第07讲 函数性质的综合应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第07讲函数性质的综合应用【人教A版2019】模块一模块一函数的单调性与最值1．函数单调性的判断(1)定义法；(2)图象法；(3)简单函数单调性；(4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；(5)复合函数：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.2．函数单调性的应用函数单调性的主要应用有以下几个方面：(1)利用函数的单调性求参数；(2)利用函数的单调性比较大小；(3)利用函数的单调性解不等式.3．利用函数的单调性求参数的方法(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.4．利用函数的单调性比较大小的方法利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

5．利用函数的单调性解不等式的方法解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.6．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【题型1函数的单调性的综合应用】【例1.1】（23-24高一上·北京·期中）已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1aA．−∞,−2 B．−∞,0 C．【例1.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，则a=f0.2，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【变式1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【变式1.2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有x1−x2【题型2函数的最值问题】【例2.1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数fx=x2−1,x≤1axA．112,+∞C．112,1【例2.2】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数f(x)=x+4x(x>0)，记该函数在区间[t−1,t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)A．17−2 B．1 C．13 【变式2.1】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知函数fx=−2x2+bx+c(1)求实数b⋅c的值；(2)设0<m<n，若当m≤x≤n时，fx的最小值为1n，最大值为1m，求m【变式2.2】（23-24高一上·上海虹口·期末）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f(x)=x(1)写出函数f(x)的单调区间（不要证明）；(2)解不等式f(x)≥3；(3)求函数f(x)在[−m,m]上的最大值和最小值．模块二模块二函数的奇偶性及其应用1．函数的奇偶性(1)定义：定义偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数.奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数.非奇非

偶函数既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数.定义域

特征定义域必须是关于原点对称的区间.等价

形式设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，-x∈I，且

f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，-x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立.(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.2．函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．(4)复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数或函数=4\*GB3④函数或函数．3．函数奇偶性的应用函数奇偶性的主要应用有三个方面：(1)利用函数的奇偶性求值、求解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解；(2)利用函数的奇偶性求参数：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程；②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.(3)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【题型3函数奇偶性的判断】【例3.1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是（

）A．y=x B．C．y=x2+1【例3.2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）下列说法中错误的是（

）A．函数y=2B．函数y=xC．函数y=x2，D．函数y=(x−1)【变式3.1】（2024·西藏·模拟预测）若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【变式3.2】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+y)−[f(x)+f(y)]=2023，则下列说法正确的是（

）A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x)+2023是偶函数 D．f(x)+2023是奇函数【题型4函数的奇偶性的综合应用】【例4.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数f(x+2)是偶函数，定义域为R，且满足f(x)+f(8−x)=2，其中f(5)=−1，则f(2025)=（

）A．3 B．−3 C．1 D．−1【例4.2】（23-24高二下·福建福州·期末）已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则A．1 B．2 C．0 D．−1【变式4.1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）函数fx=xA． B．C． D．【变式4.2】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若定义在R上的奇函数fx在−∞,0上单调递减，且f2=0，则满足xfA．−1,1∪3,+∞C．−1,0∪0,+∞模块模块三函数的周期性与对称性1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型5函数的对称性的应用】【例5.1】（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知函数fx的定义域为R，fx的图象关于1,0中心对称，f2x+2A．f0=0 B．f12=0【例5.2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数y=fx与y=gx的图象关于直线x=1对称，且函数y=g2x−1+1为奇函数，则函数A．−1,−1 B．−1,1 C．3,1 D．3,−1【变式5.1】（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数fx在定义域R上单调递减，且函数y=fx−1的图象关于点A1,0对称．若实数t满足ft2A．12,+∞ B．−∞,1【变式5.2】（23-24高一下·湖北·开学考试）已知fx是定义在R上的函数在0,+∞上单调递减，且f2=0，函数y=fx+2的图象关于点−2,0A．−∞,−1∪C．−1,1∪3,+∞【题型6对称性与周期性的综合应用】【例6.1】（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知定义在R上的函数fx，对∀x∈R，都有fx+4=−fx+4，若函数fx−1的图象关于直线A．−2 B．−1 C．2 D．1【例6.2】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数fx的定义域为R，且f2x−1的图象关于直线x=1对称，f3x+2A．f72 B．f2024 C．f【变式6.1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知定义在R上的函数fx满足fx−2=−fx，且函数A．fxB．fxC．fxD．fx的图象关于点2025,0【变式6.2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足f2x+6=f−2x，且①f(2024)=1；②fx的图象关于直线x=−3③fx④k=12025其中结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【题型7抽象函数的性质】【例7.1】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数fx的定义域为R，fx+y=fA．f0=0 B．函数C．若f2=2，则f2024=−2 D．函数【例7.2】（2024·广西玉林·三模）函数fx对任意x，y∈R总有fx+y=fx+fy，当x<0A．fx是偶函数 B．fC．fx在−6,6上的最小值为−2 D．若fx+fx−3【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知fx定义域为R，对任意x,y∈R都有fx+y=fx+fy(1)试判断fx在R(2)解不等式：f【变式7.2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数f(x)定义域为−1,1，若对任意的x,y∈−1,1，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0（1）判断f(x)的奇偶性；（2）讨论f(x)的区间−1,1上的单调性；（3）设f(1)=−4，若f(x)<m2−2am+1，对所有x∈[−1,1]，a∈[−1,1]【题型8函数性质的综合应用】【例8.1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数fx(1)求f3(2)当a>0时，试运用函数单调性的定义判定fx(3)设gx=fx−2，若gx≥2【例8.2】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知函数fx=ax+b(1)求实数b的值；(2)当a>0时，用单调性定义判断函数fx在区间1,+(3)当a=1时，设gx=mx2−2x+2−m，若对任意的x1∈【变式8.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数fx=x+bx(1)求函数fx(2)判断函数fx(3)设gx=fx−1+2，当∃x【变式8.2】（23-24高一上·辽宁大连·期末）若函数f(x)在定义域R上满足f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时f(x)>0,定义域为−2,2的(1)求证：函数f(x)在定义域上单调递增.(2)若在区间−1,1上，f(x)+g(x)=−x2+x+1；g(x)（i）求函数f(x)和函数g(x)在区间−2,（ii）若关于x的不等式g(x1)−g(x2)af(x1)−af(x一、单选题1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数y=x33x4−1的图象大致是（

C． D．2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设fx=x+a2,x≤0x+1x+a,x>0A．−1,0 B．−1,2 C．−2,−1 D．−2,03．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）设函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶函数，则（

）A．f(−1)=0 B．f(−12)=0 C．f(1)=04．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数fx=x2−2x，x≥0A．−∞,0 C．−1,0 D．−5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx是定义域为−∞,+∞的奇函数，满足f2−x=f2+xA．－2 B．0 C．2 D．46．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足：∀x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 7．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知fx，gx是定义域为R的函数，且fx是奇函数，gx是偶函数，满足fx+gx=axA．0,+∞C．−34,8．（24-25高二上·江苏·开学考试）若函数fx是定义域为R的奇函数，且fx+2=−fx，A．fB．fx的图象关于点2,0C．fx的图象关于直线x=1D．f二、多选题9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x+axa>0在2,4A．4 B．12 C．6−42 D．10．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0，f(2)=4，则（

）A．f(5)=10 B．f(