第08讲 指数与指数函数（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第08讲指数与指数函数【人教A版2019】模块一模块一指数1．指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

分数指数幂拓展

到了

有理

数正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.2．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.3．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>04．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【题型1指数幂的化简、运算】【例1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简a⋅3aA．3a B．6a7 C．1【解题思路】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解.【解答过程】因为a>0，所以a⋅故选：B.【例1.2】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（

）A．m4·mC．−2xy3=−6x【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解．【解答过程】对于A，m4对于B，m4对于C，−2xy3对于D，−ab故选：D．【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值：(1)83(2)aπ(3)π3【解题思路】（1）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；（2）利用分数指数幂的运算化简；（3）将根式化简为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算化简；【解答过程】（1）原式=2（2）原式=a（3）原式=π【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：2a23b1（2）求值：23【解题思路】运用指数幂的性质计算即可.【解答过程】（1）2=2×−6×（2）2=1+14【题型2指数式的给条件求值问题】【例2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则aA．2 B．4 C．±2 D．±4【解题思路】给a1【解答过程】(a12故选：A.【例2.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若x+x−1=3，则xA．12 B．513 C．45【解题思路】将x+x−1=3【解答过程】将x+x−1=3两边平方，得x2+x故选：A.【变式2.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知x−x(1)x2(2)x+【解题思路】（1）将原式平方后可得x2+x（2）结合（1）中的结果配方可得x1【解答过程】（1）因为x−x−1=2故x2+x−2+2=16故x2（2）由（1）可得x+x−1=4故x12+【变式2.2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知a1(1)a+a(2)a3【解题思路】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.【解答过程】（1）由题意a12+（2）由题意a1所以a3【题型3指数方程与指数不等式】【例3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程32x−1=A．−2 B．−22 C．2【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可.【解答过程】由32x−1=所以2x−1=−2，2解得x=−2故选：B.【例3.2】（2024高一·全国·专题练习）方程5x−1A．1,4 B．14 C．1,14【解题思路】根据题意，先把103x转化为53x⋅【解答过程】原方程可化为：5x−1⋅53x⋅故选：B．【变式3.1】（2024·全国·模拟预测）求方程25x【解题思路】根据指数的运算化简即可.【解答过程】由已知25所以25所以2解得x=32或【变式3.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算：(1)0.064−(2)求不等式0.21−【解题思路】（1）根据指数运算公式直接化简计算；（2）根据指数函数单调性解不等式.【解答过程】（1）0.064=4103−（2）0.21−即5−1即5x因为函数y=5x在所以x2−1<2x+2，即x−3x+1解得−1<x<3，所以不等式的解集为−1,3.模块模块二指数函数1．指数函数的概念(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y>13．比较指数幂的大小的方法比较指数幂的大小的方法（分三种情况）：(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.【题型4指数函数图象——底数比较大小】【例4.1】（24-25高一·全国·课后作业）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【解题思路】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【解答过程】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3>故选：C．【例4.2】（23-24高一上·浙江温州·期中）函数f(x)=ax−b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

A．a>1,b<0 B．a>1,b>0C．0<a<1,b>0 D．0<a<1,b<0【解题思路】由函数单调性判断a与1的大小，再由图象与y轴的交点位置判断b的正负.【解答过程】由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；法一：由f(x)=ax−b图象，函数与y轴的交点纵坐标令x=0，得y=a由0<a−b<1，即0<法二：函数f(x)图象可看作是由y=a则−b>0，即b<0.故选：D.【变式4.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知y1=13x，y2=A． B．C． D．【解题思路】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【解答过程】y2=3x与y4=10x该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A.【变式4.2】（2024高二·湖北·学业考试）设a，b，c，d都是不等于1的正数，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx

A．a<b<c<d B．b<a<d<c C．c<d<a<b D．d<c<b<a【解题思路】先根据指数函数的单调性，确定a，b，c，d与1的关系，再由x=1时，函数值的大小判断.【解答过程】因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数，当底数大于0且小于1时，指数函数是定义域上的减函数，所以c，d大于1，a，b大于0且小于1，由图知：c1>d1，即c>d，所以b<a<1<d<c.故选：B.【题型5指数函数过定点问题】【例5.1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数fx=aA．0,1 B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)【解题思路】指数型函数过定点，令x=2即可得到结果【解答过程】根据指数函数y=ax(a>0则fx=ax−2+3(a>0所以函数fx=a故选：D.【例5.2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）直角坐标平面上将函数f(x)=ax+1−2（a>0，a≠1）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数g(x)A．(−2,0) B．(0,1) C．(2,−1) D．(0,−1)【解题思路】先求出f(x)的图像所过定点，再将定点按题中要求平移，从而得解.【解答过程】因为f(x)=ax+1−2（a>0令x+1=0，得x=−1，y=a所以f(x)的图像过定点−1,−1，将定点−1,−1向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得−2,0，所以g(x)的图像恒过定点−2,0.故选：A.【变式5.1】（23-24高一上·山东·期中）函数y=2−3ax−2(a>0,a≠1)A．2,−1 B．0,2 C．0,−1 D．2,1【解题思路】根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答过程】因为当x=2时，无论a取何值，y=2−3a所以函数y=2−3ax−2(a>0且a≠1)故选：A.【变式5.2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知幂函数f(x)=(a−2)xa，则g(x)=bA．(1,1) B．(1,2) C．(−3,1) D．(−3,2)【解题思路】利用幂函数的定义求出a的值，进一步分析g(x)的解析式即可.【解答过程】∵f(x)=(a−2)xa是幂函数，故a=3,则g(x)=b令x+3=0，即x=−3，得g(x)=2，故g(x)过定点(−3,2).故选：D.【题型6利用指数函数单调性比较大小】【例6.1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知a=4523，b=2334，c=4935，则a，b，c的大小关系是（

【解题思路】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【解答过程】易知c=4又y=23x定义域上单调递减，3易知y=x23则a=4综上a>b>c.故选：A.【例6.2】（23-24高一上·吉林·期末）已知a=110.3，b=5，c=21.2，则a，bA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【解题思路】利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小.【解答过程】由题可知，a=110.3<111则a6<112=121因为y=x6在0,+∞上单调递增，且121<125<128故选：A.【变式6.1】（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知a=0.60.5，b=0.50.5，A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a【解题思路】由指数函数与幂函数的单调性即可判断a,b,c大小关系.【解答过程】设fx=0.5所以b=f0.5令ℎx=x0.5，由幂函数的性质知所以a=ℎ0.6所以a>b>c.故选：C.【变式6.2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设a=2313，b=1.5A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c【解题思路】由指数函数和幂函数的单调性即可得出答案.【解答过程】因为0<a=231因为y=23x所以0.2<13，所以23因为y=x0.2在0,+∞上单调递增，由0.8>所以c>b，故a<b<c.故选：D.模块模块三指数型复合函数1．指数型复合函数的解题策略常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可.【题型7指数型函数——与二次函数复合】【例7.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数fx满足f2x=a2x−4(1)求fx(2)若a=2，求函数y=f(3)讨论fx【解题思路】（1）利用换元法即可求解，（2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解，（3）对a分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解.【解答过程】（1）f2x=a2x−4故fx=ax−（2）当a=2时，fx=2故2x−x2−14≥0故y=fx−14当a>1时fx=a当0<a<1时fx=a【例7.2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数fx=a(1)若m=2，求函数fx(2)若fx≥−1恒成立，求实数【解题思路】（1）换元令t=ax−（2）换元令t=ax−a−x【解答过程】（1）若m=2，则fx令ax故原式化为y=t若a>1时，可知y=ax,y=−可知t=ax−a−x若0<a<1时，可知y=ax,y=−可知t=ax−a−x综上所述：t=a可知当t=−1时，y=t+1（2）因为fx设t=a由题意得即t2+mt+2≥−1恒成立，即且t∈−∞,+∞，则所以实数m的取值范围为−23【变式7.1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数fx(1)若m=1，求不等式fx(2)若∀x∈0,2,fx【解题思路】（1）依题意可得2x−42（2）令t=2x，则t∈1,4，依题意可得t2−2mt+4≥0对任意t∈1,4恒成立，参变分离可得【解答过程】（1）当m=1时，可得fx即4x−2x+1−8<0因为2x所以2x−4<0，解得所以不等式fx<0的解集为（2）因为x∈0,2，令t=2x，则t∈由fx≥−12，可得因为∀x∈0,2，f即t2−2mt+4≥0对任意即m≤t2+4又因为t2+42t=t所以m≤2，即实数m的取值范围为−∞【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数f(x)=3(1)求实数k的值；(2)若对∀x∈−2,−1，不等式f【解题思路】（1）由f0（2）分离参数并通过换元法可得m≤6t+t【解答过程】（1）因为f(x)=3所以f(0)=1+(k−2)=0，解得k=1，此时f(x)=3（2）原问题即为∀x∈[−2,−1],3x−则m≤6−设t=3则y=6⋅3∵3≤t≤9，∴当t=3时，y取得最小值26，要使不等式在−2,−1上恒成立，则m≤26.【题型8【例8.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为R的函数fx(1)求实数a,b的值；(2)若存在t∈−2,0，使得ft+3k+f【解题思路】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解；（2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得t+1t>k2【解答过程】（1）方法一：∵fx是奇函数，∴f0=0，即−1+b又由f1=−f−1知：−2+1此时，fx且fx所以fx故a=2,b=1．方法二：∵fx∴fx∴−即2b−a⋅∴2b−a=0ab−2=0,∴当a=−2b=−1时，fx=当a=2,b=1时，fx且fx所以fx故a=2,b=1满足题意．（2）由（1）知fx=−2x+1又fx是奇函数，由fft+3k∴t+3k>k2−1t∵t∈−2,0,t+1t=−∴y=t+1t在t∈−2,0∴−2>k2−3k【例8.2】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知fx=2(1)试判断函数fx(2)已知gx=1+fx1−fx，若对任意x∈R且【解题思路】（1）由fx是上R的奇函数求出a=−1，b=1，然后f（2）先化简得gx=2x，根据题意【解答过程】（1）因为fx是奇函数，则f整理得：a+b2要使上式对任意的x成立，则&&a+b=02ab+2=0，解得&&a=1当&&a=1b=−1时，fx当&&a=−1b=1时，fx所以fx=2x−12有fx所以fx1<fx2（2）gx=1+fx等价为2x令t=2x+则t=2x+可得m≤t+16t在由基本不等式t+16t≥8，当且仅当t=4【变式8.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知fx=a+(1)求f(1)的值；(2)求a与b的值，并求出fx(3)判断fx在0,+【解题思路】（1）根据奇函数的性质可知f1（2）由函数为奇函数可得f1=−f−1（3）任取x1,x2∈【解答过程】（1）因为fx=a+b（2）因为fx=a+b又由f−1=a−2b=−3，有f1=a+b=3，解得a=1,b=2，经验证fx（3）fx在区间0,+对任意x1,xfx因为y=2x在0,+∞单调递增，且0<x1所以fx在区间0,+【变式8.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数f(x)=b+2bx(1)求f(x)的解析式并用定义证明f(x)的单调性；(2)∃x∈2,3使得t⋅f(x)≥2x【解题思路】（1）根据奇函数（定义域为R）的性质f0=0求出（2）先将不等式t⋅fx≥2x−2【解答过程】（1）因为f(x)=b+2bx所以f0=b−2则f(x)=2+2×且f−x所以fx为定义在R上的奇函数，故b=2，即ffx=2任取x1,x则f=2所以x1<x2，所以2x所以2x1−所以fx1−f所以fx是R（2）当x∈2,3时，不等式t⋅fx≥故t≥2则令v=2x−1，因为x∈由题意可知∃v∈3,7，t≥v−因为函数y=x，y=−2x为故y=v−2v+1在v∈3,7所以t≥103，即实数t的取值范围为一、单选题1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）253×25A．4 B．8 C．1258 D．【解题思路】将根式转化为指数式，化简可得解.【解答过程】253故选：B.2．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数fx图象过点3,27，则f2等于（A．3 B．6 C．9 D．27【解题思路】先求得fx的解析式，进而求得f【解答过程】设fx=a将3,27代入得f3解得a=3，所以fx所以f2故选：C.3．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数a满足a+a−1=4，则aA．14 B．16 C．12 D．18【解题思路】由a+a【解答过程】因为a+a所以a2故选：A.4．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数y=a2−5a+7A．a=2 B．a=3C．a=2或a=3 D．a>2，且a≠3【解题思路】根据指数函数定义求参.【解答过程】因为y=a所以a2−5a+7=1，所以a=2.故选：A.5．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数x,y满足x−3y=1，则2x+1A．2 B．2C．22 【解题思路】利用基本不等式及指数幂的运算性质求最值，注意等号成立条件.【解答过程】由2x+(12所以目标式最小值为22故选：C.6．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数f(x)=xexA．

B．

C．

D．

【解题思路】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【解答过程】函数的定义域为R，且f−x所以函数fx且当x>0时，fxfx=xex故选：B.7．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设函数fx=3xx−a在区间0,32上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．−∞,0]【解题思路】由复合函数单调性性质，求出单调区间，即可得到范围.【解答过程】令t=gx=x∵3>1，∴ft在Rgx=xx−ax∈−∞,a2时，g由复合函数可知：x∈−∞,a2时，f故0,32⊆−∞故选：D.8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)=−212|x|+a，其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则A．(−∞,−2)∪(2,+∞C．(−∞,−1)∪(1,+∞【解题思路】根据条件求出a=1，再代入讨论x符号即可求解.【解答过程】根据题意知f(x)=−212|x|所以可求得a=1，则函数f(x)=−21所以f(x)=−当x>0时，则可得2−1>21−x，又因当x<0时，则可得2−1>21+x，又因综上可得f(x)>12的解集为故选：A.二、多选题9．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（

）A．nan=a B．若C．3x4+y3【解答过程】对A：当n为偶数时，nan=对B：a2−a+1=a+对C：显然不成立，如当x=y=1时，左边为32，右边为2对D：65故选：BD.10．（23-24高一上·重庆南岸·期末）已知函数fx=eA．函数fx的定义域为B．函数fx的值域为C．函数fxD．函数fx【解题思路】A选项，由于ex+1>1恒成立，故定义域为R；B选项，分离常数得到fx=1−2ex+1，根据ex【解答过程】A，因为ex>0，所以所以函数fx的定义域为RB，fxex故−1<1−2所以函数fx的值域为−1,1C，函数定义域为R，f−x所以函数fxD，函数y=ex+1所以函数y=2所以函数y=−2ex+1故选：ABC.11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx=1−m⋅exA．m=1 B．fxC．f2+f−1<0 D．y=f2+x【解题思路】对于A，验证m=−1符合题意即可说明选项错误；对于B，假设fx【解答过程】对于A：若m≠−1，则由m+e0≠0知fx的定义域包含x=0，再由fx是奇函数有f若m=−1，则fx=1+ex−1+e这表明m的所有可能值是m=1或m=−1，故A错误；对于B：由上面的结论知fx=1−无论哪种情况，fx=1都意味着ex+1=所以fx对于C：若fx=1−ex若fx=ex+1ex无论怎样，都有fx在0,+∞上单调递减，故所以f2对于D：该选项的描述即为f2+即f8−x但根据上面的论证，知fx在0,+∞上单调递减，故x<4时必有故选：ABD.三、填空题12．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：3a5⋅【解题思路】根据指数幂的运算法则计算即可.【解答过程】解:由题意可知a>0，所以3a故答案为：1.13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数y=12−x2【解题思路】设t=−x2【解答过程】设t=−x2+2x+3，由所以−x2+2x+3∈[0,4]因为y=12t在0,2故答案为：1414．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数f(x)=2x−2−x，则使得f(x2)+f(2x−3)<0成立的【解题思路】判断函数f(x)的性质，再利用性质求解不等式.【解答过程】函数f(x)=2x−2−x又函数y=2x,y=不等式f(x2)+f(2x−3)<0即x2<3−2x，解得所以原不等式的解集为(−3,1).故答案为：(−3,1).四、解答题15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：2a23b1（2）求值：23【解题思路】运用指数幂的性质计算即可.【解答过程】（1）2=2×−6×（2）2=1+1416．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：18（2）化简：5x（3）已知x12+【解题思路】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解；（2）利用指数幂的运算法则化简求解；（3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解.【解答过程】（1）原式=8（2）原式=5×−4（3）因