第17讲 三角函数中ω的范围与最值问题（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第17讲三角函数中ω的范围与最值问题【人教A版2019】模块一模块一有关ω的范围与最值问题1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几个类型：(1)三角函数的单调性与ω的关系；(2)三角函数的对称性与ω的关系；(3)三角函数的最值与ω的关系；(4)三角函数的周期性与ω的关系；(5)三角函数的零点与ω的关系.2．利用三角函数的单调性求ω的解题策略对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.3．利用三角函数的对称性求ω的解题策略三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.4．利用三角函数的最值求ω的解题策略若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.5．利用三角函数的周期性求ω的解题策略若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.【题型1与单调性有关的ω的范围与最值问题】【例1.1】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数y=sin3x+φ0<φ<π在区间−2A．0,π6 B．π6,π4【解题思路】由整体法可得3x+φ∈−【解答过程】当x∈−2π因为0<φ<π，所以−2π所以−π2≤−2π3+φ故选:B．【例1.2】（2024·贵州·模拟预测）若函数f(x)=2cosωx+π3(ω>0)在0,A．13 B．23 C．1 【解题思路】先由x∈0,π2【解答过程】x∈0,π2函数f(x)=2cosωx+π所以π3<ωπ2+π3故选：D.【变式1.1】（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上单调递增，则A．0,12 B．(0,2) C．0,1【解题思路】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.【解答过程】函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在当x∈0,π4时，ωx∈0,π故选：D.【变式1.2】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数fx=sinωx−π3(ω>0)，若函数fA．1,2 B．1,116 C．53【解题思路】根据条件，利用y=sinx的性质，得到53【解答过程】由π2+2kπ又因为fx在π2,π上单调递减，所以得到53+4k≤ω≤116+2k,k∈Z，又令k=0，得到53故选：D.【题型2与对称性有关的ω的范围与最值问题】【例2.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数fx=sinωx+π6（ω>0）在区间A．1315,16C．715,23 D．7【解答过程】由函数fx=sin令ωx+π6=因为fx=sinωx+π显然当k=0时，x=π3ω为故π3ω+2即ω的取值范围是715故选：C.【例2.2】（24-25高三上·浙江·开学考试）函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)A．(π6,C．(π3,【解题思路】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【解答过程】由x∈(0,1)，得π6由f(x)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，得π2所以π3故选：C.【变式2.1】（23-24高一下·安徽·期末）函数fx=sinωx+π3(ω>0)A．23π,C．23π,【解题思路】利用正弦型函数的性质列出关于ω的不等式，求解即可．【解答过程】由x∈0,1，设t=ωx+π3，则t∈π3,ω+π3所以π<ω+π3故选：C.【变式2.2】（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>12，x∈R)，若A．(12,C．[59,【解题思路】由已知得12×2πω≥4π【解答过程】因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π所以12所以12又kπ+π2≤3ωπ又因12所以6k+518当k=1时，1118当k=2时，1718所以k∈11故选：D.【题型3与最值有关的ω的范围与最值问题】【例3.1】（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在(0,A．0,43 B．43,163【解题思路】根据给定条件，求出相位的范围，再利用余弦函数的性质列出不等式求解即得.【解答过程】当x∈(0,π4)由函数f(x)=cos(ωx+π得π<πω所以ω的取值范围是(10故选：D.【例3.2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,A．23,+∞ B．23,4【解题思路】由条件求出ωx+π【解答过程】因为0≤x<π2，所以π6由已知，3ω+1π所以ω>8所以ω的取值范围是83故选：C.【变式3.1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[−2π3,5A．(0,35] B．[12,【解题思路】根据给定条件，利用正弦函数的性质结合单调区间及最值情况，列出不等式求解即得.【解答过程】函数f(x)=sinωx(ω>0)，由−π2≤ωx≤π2，得−π2ω≤x≤π2ω由x∈[0,π]，得ωx∈[0,πω]，由f(x)在[0,π所以ω的取值范围是12故选：B.【变式3.2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=4cosωx−π12(ω>0),fx在区间A．1,4 B．4,7 C．7,13 D．13,+【解题思路】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【解答过程】当x∈0,π3时ωx−π12所以π3ω−π若π3ω−π12≥π，此时f代入可得π3若fx取不到最小值−4，则需满足π3ω−pω=4cosπ3所以ω=4或者ω∈74,134故选：C.【题型4与周期有关的ω的范围与最值问题】【例4.1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数A．34,1 C．23,1 【解题思路】由函数fx在区间π6,π4不单调，转化为在π令ωx+π3则函数fx对称轴方程为∵函数fx在区间π∴π6<k又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1故仅当k=0时，23故选：C.【例4.2】（2024·内蒙古赤峰·二模）记函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为T.若fT=A．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】先求出函数的周期T=2πω，再由fT=32可求出【解答过程】因为fx=sinωx+φω>0,0<φ<所以sinω⋅因为0<φ<π2，所以所以fx因为x=π6为所以fπ所以π6ω+π因为ω>0，所以ω的最小值为4，故选：C.【变式4.1】（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若fT=12，π9,0为f(x)图像的对称中心.则ω的最小值为32.【解题思路】首先表示出T【解答过程】解：因为fx=cosωx+φ，（所以最小正周期T=2πω又0<φ<π，所以φ=π3又x=π9为fx的零点，所以π因为ω>0，所以当k=0时ωmin故答案为：32【变式4.2】（2024·广东佛山·一模）已知函数fx=sinωx+φ（其中ω>0，φ<π2）.T为fx的最小正周期，且满足f13T【解题思路】根据题意可得x=512T为fx的一条对称轴，即可求得φ=−π【解答过程】由题意可得：fx的最小正周期T=∵f13T=f12T∴ω×512T+φ=又∵φ∈−π2故fx∵x∈0,π，则若函数fx在区间0,π上恰有2个极值点，则32故ω的取值范围是116故答案为：116【题型5与零点有关的ω的范围与最值问题】【例5.1】（2024·安徽·模拟预测）已知函数fx=cosωx−π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．【解题思路】先求出ωπ2+π3<ωx+π【解答过程】函数fx=cos当x∈π2,由题设可得存在整数k，使得ωπ解得−2而ω>0，故k≥0且k≤43，故当k=0时，−23≤ω≤23结合ω>0可得ω的取值范围为0,2故选：D．【例5.2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数fx=2cos2ωx+π3ω>0A．56,4C．712,13【解题思路】根据所给角的范围求出2ωx+π【解答过程】当x∈0,π时，因为fx在0,所以3π2≤2故选：C.【变式5.1】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,x=−π4为f(x)的零点，x=π4为f(x)图象的对称轴，且f(x)在0,π6【解题思路】根据对称性可得ω=2k+1,k∈Z，即可分别取ω=11和ω=9，代入求解φ【解答过程】f(x)=∵x=−π4为f(x)的零点,x=π∴π∵ω>0∴ω=2k+1,k∈Z+当ω=11时，f(x)=114π∵φ<∴f(x)=sin(11x−π4)当x∈(0,当ω=9时，f(x)=94π+φ=π∴f(x)=sin(9x+π4)当x∈(0,π6故选：B.【变式5.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数fx=cosωx−π3ω>0A．176,23C．173,23【解题思路】求出ωx−π3的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得.【解答过程】又因为fx在0,∴7π故选：B.【题型6ω的范围与最值问题：性质综合问题】【例6.1】（2024·湖南邵阳·三模）将函数fx=sinωxω>0的图象向右平移π3ω个单位长度后得到函数gx的图象，若gx在区间A．13,1∪43,73 【解题思路】先求出gx，结合gx在区间−π18,0上单调递增可得0<ω≤3，再由g【解答过程】由题意可得：gx因为gx在区间−因为x∈−π18所以−ωπ18−又gx在区间π所以x∈π3,结合0<ω≤3，所以−π所以这个零点可能为ωx−π3=0或ωx−当ωx−π3=0时，ω解得：ω∈1当ωx−π3=π时，解得：ω∈4当ωx−π3=2π时，2π<故选：A.【例6.2】（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数fx=2cosωx+π6ω>0在0,A．52,176 B．52,4【解题思路】由fx在0,π有且仅有2个极值点，可得2π<ωπ+π6≤3π，解得116【解答过程】因为fx在0,所以2π<ωπ因为fx在π又π3,11解得52≤ω≤4，所以故选：A．【变式6.1】（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3（ω>0）在区间0,5π6A．45,2 B．45,54【解题思路】由x范围求得ωx+π3的范围，结合整体思想转化为y=sint在【解答过程】当x∈0,5π因为f(x)在0,5所以π<5π6ω+π3≤2因为45<ω≤2，所以又因为f(x)在−2所以−π2≤−综上可得45故选：C.【变式6.2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期为T,fA．7π2,4π B．4π,【解题思路】根据题意得到曲线fx的一条对称轴为x=T6+T32【解答过程】因为fx=sin所以曲线fx的一条对称轴为x=所以f0设零点从小到大依次为x1,x有72T≤2<4T，即7π所以ω的取值范围是7π故选：A．一、单选题1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数fx=x−43cosωxω>0，存在常数a∈A．π12 B．π8 C．π4 D．π2【解题思路】求出fx+a，由题意确定a【解答过程】因为fx所以fx+a因为存在常数a∈R，fx+a为偶函数，则此时y=cos所以4ω=π2+k因为ω>0，所以ω的最小值为π8故选：B.2．（24-25高三上·山西吕梁·期中）当x∈0,2π时，曲线y=2sinωx−π3ω>0A．53,136 B．53,【解题思路】根据题意分别作出y=sinπ−x2【解答过程】由y=sinπ−x2对于fx=2sinωx−π令fx=0，得ωx−π3=kπ，由y=2sinωx−π3与由图知10π3ω≤2故选：B.

3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π3上存在最值，且在2π3,π上单调，则ω的取值范围是（）【解题思路】根据题意，利用三角函数的性质，得出2πω3−π6≥k【解答过程】当0<x<π3时，因为ω>0，则因为函数fx在0,π3上存在最值，可得ω当2π3<x<因为函数fx在2π3所以2πω3−π所以32k−1又因为ω>2，则43<k≤73，所以因此ω的取值范围是52故选：D．4．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数fx=sinωx+1ω>0在区间0,A．72,112 B．72,【解题思路】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【解答过程】因为0<x<π，所以0<ωx<ω令fx=sin所以72π<ω则ω的取值范围是72故选：B.5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=−π4是函数的一个零点，且x=π4是其图象的一条对称轴.若fx【解题思路】由已知可得T=2π2k+1k∈Z，结合T=2πω，得到ω=2k+1（k∈Z），再由π9,π【解答过程】由题意，得14+k又T=2πω，∴ω=2k+1∵π9,π6是fx的一个单调区间，∴∵T=2π2k+1，∴2k+1≤18①当k=8，即ω=17时，−174π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此时∴ω=17不符合题意；②当k=7，即ω=15时，−154π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=−π4，此时∴ω=15不符合题意；③当k=6，即ω=13时，−134π+φ=kπ，k∈∵|φ|<π2，∴φ=π4，此时∴ω=13符合题意，故选：D.6．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设函数fx=0,x=34π+kπωA．23,2 B．0,23 C．【解题思路】根据题意分析可知fx的最小正周期T=πω，fx的零点为2k+1π4ω，【解答过程】因为ω>0，由正切型函数可知：fx的最小正周期T=πω，且fx的零点为显然fx在区间x,x+T内至少有1个零点，在区间x,x+若函数fx在区间−则3T2>3π8若0<ω<3，因为x∈−π8且−5π即−5π则−π结合题意可知：−π2，0中有且仅有一个属于由题意可知：−π2<解得：23<ω≤2，所以ω的取值范围为故选：A.7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数f(x)=cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过点A(0,12)，且对任意xA．[23,C．[23,【解题思路】根据给定条件，利用图象所过点求出φ，再利用单调递增区间求出ω范围.【解答过程】依题意，f(0)=cosφ=12，而0<φ<π由对任意x1,x得函数f(x)在(π当x∈(π2,而余弦函数y=cosx的递增区间为：[2kπ−于是πω+π3≥2kπ即16<k<136，而k∈Z所以ω的取值范围是23≤ω∈5故选：C.8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期为3πC．若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ωD．若gπ4=【解题思路】先根据fx是偶函数求φ【解答过程】fx则π3若gx的最小正周期为3π，由g(x)=sin(ωx+φ)∵x∈(0,π),ωx+π6∈(则5π若∵g(x)=sin(ωx+π则ωπ4+π6则ω=23+8k或ω=2+8k,k∈Z，又因为ω>0，则故选:D.二、多选题9．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数f(x)=cosωx−π12(ω>0)在πA．116 B．18 C．38【解题思路】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得0<ω≤2，再通过整体法确定ωx−π12的取值范围，最后求解【解答过程】由题意函数f(x)的最小正周期为T=2因为函数f(x)在区间[π可得2π则0<ω≤2．因为x∈π所以ωx−π因为0<ω≤2，所以−π因为f(x)在π6所以ωπ6解得0<ω≤18或故选：AB.10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，且直线y=A与曲线y=f(x)−π24≤x≤A．A=2B．y=f(x+πC．fD．若f(x)在区间a,a+π6（其中a>0）上单调递增，则a【解题思路】根据函数图象求出T、ω，再根据面积求出A，最后根据函数过点−π24,2【解答过程】依题意可得T2=5π24−−π24又直线y=A与曲线y=f(x)−π24所以π=12所以f(x)=2sin4x+φ，又函数过点−π又0<φ<π，则−π6<−π所以f(x)=2sin则y=fx+因为f(x)=2sin所以f=2sin4×又T=π2，2024=4×506所以令3π2+2kπ所以fx的单调递增区间为5π因为f(x)在区间a,a+π6（其中所以a,a+π6⊆即a≥5π24+kπ2a+即a的取值范围是5π24+k故选：AC.11．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=cosA．当ω=2时，fx−π6B．当ω=2时，fx在0,πC．当x=π6为fxD．当fx在−π3【解题思路】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可．【解答过程】ω=2时，fx−π6所以fx−π6ω=2时，由x∈0,π2根据余弦函数的单调性可知cos2x+π3若fπ6=0，则π6ω+π3=π所以ω的最小值为1，故C正确；因为fx在−π3,π6kπ≤ωx+π3≤2kπ+所以π6≤2π3ω故选：ACD．三、填空题12．（24-25高三上·上海·期中）函数fx=2sinωx−π6（ω>0）在0,π3上存在最小值【解题思路】先由x的范围求得ωx−π6的范围，再利用正弦函数的性质得到关于【解答过程】因为x∈0,π3因为函数fx=2sinωx−π所以π3ω−π所以实数ω的最小值是5.故答案为：5.13．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数fx=sinωx−π4与gx=sin【解题思路】确定ω>0，根据正弦函数的递增区间求出ω的范围，结合正弦函数的周期性求出ω的范围可得答案.【解答过程】当ω=0时，fx当ω<0时，fx若在区间0,π2上单调递增，则在y=可得π4<−ωx+π4<−所以y=sin−ωx+π4在于是ω>0.若函数fx=sinωx−π4在区间若函数gx=sin2kπ−π因为ω>0，所以k=0时，0<ω≤1综上所述，0<ω≤1故答案为：0,114．（2024·江苏南京·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ∈R在区间π4,π2上单调，且满足fπ3【解题思路】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得ω的取值范围.【解答过程】不妨设函数fx的周期为T因为fx在区间π4,π2又fπ3=0，可得π2−又fx在区间π3,11综上可得2π3≤T<解得83<ω≤3，即ω的取值范围为故答案为：83四、解答题15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数f(x)=cosωx−π4（ω为正整数）在【解题思路】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出ω的最小值．【解答过程】解：当函数严格增时，−π+2kπ≤ωx−π4若函数在π3则−3π4ω即2kπω−当k=0时，−9当函数严格减时，2kπ≤ωx−π整理得π4ω+2k若函数在π3则π4ω+2k即2kπω+当k=0时，34由于函数fx在π3,所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集，所以ω的最小值为3．16．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数f(x)=sinωx+π6（ω>0），若f(x)⩾f−【解题思路】利用fx≥f−π3得−【解答过程】若fx≥f−可得fx的最小值为f可得−ωπ3即有ω=2−6k，k∈Z，由ω>0，可得ω的最小值为2，此时k=0.17．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知函数fx