延长人。到E,使DE=AD,连接EB,

EC,OB,添加一个条件，不能使四边形OBC七成为矩形的是（）

A

A.AB=BEB.BE1DCC.NAQ8=90'D.CE1DE

【分析】先证四边形Q8CE为平行四边形，再由矩形的判定加菱形的判定进行解答即可.

【解答】解：•••四边形ABC。为平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC.

又・.・AD=OE,

：.DE//BC,jlDE=BC,

・•・四边形Q3CE为平行四边形，

A、•:AB=BE,DE=AD,

：,BDA.AE,

AZBDE=90°,

•••□O8CE为矩形，故本选项不符合题意；

B、•・•对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；

C、VZADB=90°,

・・・/£7用=90°,

・・・口。5。£为矩形，故本选项不符合题意；

D、VC£±D£,

AZCED=90°,

.•.口D8CE为矩形，故木选项不符合题意；

故选：B.

【变式5-1]（2022春•江油市期末）在四边形A8CO中，AC.8。交于点O,在下列条件中，不能判定四

边形A8C。为矩形的是（）

A.AO=CO,130=DO,/84。=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./bAD=/3CD,NA力C+/AC〃=180°,AC^-iiD

D.NH4Q=NA8C=9()°,AC=BD

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A.*：AO=CO,BO=DO,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

又・・・/84。=90°,

・•・平行四边形4BC。是矩形，故选项A不符合题意；

B、'：AB=CD,AD=BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

又・：AC=BD,

・•・平行四边形A4CO是矩形，放选项4不符合题意；

C、