空间向量与立体几何（单元重点综合测试）（解析版）-2024-2025学年高二数学复习（人教版选择性必修第一册）

第1章空间向量与立体几何（单元重点综合测试）

一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。

1.已知向量商=（2,-1,3）,5=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若万，方，工共面，则实数4=（）

【答案】D

【分析】利用空间向量共面定理进行求解.

【详解】若"b，共面，则存在实数%九使得八姐+历，

33

x=——

1=2x-y7

17

即（7,5"）=x（2,T3）+y（-l,4,—2）,即5=—x+4y,解得＜y=7.故选D.

A=3x-2y

。65

Z=—

7

2.已知向量商=（1,1,0）,5=（-1,0,2）,且切+B与2方。互相垂直，则上的值是（）

7

A.-B.2

5

C.-D.1

3

【答案】A

【分析】先利用空间向量的数量积及模长的坐标表示求出数，同,|同，再利用空间向量的数量积的运算律进

行求解.

【详解】因为商=（LL0）,=（-1,0,2）,所以小5=-1，\a\=y/2,|5|=V5,

因为依+B与2”方互相垂直，所以（屈+孙（2万—5）=0,即2申『+（2—4）落方一回=0,

即4左_（2_幻一5=0,解得左.故选A.

3.如图，在平行六面体ABCD-AB|GA中，E,尸分别在棱8月和。2上，且.记

—*——*—►—►41„BE

EF=xAB+yAD+zA\,右％+y+z=：,贝U^~二（）

DrCi

【答案】B

【分析】设器="由空间向量的线性运算可得而=-通+而+-由空间向量基本定理即可

求解.

BE____._._...____,.1,

【详解】设丁7=九，因为砺=丽+而+而+而=＜函一通+而+—而T

BBt2

=一49一而+而+；丽=一而+而+Q■一2）河,所以x=T,y=l,z=1-2.

因为x+y+z=：-；l=!,所以4=9.故选B

244

4.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖牖A-BCD中，ABJ_平面BCD,

BCLCD,S.AB=BC=CD,M为A。的中点，则异面直线BM与C。夹角的余弦值为（）

A.立B.@C.叵D.—

3434

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与异面直线夹角

的关系可以求得异面直线夹角的余弦值.

【详解】画出四面体A-3CD,建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.

解：四面体A-3CD是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示

建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

8(0,0,0),C(2,0,0),0(2,2,0),M(1,1,1)

两=(1,1,1),丽=(0,2,0)

丽•①2

cos〈BM,CD)=

|丽H可氐23

因为异面直线夹角的范围为画］,所以异面直线BM与。夹角的余弦值为《

故选C

5.已知矩形4BC。尸为平面ABC。外一点，且平面ABC。，加小分别为所,月。上的点,

~PM=2MC,~PN=ND,NM=xAB+yAD+zAP,则x+y+z=()

【答案】B

211

【分析】根据空间向量基本定理求出％=z=-：,求出答案.

366

【详解】因为两=2碇，丽=而，

所以加=而+而=—而+一定=一/一一AD+-AC一一AP

232233

1,9►1—►1__>9,2•1—►2—►1.1.

=一一AD+-AC一一AP=一一AD+-AB+-AD一一AP=-AB+-AD一一AP,

2362336366

乂211,乙2

i^x=-,y=-,z=--,故尤+y+z=；.

3663

故选B

6.空间内有三点尸（1,2,-3）,矶2,4,0）,F（0,4,2）,则点P到直线EE的距离为（）

A.72B.3亚C.73D.2布

【答案】D

【分析】分别求出而与厘，即可得丽.屋，司与陶，根据点尸到直线所的距离为

可求解.

【详解】因为访=（一2,0,2）,而=（1,2,3）,

所以灰质=lx（-2）+2x0+3*2=4,

|EF|=,y（-2）2+02+22=2V2,

所以点尸到直线EF的距离为，而=2^/3.

故选:D.

7.已知正方体ABCO-aqGA的棱长为4,点石是棱CG的中点，动点尸在正方形A4,8出内（包括边界）

运动，且PR〃平面3DE,则PC长度的取值范围为（）

A.[5,6]B.[40,6]

C.D.[2A/5,6]

【答案】C

【分析】以。为原点，以丽，DC，西的方向为无，y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D-孙z.取AA的中点为“,连接乌H.证明出点P只能在线段〃用上运动.设丽=XHBx（。W4W1）

表示出方=（4,4彳-4,2+24）,求出模长，利用二次函数求出PC长度的取值范围.

【详解】以。为原点，以丽，DC，西的方向为无，y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz.则£＞（0,0,0）,A（4,0,0）,3（440）,C（0,4,0）,〃（0,0,4）,4（4,0,4）,4（4,4,4）,q（0,44）,矶0,4,2）.

取AA的中点为8,连接用“，D{H.

在正方体ABCO-A/CQ中，BBI=DRRBBJ/DD「所以四边形班QQ为平行四边形，所以BD〃&R.

又BRu面H2Q,3£)a面HBR,

所以应＞〃面

同理可证：DE//面HBiR.

又DBcDE=D,所以平面瓦。户〃平面3DE.

因为尸口〃平面区DE,所以点P只能在线段HB］上运动.易知“(4,0,2),设丽=斯瓦(0W4W1),

丽=(0,4,2),则而=(0,42,24),赤=两+而=(4,0,2)+(0,4/L,2X)=(4,4X,2+2X),

在=加一反=(4,442+24)—(0,4,0)=(4,44—4,2+24),

网=16+16(2-+4(X+1)2=20%-242+36.

当2=(时，同2取得最小值理；当％=0时，冏2取得最大值36.

故PC长度的取值范围为用,6.

故选C

【点睛】立体几何求最值的方法有两类：

(1)几何法：利用几何图形求最值；

(2)代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

8.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC1BC,AC=2,BC=1,M=2,点。在棱AC上，点E在棱

BB上,给出下列三个结论:

①三棱锥的体积的最大值为g;

②AtD+DB的最小值为0+石；

③点。到直线GE的距离的最小值为平.

其中所有正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将AABC翻折到与矩形ACGA共面时连接43交AC于点。，此

时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.

【详解】在直三棱柱ABC-AB©中BB\±平面ABC,

对于①：因为点E在棱B片上24=招=2,所以BEe[0,2],又/_秒°，

又ACLBC,AC=2,8c=1,点。在棱AC上，所以ADe[0,2],凡谢=：A。-8C=gA£>«0,1],

12

所以旌一加=38£邑M"4耳，当且仅当。在C点、E在用点时取等号，故①正确；

对于②：如图将“1BC翻折到与矩形ACQA共面时连接\B交AC于点D,此时4。+DB取得最小值，

因为AC]=CG=2,BC=I,所以BC1=3,所以”=JAU+CF=/,

即4。+。8的最小值为巫，故②错误;

4G

对于③：如图建立空间直角坐标系，设。（a,o,o）,ae[o,2],E（0,l,c）,ce[0,2],

G(0,0,2),

所以空=®0,—2）,乖=（0,1,c—2）,

(___

CDQE-2(c-2)

则点。到直线CE的距离d=/+4—

当c=2时d=Ja，+4>2»

2111>50<——:—<—

当0〈c<2时0<(c-2)44,1+尸7，，则i5,

^，(。-2)

所以当取最大值q,且/=o时心„=口^=与

（0一2）+15V55

即当。在C点E在8点时点。到直线C{E的距离的最小值为W,故③正确;

故选c

二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选

错的不得分。

9.已知向量2=(4,-2,-4)&=(6,-3,2),则下列结论不正确的是()

A.a+Z?=(10,—5,_2)B.a—b=(2,—1,6)

C.a-b=10D.|a|=6

【答案】BC

【分析】利用向量坐标运算法则直接求解.

【详解】解：向量Z=(4,-2,Y),)=(6,-3,2),

a+b=(10,-5,-2),故A正确；

a-b=(-2,1,-6),故B错误；

0.5=24+6-8=22,故C错误；

|a|=V16+4+16=6,故。正确.

故选BC.

10.下列说法错误的是()

A.若空间向量；〃力，则存在唯一的实数4,使得石=几£

—.3.1—.1—.

B.A,B,C三点不共线，空间中任意点O,^OP=--OA+-OB+-OC,则P,A,B,C四点共面

488

C.a=(x,2,l),b=(4,-2+x,x),£与石夹角为钝角，则x的取值范围是「巴力

D.若｛况，砺，反｝是空间的一个基底，则。，A,B,C四点共面，但不共线

【答案】ACD

【分析】根据空间向量平行、空间点共面、空间向量夹角、基底等知识确定正确选项.

【详解】A选项，若£是零向量，B是非零向量，则；加，但不存在实数2,使得7痛，A选项错误.

B选项，0P=-0A+-0B+-0C=-0A+-0B+\l---^-\0C,

48848(48)

--3―-1—.

CP^-CA+-CB,所以P,A,B,C四点共面，B选项正确.

48

C选项，当x=-2时，Z=(—2,2,l),B=(4,T,—2),B=—2£,Z与否夹角为兀，C选项错误.

D选项，如下图所示三棱锥ABC,｛况,赤，前｝是空间的一个基底，但QA,B,C不共面，D选项错误.

故选ACD

11.如图，正方体48。-4与£旦的棱长为1,E是。2的中点，则()

A.直线8。〃平面42。B.BjC1BD｛

C.三棱锥G-BCE的体积为g

D.异面直线与3。所成的角为60。

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可;

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，4(0,0,0),*1,0,0),C(l,l,0),£)(0,1,0),A(°，°，l)，耳。，。，1)，

G(1,1,1),E(O/，£|，

B^=(O,l,-l),=(-1,1,1),=(-1,1,0),珂=(-1,0,1)

所以麻•西=-lx0+lxl+(-l)xl=0,即麻，西，所以用CJLB2，故B正确；

^C.BD=-lxO+lxl+(-l)xO=l,|瓯=后，BD=y/2,

n鸵•丽1(万］„

设异面直线BC与所成的角为e,则cose=扇.丽=5,又。€［。，万］,所以。=\,故D正确；

言:，即—x+y=0一,、

设平面A3。的法向量为3=(x,y,z),则X+Z.0,取”=。，1，1），

—X十Z—U

则方•%=0xl+lxl+lx(-l)=0,即万，束，又直线4c0平面AB3,所以直线4C〃平面故A

正确;

故错误;

KC|—O„|rCEc=VOB[—Cc|CrcE=3-B,iCi1-S△Ajfe,wCE=3-xlx-2xlxl=-6/,C"i，/、,

故选ABD

【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.

12..如图，在菱形ABCD中，42=逑,/54。=60。，沿对角线8。将△回£＞折起，使点A,C之间的距

3

离为2近，若P,Q分别为直线上的动点，则下列说法正确的是()

A.无论P运动到哪，NAPD都是锐角

B.线段尸。的最小值为夜

C.平面ABD_L平面3cD

D.当P,Q分别为线段的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为迈

【答案】BCD

【分析】设8。的中点为。，连接AO,CO,建立空间直角坐标系，运用空间向量作有关计算.

【详解】取的中点。，连接O4OC,由题意可知：OA=OC=2,

因为OV+OC=AC?,所以O4_LOC,

又易知OALaZOC1.3O,

因为04_1_0。,04_13£),0。门8。=0,

所以平面3DC,

因为。4u平面ABD,

所以平面ABD_L平面比>C,故C正确，当P点与。点重合时，ZAPD=90,A错误;

以。为原点，OB,OC,OA分别为羽y,z轴建立坐标系，

则彳¥，O,O]C(O,2,O),A(O,O,2),"-¥，O,O],

设P(a,O,O),Q(x,y,z),由丽=；lC5得，Q(0,2-2%,2/l),

|=J/+(2一2X)2+(22)2=卜+8,一J+2,

当。=0"=g时，I尸。1mln=0,故B正确；

当P，Q分别为线段82C4的中点时，

、

网0,0,0),。(0』,1),而=(0,1,1),而=|<-2子/3,0,-2,

设P。与AQ所成的角为

PQAD

则cos8=;__

PQ[\AD

所以P2与9所成角的余弦值为逅，故D正确;

4

故选BCD.

三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。

13.已知向量3=(2,0,1)为平面a的法向量，点A(-l,2,l)在a内，则点尸(1,2,2)到平面a的距离

为.

【答案】x/5

【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解.

【详解】解：言=(-2,0,-D,点P到平面。的距离为臂罩=以塔n=6.

故答案为：V5.

14.已知向量£=(0,-2,2),向量另=(n,3,1),则向量£在向量B方向上的投影为.

【答案】-1

【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.

【详解】因为2=(0,-2,2),B=(6,3,1),

所以=0义&+(—2)x3+2xl=T,同=20,忖=4,

/一八HIct'ba-b—4

所以向量£在石方向上的投影数量为|4＜吗。，6)邯卜丽=M=7=T.

故答案为：-1.

15.A(l,-1,3),8(702)为空间直角坐标系中的两个点，而=(2",〃)，若正〃屈，则2+〃=.

【答案】0

【分析】由向量的平行公式小历，则|=焉，可以求出而，即可得到2+〃的值.

【详解】由A.B的点坐标可得现=(6,1,-1),因为帚〃通，则所以彳+〃=0.

故答案为：0.

16.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面a内，三条棱A3,AC,AD都在平面1的同侧.若顶点8,C到

平面a的距离分别为下,百，则平面ABC与平面a所成锐二面角的余弦值为

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设平面。的一个法向量为(%，%，z°),设x°=l,

连结3C、CD、BD,则四面体A-BCD为直角四面体;

作平面a的法线AH,作于4，CQla于C『DD^la于Q；

连结A瓦，AC1，ADt,令AH=h,DA^a,DB=b,DC=c,由等体积可得

1_111,h2h2h2

刀=了+记+/'..」=/+”+7

222

令NBAB[=a,ZCACj=y,ZDADt=f3,可得sina+sin]3+sin/=1,设DD1=m,-：BBi=-Jl,CQ=#),

+O=L

解得"7=2；

71

贝Ua的法向量为ft=(x,%,z)=hcos--a,hcos/\,hcosIII={lisina,lisiny,/?s加?)，由

002J

,则平面ABC与平面a所成锐二面角的

四、综合题：共6题，共计70分。

17.（本题10分）如图，在空间四边形。15C中，2BD=DC，点E为AD的中点，设砺=£,OB=b,OC=c.

o

(1)试用向量Z，b-Z表示向量历；

(2)若6M=OC=3,OB=2,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求砺.高的值.

i1^13

【答案】(1)~^+~^+~c(2)--

2362

【解析】(1)根据向量的运算性质求出反即可；

(2)根据向量的运算性质代入计算即可.

【详解】(1)•1-2BD=DC,

—.1—1―.一1-

:.BD=-BC=-(OC-OB)=-(c~b)

—.—►—.—1—2—］一

^OD=OB+BD=b+-(c-b)=-b+-c,

・・,点E为AD的中点，

—.1—,—、11fl

^OE=-(OA+OD)=-a+-b+-c;

2236

9__

(2)由题意得益I=/,M・5=3,*5=3

^LAC=c-a

—►—►11一1

i^OEAC=(-a+-b+-c)\c-a)

236

1111一1二

=——a129+—c29+—d'C+—b'C——b'a

26333

11111O

=——x9+—x9+—x3x3xcos60o+—x3x2cos60o——x3x2cos60

26333

~~2,

18.(本题12分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条

坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°,

我们将这种坐标系称为“斜60。坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60。坐标系”下向量的斜60°

坐标：分别为“斜60。坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量为=应+炉+zE,

则为与有序实数组(羽乃z)相对应，称向量力的斜60。坐标为［x,y,z］,记作为=［尤,y,z］.

(1)若]=[1,2,3],^=[-1,1,2],求4+B的斜60°坐标;

（2）在平行六面体ABC。-ABCQ中,A8=AO=2,AA/=3,ZBAD=ZBAA,=ZDAA,=60°,如图，以｛戒AD,码

为基底建立“空间斜60。坐标系”.

①若屁=而一求向量前।的斜60。坐标；

②若丽=[2/0],且丽上离，求|丽"

【答案】（1）[。,3,5]

【分析】（1）根据所给定义可得4=；+27+3入b=-i+j+2k,再根据空间向量线性运算法则计算可得;

⑵设;,工后分别为与羽，而，而同方向的单位向量，贝U荏=2『，而=2],丽=3工，

①根据空间向量线性运算法则得到函=-荏+而+g福，即可得解；

②依题意招=27+2_7+3万、赤=2：+万旦至7.狗=0根据空间向量数量积的运算律得到方程，即可求

出乙再根据|阿=[②-21）2及向量数量积的运算律计算可得;

【详解】（1）解：由方=[1,2,3],&=[-1,1,2],知苕=：+2了+3±,b=-T+j+2k,

所以商+5=（『+2]+3后）+（—;+了+2/）=31+5后，

所以方+方=[0,3,5]；

（2）解：设：,了,，分别为与顺，而,M同方向的单位向量，

则通=2i,苞=2/，丽=3后，

@EDX^ADX-AE

心

=一27+2

一泻

②由题肃=通+通+阈=27+27+3后,

因为丽=[2j,0],所以说=2:+),

由丽,猬知夜.猬=(2f+2了+35卜(2f+切=0

^4i2+2tj2+（4+2t）T-j+6k-i+3tk-j=0

i3,

=>4+2?+（4+2z）--+3+y=0

=t=—2

则瓯=W|=J（2f—24

="4”+4F一8n

=A/4+4—4=2-

19.（本题12分）如图，AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=2,AE=BC=4.

⑴求证：8尸〃平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)若二面角尸的余弦值为g,求线段CF的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵9

呜

【分析】(1)以A为坐标原点，分别以旗，AD，女所在直线为无，y,z轴建立空间直角坐标系，求得A,

B,C,D,E的坐标，设CP=〃(〃>0),可得而是平面ADE的法向量，再求出而，由彷.丽=0,且

直线班V平面AUE，得肝〃平面ADE；

(2)求出在，再求出平面的法向量，利用向量夹角公式得到直线CE与平面跳汨所成角的正弦值；

(3)求出平面瓦)尸的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为g,列式求线段CF的长.

【详解】(1)证明：因为AE_L平面ABC。，AD,AB在平面A3CD内，

则AE_LAD,AE±AB,又AD_LAB,

故以A为坐标原点，分别以荏，AD，通所在直线为仁九z轴建立空间直角坐标系，

可得4（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,4,0）,£>（0,2,0）,£（0,0,4）.

设CF=/i①>0）,则/（2,4,〃）.

则丽=(2,0,0)是平面ADE的法向量，又而=(0,4,小,可得而.存=0.

又：直线BFZ平面ADE,8/〃平面ADE；

(2)依题意，BD=(-2,2,0),BE=(-2,0,4),CE=(-2,^,4).

设为=(x,y,z)为平面的法向量,

万•2。=-尤+y=0

则，令z=1,得为=（2,2,1）.

n-BE=-x+2z=0

CEn4

4

直线CE与平面3DE所成角的正弦值为g；

(3)设历=(%，M，zJ为平面3D尸的法向量,

m-JD=-x.+y.=0(4、

则一，取必=1,可得沆=U,-不，

m-BF=4%+/iZ]=0Ih)

由题意，k°s(成㈤|二讲^==:，

H何3x：田/3

解得力=”.经检验，符合题意....线段CF的长为学.

77

20.(本题12分)如图，四棱锥尸-ABC。的底面为正方形，底面ABCD设平面E4O与平面PBC的交

线为I.

(1)证明：△平面PDC；

(2)已知PZ)=A£)=1,。为/上的点，求PB与平面。。所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

3

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证得平面PDC,利用线面平行的判定定理以及性质定理，证

得AD1/1,从而得到平面PDC；

(2)方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点。(m,0,1),之后求得平

面QCO的法向量以及向量方的坐标，求得卜os＜云而＞|的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦

值的最大值.

【详解】(1)证明：

在正方形ABCD中，AD//BC,因为AD＜Z平面PBC,3Cu平面P8C,

所以AD〃平面P3C,又因为ADu平面PAD,平面上M>c平面P8C=/,

所以ADHI,因为在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是正方形，所以，DC，OC,且尸/〃平面ABCD,

所以_LPD,尸口，

因为。£>「尸£>=。，所以平面P£»C.

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

因为DP,ZM,DC两两垂直，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示：

因为PD=AD=1,设0(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

设Q(m,0,1),则有成=(0,1,0),DQ=(m,0,l),PB=,

设平面QCD的法向量为n=(x,y,z),

=0fy=0

，即,c，

=0[mjc+z=0

令光=1,则JZ=F,所以平面。。。的一个法向量为元=（1,0,-机），则

nPB_1+0+m

cos<n,PB>=

MMA/3-Vm2+1

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB

与平面QCD所成角的正弦值等于Icos<n,PB>|=B.J1+2ffl+m-

V3-Vm-+13V疗+i

=—+--Jl+4^^—-^+1=->当且仅当根=1时取等号，所以直线PB与平面所

3Vm~+l3Vm2+l33

成角的正弦值的最大值为逅.

3

［方法二］:定义法

如图2,因为/u平面PBC,Qwl,所以Qe平面P3C.

在平面PQC中，设尸BnQC=E.

在平面P4D中，过尸点作尸尸，。D,交。。于尸，连接收.

因为BD_L平面ABCRDCu平面A3C。，所以。C_LPD.

又由£>。_14),4。「尸£)=。尸£><=平面上40,ADu平面PAD,所以DCL平面PAD.又Pbu平面上4D,

所以DCJ.PR.又由尸尸_LQr>,QDnr>C=D,QDu平面QOC,。Cu平面Q。C,所以尸尸，平面QDC,从

而ZFEP即为PB与平面QCD所成角.

由VPQE与A3EC相似，得第=毁=?，可得p£=包.

EBBC1〃+1

［方法三］:等体积法

如图3,延长CB至G,使得BG=PQ,连接G。，GD,则尸5//0G,过G点作平面QOC,交平面

QOC于M,连接Q",则NGQM即为所求.

设=在三棱锥Q-OCG中，VQ_DCG=\pD^-CD{CB+BG}=y(1+x).

326

2

在三棱锥G—QDC中，Vrnnr=-GM-CD-QD=-GM--71+%.

卬3232

由VQ—DCG=VG—QDC得1(l+x)Jl+]2,

o32

解得6"=^=件3=二三6'

当且仅当x=l时等号成立.

在咫中，易求PBf=QG,所以直线尸8与平面QCO所成角的正弦值的最大值为

•A/2A/6

sinZ.MQG=—j==.

【整体点评】(2)方法一:根据题意建立空间直角坐标系,直线尸5与平面QCO所成角的正弦值即为平面QCQ

的法向量■与向量方的夹角的余弦值的绝对值，即卜OS＜，丽再根据基本不等式即可求出，是本题的

通性通法，也是最优解；

方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线尸8与平面。。所成角，再利用解三角形以及基本不等

式即可求出；

方法三：巧妙利用M//QG,将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QC。所成角的

正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出.

21.(本题12分)已知三棱柱ABC-AB©中，ZACS=90°,A.B1ACt,AC=A4(=4,BC=2.

(1)求证：平面AACG，平面ABC；

⑵若ZAAC=60。，在线段AC上是否存在一点P,使二面角2-4尸-C的平面角的余弦值为正？若存在,

4

确定点尸的位置；若不存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析；

___3__,

(2)存在，AP=-AC,理由见解析.

【分析】（1）连接AC,由线面垂直的判定有AG，平面ACB,根据线面垂直的性质AG，BC,最后根据

线面垂直、面面垂直的判定证结论.

（2）构建空间坐标系，假设存在Q=兄W1）使题设条件成立，进而求得面BAP、面4PC的法向

量，根据已知二面角余弦值及空间向量夹角的坐标表示列方程求4,即可判断存在性.

【详解】（I）由AC=AA知：四边形A4CC为菱形.

连接AC,则又A3LAC且AcnAB=A，

AC],平面ACB,BCu平面4CB,则AC|_LBC；

又ZACB=90。，即3CLAC,而ACcAG=A,

3cl平面AACG,而3Cu平面ABC,

平面AACC」平面ABC.

（2）以C为坐标原点，射线。、CB为x、y轴的正向，平面AACQ上过C且垂直于AC的直线为z轴,

AC（0,0,0）,3（020）,A（4,0,0）,A（2,0,2』）.

设在线段AC上存在一点尸，满足Q=2/（04241）,使二面角B-AJ-C的余弦值为手，则

Q=（-4X,0,0）,

所以而=丽+存=(4,—2,0)+(TX,0,0)=(4—44—2,0),下=9+丽=(2-4彳,0,-26).

设平面A41P的一个法向量为正=(占,％,zj,

由匕阿=(4-4”-24，取华,得讨2一2小；

加YP=(2—44)玉一2任］=0IV3)

平面4PC的一个法向量为为=(0,1,0).

|2-2川乖＞

小伍砌=品=43

由…+下、尸解得'或4="

3

因为0W4W1,则4=一.

4

故在线段AC上存在一点尸，满足/，使二面角B-A7-C的平面角的余弦值为3.

44

22.(本题12分)已知四棱锥T-ABCD的底面是平行四边形，平面a与直线A。，TA,TC分别交于点尸,

口APTQCR

Q,R且---=---=---=x点M在直线上，N为。。的中点，且直线MN〃平面a.

ADTA