第12讲 任意角的三角函数（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第12讲任意角的三角函数【人教A版2019】模块一模块一任意角和弧度制1．角的概念的推广(1)角：一条射线绕着端点(顶点)从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)所成的图形.其中顶点、始边、终边称为角的三要素.(2)角按其旋转方向可分为：正角(逆时针旋转),零角(没有旋转),负角(顺时针旋转).(3)在直角坐标系中讨论角：①象限角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角.②轴线角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角.2．终边相同的角若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制的相关概念①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.(3)弧度数在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.4．角度与弧度的换算(1)弧度与角度的换算公式5．弧长公式、扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为.(1)弧长公式由公式，可得.(2)扇形面积公式.(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式l=αR扇形面积公式注意事项R是扇形的半径，n

是圆心角的角度数.R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数.【题型1终边相同的角】【例1.1】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）下列与40∘角终边相同的角为（

A．320∘ B．−320∘ C．340【例1.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是（

）A．−43°与677° B．900°与−1260°C．−120°与960° D．150°与630°【变式1.1】（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（A．2kπ+3C．kπ−π【变式1.2】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【题型2象限角及其判定】【例2.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知α=944°，则α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【例2.2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A．90°−α B．180°−α C．270°−α D．−α【变式2.1】（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知α为第二象限角，则α2所在的象限是（

A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【变式2.2】（23-24高一下·江西·期中）设α2是第一象限角，且cosα=−cosα，则α是第（

）象限角A．一 【题型3弧长公式与扇形面积公式的应用】【例3.1】（23-24高一上·山东德州·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是（

）A．12R2 B．12R2【例3.2】（23-24高一上·黑龙江·期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（A．22cm B．26cm C．28cm【变式3.1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知扇形的半径r=2cm，周长为C=4+(1)求扇形的面积；(2)在区间0,4π上求出与此扇形的圆心角α【变式3.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人.如图1，这是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图2所示的扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）.已知该扇形玉雕壁画的周长为320厘米.

(1)若OD=2OA=80厘米.求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度；(2)若AD=2OA.求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值.【题型4\o"扇形中的最值问题"\t"/gzsx/zj145222/_blank"扇形中的最值问题】【例4.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【例4.2】（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（

）A．2 B．4 C．23 D．【变式4.1】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知扇形的圆心角是α，半径为r，弧长为l.(1)若α=135∘，r=10，求扇形的弧长(2)若扇形AOB的周长为22，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.【变式4.2】（23-24高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA=2米，OB=x米0<x<2，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大?并求出最大值．模块模块二三角函数的概念1．任意角的三角函数的定义(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；

②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域三角函数定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.

【题型5求三角函数值】【例5.1】（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意a>0且a≠1，函数fx=ax+1+1的图象都过定点P，且点P在角θA．−12 B．−2 C．−5【例5.2】（23-24高一上·内蒙古包头·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P−1,2，则cosα=（A．55 B．255 C．−【变式5.1】（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角α的终边经过点1,−2，则sinα+3cos3A．−510 B．55 C．1【变式5.2】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知角α的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，若其终边经过点P−2,1，则sinα+2cosA．−13 B．−3 C．0【题型6\o"由三角函数值求终边上的点或参数"\t"/gzsx/zj145223/qt2701y2023ctk28363o2/_blank"由三角函数值求终边上的点或参数】【例6.1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知α是第二象限的角，P(x,8)为其终边上的一点，且sinα=45，则x=A．−6 B．±6 C．±323 【例6.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若sinα=−33，且角α的终边经过点P2,y，则PA．1 B．±1 C．−2 D．−1【变式6.1】（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知sinα=−35，cosα=45，则A．−4,3 B．−3,4C．3,−4 D．4,−3【变式6.2】（2024·福建福州·模拟预测）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosα=55,Pm,2A．−4 B．4 C．−1 D．1【题型7三角函数值在各象限的符号】【例7.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）若α为第二象限角，则（

）A．sin2α>0 B．cos2α<0 C．sinα−【例7.2】（24-25高一上·上海·单元测试）若sinαtanα<0，且cosαtanA．一 B．三 C．一或三 D．二或四【变式7.1】（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断角θ属于第几象限：(1)sinθ=−12且cosθ=−32【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）确定下列各式的符号：(1)cos2−(2)sin3一、单选题1．（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限角都是钝角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α−β＝k·180°(k∈2．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）与角−2024°4'终边相同的角是（A．−404°4' B．−224°4' C．3．（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）若角α的终边经过点−3,3，则αA．3π4 B．2π3 C．4．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是（

）A．sinα2>0C．tanα2>05．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知α与210°角的终边关于x轴对称，则α2是（

）A．第二或第四象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角6．（23-24高一上·天津河西·期末）已知α是第一象限角，那么α3不可能是（

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角α的弧度数为（

）A．π3 B．π2 C．38．（23-24高一下·河南南阳·期中）圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环ABCD的内圆弧AB的长为2π3，外圆弧CD的长为4π3，圆心角A．π B．π2 C．4π3二、多选题9．（23-24高一上·江西宜春·期末）下列说法正确的是（

）A．−π9与B．若α为第二象限角，则α2C．终边经过点m,mm>0的角的集合是D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为110．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）sinx1−cosA．1 B．3 C．−1 D．−311．（23-24高一上·吉林长春·期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为5A．SB．若S1S2=C．若扇面为“美观扇面”，则θ=D．若扇面为“美观扇面”，半径R=20，则扇形面积为200三、填空题12．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）在平面直角坐标系中，角α的终边终边过点(−4,−3)，则sinα+3cosα=13．（2024高三·全国·专题练习）已知角α的终边在第四象限，则角α3的终边所在14．（24-25高三上·河南·阶段练习）若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为．四、解答题15．（23-24高一·上海·课堂例题）分别将下列弧度化为角度：(1)11(2)−(3)−3（结果精确到0.01°）．16．（23-24高一·上海·课堂例题）在0°~360°范围内，分别找出终边与下列各角的终边重合的角，并判断它们是第几象限的角：(1)−315°；(2)905.3°；(3)−1090