高考数学复习：椭圆及其性质 专项训练（基础+重难点）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第41练椭圆及其性质（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.椭圆片+片=1的焦点坐标为（）

912

A.（±V3,0）B.（0,±V3）C.（±VH,o）D.（o,±VH）

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求c,并结合焦点所在位置分析判断.

【详解】由椭圆方程可知：/=12,"=9,且焦点在j轴上，

可得c=77■二庐=6,所以椭圆[+[=1的焦点坐标为

故选：B.

2.已知椭圆W+g-l（a>6>°）的离心率为也，则（）

ab2

A.a=2bB.3Q=46C.a2=2b2D.3a2=4b2

【答案】A

【分析】根据离心率的公式即可求解.

【详解】由£+4=1（。>6>0）可得离心率为£=且，又c2+〃=/,所以。=26,

aba2

故选：A

22

3.已知焦点在y轴上的椭圆上+匕=1的焦距为2,则用的值为（）

m4

A.V5B.V3C.5D.3

【答案】D

【分析】根据焦点的位置可得用的取值范围，结合焦距可求加的值.

【详解】因为焦点在了轴，故0<机<4,而焦距是2,故J4-加=1艮口加=3,

故选：D.

4.如果椭圆工+工=1上一点尸到焦点耳的距离等于6,那么点P到另一个焦点鸟的距离是（）.

10036

A.4B.14C.12D.8

【答案】B

【分析】根据椭圆标准方程确定。，再结合椭圆的定义可得答案.

【详解】椭圆工+匕=1中/=100,/=36,所以“=10,6=6

10036

由椭圆的定义可得|尸耳|+|尸阊=2。=20,又|尸耳26,所以|尸闾=14.

即点尸到另一个焦点鸟的距离是14.

故选：B.

5.若点M（X,y）满足方程,2+（了一2）2+/2+（了+2）2=12,则动点M的轨迹方程为（）

.x2y2x2y2y2x2y2x2

A.—+£-=1B.—+£-=1C.—+—=1D.^―+——=1

36323620363214416

【答案】C

【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.

【详解】因为动点”（x,V）满足关系式Jd+gy++Q+2）2=[2,

所以该等式表示点M（x，H到两个定点斗（0,-2）,F2（0,2）的距离的和为12,

而闺闾=4<12,即动点M的轨迹是以吃芯为焦点的椭圆，

且2〃=12,即〃=6,又c=2,〃=/一，=36—4=32,

22

所以动点M的轨迹方程为匕+土=1.

3632

故选：C.

6.已知（0,-4）是椭圆3fc^+02=1的一个焦点，则实数上=（）

1

A.6B.一

6

C.24D.—

24

【答案】D

【分析】把椭圆方程化成标准形式，再利用给定的焦点坐标列式计算作答.

22

工J—11

【详解】椭圆3发+02=1化为：—+-显然上>0,有;>白，

———k3k

3kk

而椭圆的一个焦点为（0，-4）,因此:一）=4?,所以左=J.

故选：D

22

7.已知椭圆上F+工=1的焦点在x轴上，则实数〃，的取值范围是（）

5-mm-\

A.（1,+<»）B.（1,A/5）C.（1,5）D.（1,2）

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦点在x轴上列出对应的不等式即可得出答案.

【详解】由题意得，5-ZH2>7«-1>0,解得1（加<2.

故选:D.

8.已知椭圆C:]+，=l的左、右焦点分别为耳£，点尸在椭圆C上，则△声;心的周长为（）

A.14B.16C.18D.10+2历

【答案】B

【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的A〜利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.

22

【详解】由今+3=1，得力=25万=16,即。=5,6=4,

2516

所以。2=/―/=25—16=9,即c=3.

由椭圆的定义知，|尸引+|尸阊=2"=10,出局=2c=6,

所以△尸与F2的周长为忸用+归用+闺局=10+6=16.

故选：B.

9.设椭圆q：t+/=l,。2：:+，=1（0<6<3）的离心率分别为G，“若电卡，贝”（）

A.1B.2C.V2D.V3

【答案】B

【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得人

故选：B

10.已知耳£为椭圆[+1=1的两个焦点，过大的直线交椭圆于N,8两点，若怩旬+因理=10,则|/即=

（）

A.8B.6C.4D.2

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.

2222

【详解】由土+匕=1,即匕+工=1,可得。=4,

916169

根据椭圆的定义闺旬+|04|+|48|+内同=4a=16,

所以M却=|与4|+寓邳=6.

故选：B.

22

11.直线＞=履+1与椭圆二+匕=1总有公共点，则加的取值范围是()

5m

A.(1,+8)B.(O,l)U(l,+«)c.[l,5)u(5,+«)D.(O,l)U(l,5)

【答案】C

【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.

A2[2

【详解】直线》=依+1过定点(o,i),只需该点落在椭圆内或椭圆上，.•.匕

5m

解得/又小/5,

故选：C.

22ZT

12.已知椭圆C：1r+£=1(°＞。＞0)的离心率6=学，短轴的右端点为3,河(1,0)为线段。8的中点,

则椭圆的标准方程为()

x2y2,0/y；

AA.——+—=1B.——+—=1

2448

2222

C.土+2=1D.二+2=1

81684

【答案】B

【分析】由点的坐标求得b,通过离心率求得。，即可求解椭圆方程.

【详解】因为河(1，0)为线段05的中点，且网”0),所以6=2,

又椭圆C的离心率6=走，所以£=，1一t=,1三=立,所以0=2后,

2a\a2\a22

所以椭圆C的标准方程为4+。=1.

48

故选:B.

fv2

13.椭圆石:、+\=1(。〉6〉0)的两焦点分别为与F2,A是椭圆E上一点，当△耳，耳的面积取得最大值

时,

^FXAF2=()

、71—7171c24

A.—B.—C.—D.——

6233

【答案】c

【分析】利用三角形面积公式得当点A位于椭圆的上下端点时，△片/月面积最大，再利用特殊角的三角函

数即可得到答案.

【详解】C=V4^3=1,所以闺闾=2C=2,

所以ARE=：x2x|浦=历|,则当,|最大时，△尸/心面积最大，

此时点A位于椭圆的上下端点，

则邛，因为4/0的目，所以4/0=?

TT

所以/月/月=§.

故选：C.

22

14.已知椭圆氏2+17=1（。>6>0）与直线了=6相交于4,2两点，O是坐标原点，如果A/03是等边

三角形，那么椭圆£的离心率等于（）

A

V43

B.

cD.V23

【答案】c

【分析】根据题意不妨设点B在第一象限，则B结合直线OB的斜率运算求解即可.

a）

y=by=b

【详解】联立方程y2x2»解得，,be9

x=±——

L2b2a

不妨设点B在第一象限，则8

b巴=也

由题意可知：OB的倾斜角是60。，则6cC

a

所以椭圆的离心率e=9=

a3

22

WO）与半椭圆方+1r=l（x<0）合成的曲线称作“果圆”（其中

如图所示,

其中点入谯,月是相应椭圆的焦点.若片工是边长为1的等边三角形，则Q,b的值分别为（)

A.——，1B.51

2

C.5,3D.5,4

【答案】A

【分析】由椭圆方程表示出两个椭圆的半焦距，通过解方程得a,b的值.

【详解】△熊耳工是边长为1的等边三角形，

22

则有玛|=ylb-c,\0F^=C=4^\OF2\=^-9

22

，6=1,.,.a2=b2+C1=1+—=—,得a.

442

故选：A.

2成=3艮0,若可，配，则C的离心

16.已知椭圆。的左右焦点分别为耳，F2,p,。为C上两点,

率为（）

A.之B.&C.叵D.叵

5555

【答案】D

【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.

［详解］设|丽|=3加,贝"弧|=2加,|所—3冽,|西|=2.-2加.忸0|=5加

在△P0片中得：（2a-3,"y+25W=（217-27w）2,即

因此匹卜勺，|国=9,|M|=2C,

在△尸片片中得：箓2+±/=竟，故17/=25C2,所以e=晅.

25255

故选：D

22

17.已知耳，耳分别是椭圆C：土+匕=1的左、右焦点，尸是椭圆C在第一象限内的一点，若尸耳，尸石,

94

则tan/P片《=()

A.1B.2C.—D.-

255

【答案】A

【分析】由椭圆的方程可得。，6的值，进而求出c的值，由椭圆的定义及勾股定理可得|咫|,|%|的值,

再求出/P耳B的正切值.

【详解】由椭圆的方程：+£=1可得。=3,b=2,所以稣及7牙=54=6，

设归用=.，则|P周=2a-r=6-r,由P在第一象限可得.>6—,即，>3,

因为尸耳_1尸耳，所以户+(6-4=(2c)2=20,

整理可得户-6r+8=0,

解得厂=4或2(舍)，

即卢周=4,|尸马=2,

所以在Rt△尸耳心中，tan/刊笆=留=。=；,

故选：A.

二、多选题

18.关于椭圆3x2+4/=12有以下结论，其中正确的有()

A.离心率为,B.长轴长是2g

C.焦距2D.焦点坐标为(TO),(1,0)

【答案】ACD

【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.

【详解】将椭圆方程化为标准方程为仁+片=1,

43

所以该椭圆的焦点在X轴上，焦点坐标为（-1,0）,（1,0）,故焦距为2,故C、D正确；

因为。=2所以长轴长是4,故B错误，

因为”=2,b=\/J,所以。=1,离心率e=£=[,故A正确.

故选：ACD

22

19.已知方程‘表示椭圆，下列说法正确的是（）

12-mm-4

A.加的取值范围为（4,12）B.若该椭圆的焦点在y轴上，则加e（8,12）

C.若机=6,则该椭圆的焦距为4D.若加=10,则该椭圆经过点（1,逝）

【答案】BC

【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.

fv2

【详解】A：因为方程」L_+^^=1表示椭圆，

12-mm-4

12-m＞0

所以,m-4＞0,解得4＜加＜12,且加。8,故A错误；

12-m。加一4

22

B:因为椭圆+^^=1的焦点在y轴上，

12-mm-4

所以加一4＞12—加＞0,解得8＜根＜12,故B正确；

22

C:若加=6,则椭圆方程为二+匕=1,

62

所以=〃一/=6一2=4,从而2c=4,故C正确；

22

D：若加=10,则椭圆方程为r土+乙v=1,

26

点（1,e）的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点（1,血），故D错误.

故选：BC.

20.已知M是椭圆C:=+匕=1上一点，耳耳是左、右焦点，下列选项中正确的是（）

42

A.椭圆的焦距为2B.椭圆的离心率e=Y2

2

C.|^|+|^|=4D.△儿阴心的面积的最大值是2

【答案】BCD

【分析】对于ABC,由椭圆的标准方程求得a,6,c,再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D,由椭圆

的几何性质与△町乙的面积公式即可判断.

22_________

【详解】对于A,因为椭圆。:1+彳-=1,所以知』=2/=J^,c=J海-1}=A/-2，

所以椭圆的焦距为2c=2近，故A错误；

对于B,椭圆的离心率为6=£=正，故B正确；

a2

对于C,由椭圆的定义可得|儿名|+|九里|=2.=4,故C正确；

对于D,设〃（％,兀），由椭圆的几何性质可知|比|Vb,

所以Lff内=/尸尸2|*0区，或xb=bc=拒X6=2,

即△幽旦的面积的最大值是2,故D正确.

故选：BCD.

21.已知片,且是椭圆£：二+兰=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则（）

43

A.点耳，耳在x轴上B.椭圆E的长轴长为4

C.椭圆£的离心率为gD.使得△月尸工为直角三角形的点P恰有6个

【答案】BC

【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A,B,C；结

合向量的坐标运算判断/耳儿牛2为锐角，根据椭圆对称性可判断D.

【详解】由题意氏上+片=1的长半轴长。=2,短半轴长6=焦半距c=l,

43

椭圆£：:+；=1的焦点在y轴上，A错误；

椭圆E的长轴长为2a=4,B正确；

「1

椭圆E的离心率为—=彳，C正确；

a2

椭圆的右顶点〃（若,0）,焦点£（0,T）,月（0,1）,

所以诋=（一△，一1）,标;=（一6;l）,cos西，近〉”•普1>

胸卜眼闻20

则〈砒，近〉40,鼻，即/型明为锐角，

故根据椭圆的对称性可知，使得△耳尸工为直角三角形的点P恰有4个（以月或区为直角），D错误.

故选：BC.

22.已知椭圆°：目+仁=1,片,8为C的左、右焦点，P为C上一点，且所，片凡，若尸耳交。点于点

42一

。，则（）

7T

A.△尸片。周长为8B.ZFtPF2<|

C.△例1面积为1D.寓

45

【答案】AD

【分析】根据椭圆方程，求出对应的上〜利用几何性质即可得出正确的选项

【详解】由题意，在椭圆C：£+片=1中，a=2,b=c=也，不妨设尸在x轴上方,

则尸卜0,l),p6|=l,p^|=2q_pK|=3,cosZ^=!<1,

所以/耳尸石>60。，故B错;

△P耳。的周长为4a=8,A正确；

设|巴。|=%闺。=4一机,

在△尸大。中，闺可+|P0『一？E抖।p。।.；=打。j

13

得1+（加+3）2-2x1x（加+3）x—=（4-m）2=>m=—,

17

所以|耳。|=二，D正确；

”』=孑*，

所以S△绮i=Jx；X2A/2X1=y-，

故c不正确，

故选：AD.

23.设椭圆C：［+/=l的左、右焦点分别为耳，F2,尸是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（）

A.以线段4巴为直径的圆与直线x-y-亚=0相切

B.△尸耳与面积的最大值为亚

C.|尸耳|+|尸居|=2-

D.离心率0=变

2

【答案】ACD

【分析】由题可得。=也*=1"=1,然后结合条件逐项分析即得.

【详解】由椭圆C：J+y2=l可得，a=42,b=l,c=l,

所以线段片工为直径的圆的方程为V+V=1,圆心为（0,0）,半径为I,

所以线段耳巴为直径的圆到直线x-y-亚=0的距离为卷=1,故A正确;

由题可得△尸片工面积的最大值为:x2xl=l,故B错误;

所以I郎|+|尸周=方=2近，故C正确;

椭圆的离心率为6=正，故D正确.

2

故选：ACD.

三、填空题

24.写出一个焦距为3的椭圆的标准方程：.

工+广-1

【答案】T+T-1（答案不唯一）

3

Q

【分析】由任取一个。值，求出相应的人值，写出标准方程即可.

4

aQ4

【详解】由题意2c=3,即c=：,又/-例如/=3,则/=；,

443

1

标准方程可为江了++4匕-1.

3

22

xy_1

故答案为：T+T=i.（答案不唯一）

3

25.在平面直角坐标系中，点尸到点4（-3,0）、鸟（3,0）的距离之和为10,则点尸的轨迹方程是

【答案】fr3

【分析】依题意可得点尸为以点耳、与为焦点的椭圆，即可求出。、c、b,从而得到椭圆方程.

【详解】因为点p到点片（-3,0）、巴（3,0）的距离之和为10,

即归耳|+|尸闻=10＞国阊=6,所以点尸的轨迹为以点耳（-3,0）、6（3,0）为焦点的椭圆,

且c=3,。=5,所以6=卡/=4,所以椭圆方程为《+《=1.

2516

故答案为：三+2=1

2516

22万

26.已知椭圆1r+%=l（a＞b＞0）的离心率为三，则长轴与短轴的比值为.

【答案】6

【分析】根据。,6,。间的关系知e=£=Ji^,再根据条件即可求出结果.

【详解】因为椭圆[+[=1（。＞6＞0）的离心率为虫，所以e==①,得到2=1,所以长

a2b22a\cr2a2

轴与短轴的比值为VL

故答案为：血.

27.若椭圆c：江+芷=1的离心率为逅，则椭圆C的长轴长为_________.

m23

【答案】2次或2后

【分析】根据题意，分类讨论加＞2和0＜加＜2两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.

【详解】因为椭圆己=1的离心率为逅，易知〃。0,

m23

22

当冽＞2时，椭圆焦点在％轴上，a=m,b=29

所以。=匕2=9,解得机=6,则°=灰，所以椭圆的长轴长为2#.

am9

当0＜机＜2时，椭圆焦点在y轴上，a2=2,b2=m,

所以＜=少=9,得〃7=3,满足题意，

a293

此时a=行，所以椭圆的长轴长为2vL

故答案为：2次或2vL

28.已知N（2,6）是椭圆三+匕=1上一点，则离心率0=____.

m4

【答案】显

2

【分析】将点4（2,加）代入椭圆的方程，求得冽=8,结合离心率的定义，即可求解.

_224222

【详解】因为N（2,&）是椭圆上+匕=1上一点，可得上+：=1,解得机=8,即二+二=1,

m4m484

所以椭圆的离心率为6=£=y>=省.

a2V22

故答案为：叵.

2

29.椭圆工+己=1的内接正方形的周长为_________.

916

96

【答案】y

【分析】根据椭圆以及正方形的对称性可设一个顶点为（也加），代入椭圆方程即可求解加，进而可求周长.

【详解】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为（加,加），

贝!］竺1+尤=1="=乜，所以周长为8根=电，

91655

30.一椭圆的短半轴长是2行，离心率是g，焦点为片,8，弦N3过片，则的周长为.

【答案】12

【分析】由椭圆的离心率和“，仇c的关系求出根据椭圆的定义可得4/88的周长为4%即可得出答案.

11

【详解】因为椭圆的短半轴长是2行，所以6=2及.离心率是e=9r=1所以c=：a.

a33

由=/+（?可得。2=9,即a=3.

根据椭圆的定义|朗|+|盟|=2a,忸用+忸阊=2%

可得△ABF?的周长为4〃=3x4=12.

故答案为：12.

22

31.已知瓦片分别是双曲线C东十=1但叫的左右焦点，P是C上的一点，且阀|=2*=16,则

△Pg的周长是.

【答案】34

【分析】由双曲线定义可得。=4,再利用a,b,c之间的关系求得。=5,从而得到所求周长.

【详解】因为阀|=2|尸段=16,所以附|=16,|尸闾=8,

故图一|尸周=16-8=8=2,则a=4,

又/=9,故C2=/+/=25,贝()C=5,闺闾=2C=10,

所以△理居的周长为归国+|尸闾+寓阊=16+8+10=34.

故答案为：34.

32.已知椭圆。:不+}=1(°>6>0),厂是它的右焦点，A是它的左顶点，尸为直线x=上一点，“PF

是底角为30。的等腰三角形，则C的离心率为.

【答案】|

【分析】根据A/PP是底角为30。的等腰三角形，推出NPEc=60。，由此得到。,c的关系式，可得离心率.

【详解】由题意可知：ZPAF=ZAPF=30°,PF=AF=a+c,

ZPFx=60°,**•PF=2x^^a-c^=^a-2c,

・53c1

••。+。=—a—2c,・・5c——a,c————.

22a2

故答案为：y.

33.椭圆=+口=1(。〉6〉0)的四个顶点43CQ构成菱形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率

ab

e=.

【答案】YL1

2

【分析】由题设确定内切圆半径，利用等面积法列椭圆参数的齐次方程，进而求离心率.

【详解】由题设，内切圆半径为0=行了，故;ab=；c•户手，

所以/62=/‘2+62,2,贝！）04一3/02+°4=0,Bp/_3e2+i=0,

所以02=21,(e2=21>l舍)，故0=如二，

222

故答案为：好」.

2

22

34.已知耳耳分别为椭圆三+与=1(〃>6>0)的左、右焦点，点尸在椭圆上，APOF?(O为坐标原点)是

面积为g的正三角形，则此椭圆的方程为

22

【答案】本—'

【分析】不妨设点P位于第一象限，且与(G0)，由题意得到302=6,解得。=2,结合椭圆的定义，求

4

得a=l+6,得至同2=26，即可求得椭圆的方程.

【详解】不妨设点P位于第一象限，且乙(。,0),

因为APOE是面积为百的正三角形，可得且c2=VL解得c=2,

4

所以P(l,6),片(-2,0),耳(2,0),

由椭圆的定义得2°=|尸引+|尸网=^(1+2)2+[^-0)+“-2j+(Co户2+2寸，

所以Q=1+V3，贝!I/=a?-C?=2^/3，

22

所以椭圆的标准方程为"+上尸=1.

4+2V32V3

x22

故答案为：」^+上v尸=1.

4+273273

35.椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为1:4,短轴长为8,则椭圆的标准方程

为_____________________

【答案】

【分析】根据椭圆的简单几何性质即可求解4c的值，即可求解.

【详解】设椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,短轴长为助，

所以

CL-CI

----二二D3。=5。，又26=8nb=4,结合/=62+C2可得。=5,c=3,

a+c4

故椭圆方程为。]=1或（+]=1,

故答案为：高+2=1或匕+L=i

25162516

36.设耳和耳为椭圆4x2+2/=1的两个焦点，点/>在椭圆上，且满足|。刃=；,则△公尸工的面积

是.

【答案】y

【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出。、b、C,由|。尸|=；,可得点P为短轴顶点，最后由面积公

式计算可得.

y2।%2_161f---------1

【详解】椭圆4,+2/=1,即丁+丁一\所以b=-f。=加二

i422

因为|OP|=；,所以点尸为短轴顶点，所以Sq%=；x2cxb=；x2x；x；=：.

故答案为：—

4

37.已知是等边三角形，M、N分别是边4々和/居的中点.若椭圆以耳、居为焦点，且经过“、N,

则椭圆的离心率等于.

【答案】V3-1

【分析】如图建立平面直角坐标系，设片6的边长为2,即可求出寓月|、|叫|、|明|,从而求出。、

即可求出离心率.

【详解】如图建立平面直角坐标系，

因为△4月乙是等边三角形，M.N分别是边4耳和/月的中点，

所以鸡设△/片耳的边长为2,

则闺闾=2c=2,即c=l,|^|=||^|=1,|防=>q_越「=5

^\NF2\+\NF]\=2a=43+i,所以.=与1,

e=3=1=6-1

所以椭圆的离心率aG+1.

2

故答案为：V3-1

22

38.已知椭圆C:土+匕=1的左、右两个顶点分别为/,2,点尸是椭圆C上异于/,2的任意一点，则直

43

线a，P3的斜率之积为.

【答案】—3

4

【分析】根据题意结合斜率公式分析运算.

【详解】由题意可得a=2,则/(-2,0),3(2,0),

设尸(%,%)卜"以)，则?+'=1,整理得M=_3(X[4),

可得直线PA,PB的斜率分别为怎/=,

%+2x0-2

3(君-4)

所以kPA-kPB=上-=-^—=—J~'

2

x0+2x0-2-4X0-44

3

故答案为：

4

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

22

1.已知椭圆版+亍=1的左，右两焦点为耳和玛，P为椭圆上一点，且|尸。|=2百，则|尸闻尸阊=()

A.8B.12C.16D.64

【答案】A

【分析】根据题干数据先分析出△两月为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算.

由题意得，a=4,b=2,c=J/“=班，于是户O|=26=|。£|=|。©,

即。为△尸耳耳的外心，以阳闾为直径的圆经过P,于是N取岑=90。，

iiii[x+y=2a=8

记归耳卜尤尸阊=了，根据椭圆定义和勾股定理：22_,

于是|刊讣|尸用=9=（X+y）2"（x2+J；2）=8.

故选：A

2.已知点耳（-1,0）,匕（1,0）,动点尸到直线x=3的距离为",国=也，则△产周鸟的周长为（）

d3

A.4B.6C.4A/3D.2百+2

【答案】D

【分析】设点P的坐标，代入距离公式化简得点P的轨迹方程，利用椭圆定义即可求解.

【详解】设尸（x,y）,则|尸&|=而二—=

因为%=0,所以（X；D2：2/=；,整理可得二+且=1,

即尸点的轨迹为椭圆且方程为£+己=1,

32

由椭圆定义知△用工的周长为2a+2c=2若+2.

故选：D

3.设椭圆C：：+/=1的左、右焦点分别为片，工，尸是。上的动点，则下列四个结论正确的个数（）

①|尸片|+|尸勾=2收;

②离心率

2

③△助与面积的最大值为亚；

④以线段片与为直径的圆与直线x+y-亚=0相切.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当P为椭圆短轴顶点时，△尸耳耳的面积取得最大值,

求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④.

【详解】对于①，由椭圆的定义可知|母;|+|尸尸21=2«=2立，故①正确；

对于②，由椭圆方程知0=也,6=13=1,

所以离心率e=£=3=g,故②错误；

a422

对于③，忸闾=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时，

△咫工的面积取得最大值，最大值为;-2c.b=c1=l,故③错误;

对于④，以线段内巴为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=l,

圆心到直线尤+y-&=0的距离为:

卜+0-闽桓

d=j,〒=1,

炉7FV2

即圆心到直线的距离等于半径，

所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-0=O相切,

故④正确.

故选：B.

22

4.已知椭圆E京+方=1(°>6>0)的右焦点为尸(4,0),过点尸的直线交椭圆于42两点，若”(1,-1),且

OA+OB^2OM，则E的方程为()

A%2y2_1

A.----1-----=1B-^+io=1

4832

22

C.二+匕=1D

248-六+『

【答案】C

【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解.

【详解】..•右焦点尸(4,0),.”2=从+16,

设由方+砺=2两可知M是N5的中点,

再+/=2,必+%=-2,

且*

两式相减得(演+2)，再-七)+=o,

ab

22

._必一^(Xj+x2)_2b2_b_0+1_；_1

AB22FM9

xx-x2/(%+%)-2aa4-13

a2=3b'=b2+16,b2=Sfa2=24,

22

故椭圆E方程为二+匕=1,

248

故选：C

5.已知点A,B是椭圆C:[+；=l上关于原点对称的两点，片，工分别是椭圆C的左、右焦点，若|"|=2,

则|即|=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】C

【分析】先证明四边形/片5工是平行四边形，再利用椭圆的定义求出|/巴±4即得解.

【详解】因为|。*=|。用,|。片|=|。力|,

所以四边形/片即是平行四边形.

所以|幽|=|典

由椭圆的定义得M工|=2、3-|阳|=6-2=4.

所以|明|=4.

\AF\=3\BF\,则C的离心率为()

【答案】A

【分析】设椭圆的左焦点为耳，由椭圆的对称性可得四边形⑷^片为矩形，再根据椭圆的定义求出|/用,|/尸|,

再利用勾股定理构造齐次式即可得解.

【详解】如图，设椭圆的左焦点为耳，

由椭圆的对称性可得M4|=忸可，忸耳|=\AF\,

所以四边形/总片为平行四边形，

又AF1BF,所以四边形/总片为矩形，所以/片，/尸，

，尸|=3忸尸得尸|=3|/周，

又M+M=2a,所以防号叫言，

在RtA/鹏中,由M&+W歼=附油，

得《+至=牝2,即至=402,所以£=啊，

442a4

即。的离心率为巫.

4

故选：A.

22

7.已知椭圆E：・+方=1（。＞6＞0）的右焦点为用，左顶点为4,若E上的点尸满足轴,

tanNPA匹=-,则£的离心率为（）

11

A.yB.-C.—D.一

2545

【答案】A

【分析】设出点鸟的坐标，求出I尸工1长,再利用给定的正切值列式计算作答.

X-C

A2A2

【详解】设1（。,0）,则直线尸月：尤=%由尤2V2＞得|川=一，即|尸工|=一，