第15讲 三角函数及其图象变换（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第15讲三角函数及其图象变换【人教A版2019】模块一模块一三角函数的图象变换1．φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)对的图象的影响函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.(3)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数的图象得到函数的图象以上两种方法的图示如下：2．函数的图象类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到(>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.3．由部分图象确定函数解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【题型1“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】【例1.1】（23-24高一下·上海·阶段练习）某同学用“五点法”面函数fx=Asinxπ5ωx+φ0ππ32A05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数y=fx(2)当x∈0,π时，求【解题思路】（1）借助表格计算可得A=5，ω=2，φ=−π（2）令fx【解答过程】（1）由表可得π3ω+φ=π2，故A=5，ω=2，φ=−π6，故补充数据见表格；xππ7π513πωx+φ0ππ32A050－50（2）令5sin2x−π则2x−π6=π6则x=π6+kπ或x=π2+kπ，k∈即fx=5【例1.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数f(x)=sin(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期[π(2)请说明由g(x)=sinx到【解题思路】（1）根据给定条件，列出对应值表，再在坐标系内描点连线即得.（2）根据三角函数变换，叙述出变换过程即可.【解答过程】（1）函数f(x)=sin(2x−πxπ521172x−0ππ32f(x)010−10描点连线，即得函数f(x)的图象，如图：（2）先将g(x)的图象向右平移π3个单位长度得到y=再将所得函数的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到y=sin(2x−【变式1.1】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数fx=2sin(1)在用“五点法”作函数y=fx在区间0,2x−−7πx0πf将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；

(2)求函数fx在区间−π4【解题思路】（1）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形．（2）由x∈−π4【解答过程】（1）在用“五点法”作函数y=fx在区间0,2x−−0ππ3π7πx0π35π7ππf−2020−2−描点，连线，可得图象如下：

（2）因为x∈−π4,π4，可得2x−π4∈−当2x−π4=−π2时，即x=−【变式1.2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数f(1)试用“五点法”画出函数fx在区间−π(2)若x∈−π6，π3时，函数gx=fx+m【解题思路】（1）先列表，再描点连线，可得简图；（2）根据x∈−π6，π3得【解答过程】（1）先列表，再描点连线，可得简图．

x−258112x+0ππ32sin010−10y131−1（2）gx=f∵x∈−∴2x+π∴sin2x+π∴m=2，∴gx当2x+π6=π2即x=π【题型2三角函数间图象的变换问题】【例2.1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）为得到函数g(x)=sin(2x−π6)A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移7πB．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π2C．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移πD．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移7【解题思路】根据给定条件，利用三角函数图象的变换，结合函数解析式，即可直接判断即可.【解答过程】将函数f(x)=sin(x−2π3再将所得图象向左平移π4个单位，得y=故选：C.【例2.2】（23-24高二下·福建南平·期末）将函数f(x)=sinx−cosx图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π2个单位长度得到g(x)A．2sin(x2+π4) 【解题思路】利用辅助角公式化简函数f(x)，再利用三角函数图象变换求出g(x).【解答过程】依题意，f(x)=2sin(x−故选：C.【变式2.1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2满足fπ3A．π12 B．π6 C．5π6 D．11【解答过程】由函数fx=sinωx+φ的最小正周期为因为f(π3)=1，可得f(即φ=−π6+2kπ,k∈Z，又所以f(x)=sin将f(x)=sin[2(x−π12)]故选：A.【变式2.2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数fx=32sinx+cos2xA．gx=sinC．gx=sin【解题思路】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【解答过程】由fx先将函数fx可得：f1再将所得的图象向右平移π6可得gx故选：A.【题型3由部分图象求函数的解析式】【例3.1】（23-24高二下·湖南·期末）函数fx=2sinA．φ=B．fC．fx在区间−2024D．fx的图象向左平移3π8【解题思路】由图可知，f0【解答过程】对于A，由题图可知，f0=2且x=0位于单调递增区间，结合−π<φ<π对于B，由图可得ω⋅π8−π4又T4>π8，所以故fx对于C，fx令−2024π≤π共有8096个零点，故C不正确；对于D，fx的图象向左平移3gx显然gx所以fx的图象向左平移3π8故选：D.【例3.2】（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数y=Asinωx−φA>0,ω>0,0<φ<A．y=2sin2x−πC．y=2sinx−π【解题思路】根据函数图象的最大值，以及对称轴间的距离，五点法，分别求解析式中的参数，即可求解.【解答过程】由函数的最大值为2，可知，A=2，2πω×当x=5π12时，2×5π12−φ=因为0<φ<π，所以φ=所以函数的解析式为y=2sin故选：B.【变式3.1】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数fx=AsinA．fx最小正周期为B．函数fx的图象关于直线x=−C．函数fx在区间π2,5π6【解题思路】结合图象先求出函数fx【解答过程】由图可知，A=2，T2则T=π又T=2πω，则ω=2则f−π12=2sin又−π<φ<π，所以φ=则f−所以函数fx的图象不关于直线x=−当x∈π2,因为正弦函数y=sinx在所以函数fx在区间π令fx=2sin则2x+2π3=kπ，k∈Z又x∈π4,3π所以函数fx在π故选：C.【变式3.2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数fx=cos①函数fx的图象关于点7π②函数fx的单调增区间为③函数fx的图象可由y=2sinωx④函数gx=ftωx在0,πA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据图象求出ω，然后结合正弦函数性质判断各命题．【解答过程】f(x)=2(1由图象知函数的最小正周期为T=43(π3f(7π12)=2sin由2kπ−π2≤2x+f(x)=2sin(2x+5π6)=2sin由题意g(x)=2sin(4tx+5当t>0时，5π6<4tx+5π6<4tπ+当t<0时，4tπ+5π6<4tx+5π6因此t的范围是724<t≤13故选：B．【题型4结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】【例4.1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数fx=2sin4x−π3的图象向右平移π3A．图象关于直线x=πB．曲线gx与直线y=3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6C．D．图象关于点π6【解题思路】先根据平移变换的知识求出gx，根据三角函数的对称性性质将x=π3和x=π6代入gx求值检验即可判断选项AD；根据函数gx图象结合g【解答过程】因为fx−所以fx向右移π3个单位得函数解析式为又y=2sin4x+π所以gx对于A，因为gπ3=2sin2×对于B，因为g0所以由gx=2sin2x+π相邻交点距离的最小值为π6对于C，令2kπ所以当k=0时gx的单调递增区间为−对于D，因为gπ6=2sin2×故选：B.【例4.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的极大值与极小值之差为2，且fx≤fπ6对∀x∈R恒成立，f(2π3)=0，A．函数gx的最小正周期为B．函数gx在0C．函数gx的图象关于直线x=0D．函数gx图象的一个对称中心为【解题思路】通过极大值与极小值之差为2A，fx≤fπ6对∀x∈R恒成立，f(2π3)=0，f(x)在π6,2π3【解答过程】因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π因为fx≤fπ6且f(2π3)=0，f(x)在π6,2π3因为fxmax=fπ6=1，所以f(π6)=可得f(x)=sin(x+π3)，又因为将函数fx的图象向左平移对于A，函数gx=cos对于B，函数gx=cos对于C，函数gx=cos对于D，函数gx=cos故选：B.【变式4.1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且图象关于点π4,0对称，把函数(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若方程f(x)+kg(x)=0在x∈π6,【解题思路】（1）先由函数对称性、周期性列式求解参数即可得出fx，利用平移伸缩变换法则可得g（2）通过换元法得出2t2−kt−1=0【解答过程】（1）由T=π，得ω=2由f(x)的图象关于点π4,0对称，则2×π又由0<φ<π，则φ=故f(x)=sin由于f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π2个单位长度得到函数g(x)故g(x)=sin（2）由（1）知，把f(x)，g(x)代入方程，得cos2x+k即方程2sin2x−k令t=sinx,x∈π上述方程转化为2t2−kt−1=0进一步转化为k=2t−1t在令ℎt=2t−1t，则故ℎ(t)∈[−1,1]，也即是k∈[−1,1].【变式4.2】（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)若x∈0,π2时，m<f(3)将函数fx的图像的横坐标缩小为原来的12，再将其横坐标向右平移π6个单位，得到函数gx的图像．若x∈0,t【解题思路】（1）化简得到fx=2sin2x+π3，结合最小正周期的求法，即可求解；（2）由x∈0,（3）由x∈0,t，得到4x−【解答过程】（1）解：因为fx所以fx的最小正周期T=（2）解：当x∈0,π2当2x+π3=4π3，即x=因为x∈0,π2时，m<fx即实数m的取值范围为−∞（3）解：由题意，函数gx因为x∈0,t，所以4x−又因为函数gx有且仅有5个零点，则满足4π≤4t−所以实数t的取值范围[13π模块模块二匀速圆周运动的数学模型1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.【题型5四种基本图象变换】【例5.1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数fx=2sin12x+π4的周期、振幅、初相分别是（

）A．π4C．π4，2，π4 D．4【解题思路】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可.【解答过程】∵函数y=2sin∴振幅是2，初相是π4又x的系数是12，故函数的最小正周期是T=故选：D．【例5.2】（2024·云南昆明·三模）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y=Asinωx+π6(A>0,ω>0)A．y=2sinπx+πC．y=233【解题思路】根据图2求出噪音的声波曲线对应的函数的解析式，再结合题意进行求解即可.【解答过程】由2可知：y=f(x)=Asinωx+π所以有y=f(0)=Asinf(5当k=1时，y=f(x)=2sinπx+π6，显然A不符合题意，此时函数的周期为2ππ=2或y=f(x−1)=2sin显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意，故选：D.【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;(2)分别求t=0,1【解题思路】（1）由三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．（2）代入函数解析式求值即可.【解答过程】解：（1）∵i=5∴A=5，φ=π3所以函数的周期T=2πω=2π100π=1（2）当t=0时,i=5sin当t=1600时,当t=1150时,当t=7600时,当t=160时,【变式5.2】（23-24高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻ts时相对于平衡位置O的位移yy=2sin(1)以t为横坐标，y为纵坐标，作出这个函数的简图；(2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相．【解题思路】（1）利用“五点法”作图；（2）利用振幅、周期、频率和初相的定义求解.【解答过程】（1）解：列表：t+0ππ32t−−π5π4πy020-20一个周期内的简图如图所示：

（2）因为y=2sin所以该简谐振动的振幅为2、周期为2π、频率为12π【题型6三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【例6.1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点PA．点P距离水面的高度ℎm与tsB．点P第一次到达最高点需要10C．在水轮转动的一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于D．当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面【解题思路】根据条件，写出点P的高度和时间的关系式，再逐项判断对错.【解答过程】因为从P0开始计时，所以水轮的高度ℎ和时间t的函数关系式为：ℎ=4.8当P第一次到达最高点，由π30t−π6=π2由ℎ≥4.8⇒sinπ30t−π6≥12⇒π6即水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P距离水面的高低不低于4.8m当t=50时，ℎ=4.8sin故选：D.【例6.2】（23-24高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为50m，其中心O点距离地面的高度为60m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（

A．转动10min后点P距离地面B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的1C．第17min和第42min点D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间长为20【解题思路】设转动过程中，点P离地面距离的函数为ft【解答过程】设转动过程中，点P离地面距离的函数为：ft由题意得：A=50,ℎ=60,T=20,ω=2f0=50sin所以ft选项A，转到10min后，点Pf10=50故B不正确；选项C，因为f=−50cosf42所以f17即第17min和第42min点选项D，令ft则cosπ10t≥解得−10所以103即摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间为203故D正确；故选：D.【变式6.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xoy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为ℎ（单位：m(1)求ℎ与时间t之间的关系．(2)求点P第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少?(3)若ℎt在0,a上的值域为0,3.6，求a【解题思路】（1）根据给定信息，设出ℎ(t)=Asin(（2）由（1）的信息，结合周期性，求出点P在对应条件下，点P转动的圆心角弧度即可计算得解.（3）利用正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【解答过程】（1）依题意，设ℎ与时间t之间的关系为ℎ(t)=Asin(由筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2得点P距离水面的高度ℎ的最值为ℎmax=1.2+2.4=3.6=A+Kℎ而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期T=603=20由ℎ(0)=2.4sinφ+1.2=0，得sinφ=−12所以ℎ与时间t之间的关系是ℎ(t)=2.4sin(（2）依题意，OP0与x轴正方向的夹角为π6，因此点P所以点P第一次到达最高点所需时间为T3在转动的一个周期内，点P在水中转动2×(π所以点P在水中的时间是T3（3）由ℎ(t)=2.4sin(π10t−π得y=sin(π10t−π由t∈[0,a]，得π10t−π6∈[−所以a的取值范围是[20【变式6.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求Ht(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为ℎ米，求ℎ的最大值及此时的时间t.【解题思路】（1）设Ht=Asinωt+φ+Bω>0，根据所给条件求出A、B（2）令Ht=30，由余弦函数的性质及（3）设经过t分钟后甲距离地面的高度为H1，则乙距离地面的高度为H2=−40cosπ【解答过程】（1）设Ht=Asin由题意知A+B=90−A+B=10又T=2πω∵H0=10，∴可取φ=−π∴Ht故解析式为Ht=−40cos（2）令Ht=30，则−cos因为t∈0,30，则π15t∈0,2π解得t=5或t=25，故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米.（3）经过t5≤t≤30分钟后甲距离地面的高度为H1=−40cosπ所以乙距离地面的高度为H2=−40cos则两人离地高度差ℎ==−40cosπ15t+40cosπ令π15t−π又5≤t≤30，所以当t=10或25分钟时，ℎ取得最大值40米.一、单选题1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数y=2sin16A．−2、12π、16x C．2、12π、16x 【解题思路】求出振幅，周期，初相.【解答过程】根据函数解析式知，振幅为2，周期为2π16故选：B.2．（2024·北京·模拟预测）将y=sinx的图象变换为y=sinA．将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移πB．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18C．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的1D．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍【解题思路】【解答过程】由y=sinx的图象变换为（1）先将y=sinx的图象向右平移π6再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的13得y=sin（2）先将y=sinx的图象上任一点的横坐标变为原来的得y=sin3x的图象，再把所得函数图象向右平移得y=sin3x−故选：C.3．（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（

A．y=2sin(C．y=2sin(【解题思路】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案.【解答过程】由题意可知，函数的周期T=3，初相为−π6，则因为y表示距离，为非负数，所以BD选项错误；P点的初始位置为2cosπ6,−2sin而在运动的过程中距离最大值为2，则y=2sin故选：C.4．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数fx=sin

A．y=f2x−12 B．y=fx2−【解题思路】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系．【解答过程】由图1可知，T=2，所以ω=2πT图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得fx−1再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得f2x−1故选：D．5．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）将函数fx=sin2x+π3的图象向右平移φ（A．π12 B．5π12 C．π【解题思路】先求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的奇偶性列关系式求φ.【解答过程】将函数fx=sin所得函数为y=sin[因为函数y=sin则−2φ+π3=k所以φ=−kπ2所以k=−1，φ=5π6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<A．ω=2B．φ=C．f(x)的图象关于点−5D．f(x)在−2【解题思路】根据正弦型函数的图象求出周期可判断A，根据点代入可判断B，根据x=−5【解答过程】由图象可知A=1，T=27π12由fπ12=sinπ由AB可知f(x)=sin2x+π可知x=−5π当x∈−2π由于正弦函数y=sint在所以f(x)在−2故选：C.7．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数fx=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1A．0,π8 B．π8,π4【解题思路】用三角函数的图象变换法则得出g(x)，再求出g(x)的单调区间，即可求解．【解答过程】将函数fx=sin2x+π将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12得到函数y=gx令π2解得π6令k=0得，x∈π6,5π12故选：C．8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<①函数fx的最小正周期是π②函数fx的图象关于直线x=③把函数y=2sinx−π3图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的④当x∈π,A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据函数图象求出fx【解答过程】由图象知：34T=π3−−π24将B−π24,−2代入所以φ−π6=−又因为φ<π2，所以φ=−当x=11π24所以函数fx的图象关于直线x=把函数y=2sinx−π得到2sin当x∈π,5sin4x−π3所以说法正确的是②③.故选：C.二、多选题9．（2024高二上·福建·学业考试）某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（

）

A．该简谐运动的振幅是3B．该简谐运动的初相是2C．该简谐运动往复运动一次需要2D．该简谐运动100s【解题思路】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A；设该函数解析式为fx=Asinωx+φA>0,ω>0，由简谐运动在一个周期内的图象可得ω【解答过程】对于A，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是3cm对于B，设该函数解析式为fx由简谐运动在一个周期内的图象可得12T=3.2−1.2=2πω，可得1因为把点2.2,−3代入解析式可得−3=3sin所以1.1π+φ=−π若φ=−1.6π+2kπ对于C，由B可知T=4s对于D，该简谐运动100s往复运动100÷4=25故选：ABD.10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数fx=2cosωx+φ（其中A．fx的最小正周期为B．fx在−C．fx的图象可由gx=2D．函数Fx=f【解题思路】根据周期可得ω，代入最值点可得φ=−13π根据周期公式判断A，结合正弦函数单调性判断B，根据平移结论判断C，利用辅助角公式，结合正弦型函数的性质即可判断D.【解答过程】由图可得：A=2，又因为3T4=13π12−π3=3π4将(13π12,2)代入f即13π6+φ=2kπ又−π2<φ<0所以fx对于A，最小正周期T=2π对于B，令2kπ−π可得fx的单调递增区间为[k当k=0时，单调递增区间为[−5π对于C，函数gx=2sin所得到的函数解析式为：gx对于D，F=2cos所以函数Fx=fx故选：ABD.11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数fx=cosωx−2π3ω>0在A．fx的最小正周期为B．fC．将fx的图象向右平移4πD．函数y=5fx+4在【解题思路】利用函数fx的单调性求出ω的取值范围，再由余弦型函数的对称性求出ω的值，利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断C选项；求出函数y=fx再【解答过程】对于A，因为函数fx=cos由−π≤x≤π所以−ωπ−2π显然13−2k>043+4k>0，解得−13因为fx的图象关于直线x=且−2π3<8所以fx=cos14对于B，因为f4π9所以f4对于C，将fx的图象向右平移4gx对于D，因为y=5fx令y=0，得cos1令t=14x−2π3，由−且−45∉−2故选：ACD.三、填空题12．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的振幅是2，最小正周期是π2，初始相位是−π【解题思路】根据y=2sin(4x−π12)的物理意义求解．【解答过程】由题意A=2，T=所以解析式为y=2sin故答案为：y=2sin13．（24-25高二上·安徽·开学考试）将函数fx=cos2x+φ的图象向右平移2π3后得到的图象关于原点对称，则【解题思路】首先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出φ的取值.【解答过程】将函数fx=cos2x+φ的图象向右平移又y=cos2x−4解得φ=11π所以φ的最小正值为5π6故答案为：5π614．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)关于点(π6②f(x)关于直线x=π③f(x)在区间[π④f(x)在区间(−5π12正确结论的序号为②③.【解题思路】先由图象求出A,B，接着将点0,2代入函数f(x)结合正弦函数性质和φ<π2求得φ，再由f(−π6)=1和T4>π6求出ω，进而求得函数f(x)解析式，对于①，计算f(π6)≠3即可判断；对于②，计算f(【解答过程】由图得A=5−12=2，B=将点0,2代入函数f(x)得2sinφ+3=2，即所以φ=2kπ−π6,k∈所以φ=−π6，故又f(−π6)=2所以ωπ又由图像可知T4>π所以0<ω<3，所以ω=2，所以f(x)=2sin对于①，因为f(π6)=2sin2×对于②，因为f(π对于③，令2kπ+π所以函数f(x)在区间kπ故当k=0时，函数f(x)在区间π3因为[π2,5π对于④，x∈(−5π12,π所以2sin(2x−π6)+3∈1,3，所以故答案为：②③.四、解答题15．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=2【解题思路】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解.【解答过程】对于y=2其振幅为A=2，周期T=则频率为f=1T=16．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，f(x)=Acos(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象；若g(α)=13，α∈(0,【解题思路】（1）根据图象得振幅和周期并求出A,ω，再根据最大值点求出φ，即可得函数解析式.（2）根据图象变换得y=g(x)的解析式，再利用同角公式及两角和的余弦公式求值.【解答过程】（1）由图得A=2，函数f(x)的最小正周期T=4(π3−即f(x)=2c