第01讲 集合综合（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第01讲集合综合【人教A版2019】模块一模块一集合的概念与表示一、集合的概念1．集合概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合中元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.4．常见数集数学中的一些常用的数集及其记法：5．集合的分类集合的分类：有限集、无限集．特殊集合：空集，记为∅.二、集合的表示方法列举法、描述法、图示法、区间法.【题型1集合中元素的互异性】【例1.1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知x∈1,2,x2，则xA．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【解题思路】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.【解答过程】由元素和集合关系可知：x=1或x=2或x=x解的x=0或1或2，由集合的性质可知，当x=1时，1,2,1不满足互异性，所以x的取值为0或2.故选：C.【例1.2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，则A．−1 B．−3或1 C．3 D．−3【解题思路】根据元素与集合的关系求出a值，然后代入检验即得.【解答过程】因A=12,a2+4a,a−2，−3∈A，故有：由a2+4a=−3解得：a=−1或a=−3，由a−2=−3解得：又因a=−1时，a2+4a=a−2=−3，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而a=−3时故选：D.【变式1.1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合A=0,2a+1,a2−2，若A．1 B．-1 C．0 D．±1【解题思路】根据−1∈A得a2−2=−1或【解答过程】由−1∈A，可得a2−2=−1或2a+1=−1，解得：a=1或当a=1时，集合A=0,3,−1当a=−1时，集合A=0,−1,−1综上，a=1.故选：A.【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）由a2,2−a，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（A．1 B．−2 C．−1 D．2【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.【解答过程】对A，当a=1时，a2=1，对B，当a=−2时，a2对C，当a=−1时，a2=1，对D，当a=2时，a2故选：C.【题型2元素与集合关系求参】【例2.1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0 D．−2【解题思路】分别令m=2，m2−3m+2=2，解出【解答过程】若m=2，则m2−3m+2=0，则A=0,2,0根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去；若m2−3m+2=2若m=0，则A=0,0,2若m=3，则A=0,3,2故选：B.【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合A=0,m,m2−3m+2，且2∈A，则实数A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【解题思路】由题意可得m=2或m2【解答过程】因为A=0,m,m2所以m=2或m2①若m=2，此时m2②若m2−3m+2=2，解得当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3,2}符合题意.综上所述，m=3.故选：B.【变式2.1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx−3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（A．34,32 B．34,【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.【解答过程】由题意可得2m×2−3>02m×1−3≤0，解得3故选：A.【变式2.2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.若1是集合AA．−3 B．1 C．−13,1【解题思路】根据1是集合A中的一个元素，求得a，进而再解方程求解.【解答过程】解：∵1∈A,∴a+2+1=0,∴a=−3，∴集合A中的方程为−3x解得x=−13或x=1，故选：C．模块二模块二集合间的基本关系一、集合间的基本关系1．子集定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则3．集合相等如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.【题型3集合关系的判断】【例3.1】（24-25高三上·湖北荆门·阶段练习）如果集合S=x|x=3n+1,n∈Z，T=x|x=3k−2,k∈A．S⊆T B．T⊆S C．S=T D．S∈T【解题思路】由T=x|x=3k−2,k∈【解答过程】集合S=x|x=3n+1,n∈Z，∴S=T．故选：C．【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合M=x|x=m+16,m∈Z，N=x|x=n2−13,n∈ZA．M=N⊂P B．M⊂N=PC．M⊂N⊂P D．N⊂P⊂M【解题思路】先将集合M,N,P化简变形成统一形式，然后分析判断即可.【解答过程】因为M=xx=m+16,m∈ZN=xx=n2−13故选：B．【变式3.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【解题思路】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.【解答过程】依题意，A={x|x=k+66,k∈C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.故选：C.【变式3.2】（23-24高三·全国·对口高考）下面有四个命题：①3⊆②若a=22,B=x∈③若−a不属于N∗，则a属于N④若A=xy=其中真命题的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A,B判断④.【解答过程】①由子集概念知3⊆②因为22<2+2③当a=0时，−0∉N∗，④因为A=xy=1−故选：B.【题型4已知集合间关系求参】【例4.1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合A=2,6(1)若集合B=a+1，a(2)若集合C=xax2−x+6=0，且A【解题思路】（1）利用集合相等的条件求a的值；（2）由A与C有包含关系得C⊆A，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.【解答过程】（1）因为A=2,6，且A=B所以a+1=2a2−23=6或a2−23=2a+1=6故a=5.（2）因为A与C有包含关系，A=2,6，C=所以C⊆A.当a=0时，C=6当a≠0时，当C=∅时，Δ=1−4a×6<0，解得a>当C=2时，Δ=1−4a×6=0且当C=6时，Δ=1−4a×6=0且当C=2,6时，Δ=1−4a×6>0且综上，a的取值范围为aa=0【例4.2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知A=x|(1)若A⊆B，求a的值；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）先求出集合A，再利用条件A⊆B，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a值；（2）对集合B进行分类讨论：B=∅和B≠∅，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a的范围；【解答过程】（1）由方程x2−2x−8=0，解得x=−2所以A=−2,4，又A⊆B，B=所以B=−2,4，即方程x2+ax+a2利用韦达定理得到：−2+4=−a，即a=−2；（2）由已知得A=−2,4，又B⊆A所以B=∅时，则Δ=a2−4(a2−12)<0当B≠∅时，若B中仅有一个元素，则Δ=a2−4(a当a=4时，B=−2，满足条件；当a=−4时，B=若B中有两个元素，则B=A，利用韦达定理得到，−2+4=−a(−2)×4=a2综上，实数a的取值范围是a≥4或a<−4或a=−2.【变式4.1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合A=x|(1)若集合A至多有1个元素，求实数m的取值范围；(2)若A⊆(−∞,0)，求实数【解题思路】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数m的取值范围；（2）根据集合关系，讨论A=∅或x2−2x+m=0只有负根，列不等式即可求得实数【解答过程】（1）若集合A=x|x2所以Δ=4−4m≤0，故m≥1（2）由题意得A=∅或x2当A=∅时，Δ=4−4m<0，故m>1当x2−2x+m=0只有负根时，综上，实数m的取值范围为m>1.【变式4.2】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合A=x|4−2k<x<2k−8，B=(1)若A⊆B，求实数k的取值范围；(2)若B⫋A，求实数k的取值范围.【解题思路】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【解答过程】（1）因为A⊆B，①当A=∅时：4−2k≥2k−8，即k≤3符合题意；②当A≠∅时，4−2k<2k−82k−8≤k4−2k≥−k，综上所述：k≤4.（2）因为B⫋A，①当B=∅时，A≠∅，∴−k≥k4−2k<2k−8，解得②当B≠∅时，−k<kk≤2k−8−k>4−2k或∴k≥8或综上所述：k≥8.模块模块三集合的基本运算一、集合的基本运算1．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}3．补集定义文字

语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言性质(1)

(2)4．集合关系的转化(1)；(2).5．Venn图表达集合的关系和运算如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.【题型5交、并、补集混合运算】【例5.1】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）若集合A=x|1<x≤6，B=x|1x−7<0A．{x|x≤1或6≤x≤7} B．{x|x≤1或6<x<7}C．{x|x<1或6≤x<7} D．{x|x≤1或6<x≤7}【解题思路】根据题意求集合B，再结合补集和交集运算求解.【解答过程】因为集合A=x|1<x≤6，B=则∁RA={x|x≤1或x>6}，所以∁RA∩B=故选：B．【例5.2】（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1<x<2，则A．∁UM∪N C．∁UM∩N 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x|x≥2即可.【解答过程】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁∁UM=x|x≥1M∩N=x|−1<x<1，则∁UM∩N∁UN=x|x≤−1或x≥2，则M∪∁U故选：A.【变式5.1】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=−2,1，B=xx2A．−2,1,0 B．−2C．1 D．−2,−1,1,2【解题思路】确定B=0,1，∁【解答过程】B=xx2−x=0=A=−2,1，故A∩故选：B.【变式5.2】（2024高三·全国·专题练习）已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是（

）A．M∪N=U B．∁C．M∩(∁UN)=∅【解题思路】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可.【解答过程】全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，绘制Venn图，如下：

对于A：M∪N=N，A错误；对于B：∁U对于C：M∩(∁UN)=∅故选：C.【题型6由集合运算结果求参】【例6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合M=x1<x<4，集合(1)求M∩N和M∪∁(2)设A=xa≤x≤a+3，若A∪∁【解题思路】（1）根据集合的交并补运算，可得答案；（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.【解答过程】（1）由题意，可得∁RN=xx≤3或x≥5（2）因为A=xa≤x≤a+3，若所以a≤3a+3≥5解得2≤a≤3，所以a的取值范围是2,3【例6.2】（23-24高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合A=x|x<−3或x>7，B=(1)若∁RA∪B=(2)若∁RA∩B=x|a≤x≤b，且【解题思路】（1）根据并集结果可得B⊆∁RA，分别讨论B=∅（2）由交集结果可知B≠∅，分别讨论2m−1<7、2m−1>7m+1≤7和m+1>7，根据b−a≥1【解答过程】（1）由题意知：∁R因为∁RA∪B=①当B=∅，即m+1>2m−1时，满足B⊆∁RA②当B≠∅，若B⊆∁RA，则m+1≤2m−1综上所述：m的取值范围为m|m≤4（2）因为∁RA∩B=x|a≤x≤b，且b−a≥1，故解得m≥2，则m+1≥3，2m−1≥3；①当2m−1≤7，即m≤4时，∁R故2m−1−m+1≥1，解得②当2m−1>7m+1≤7，即4<m≤6时，∁故7−m+1≥1，解得③当m+1>7，即m>6时，∁R综上所述，m的取值范围为m|3≤m≤5.【变式6.1】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合A={(x,y)|y2−x−1=0}，(1)若k=b=1，求A∩C；(2)是否存在自然数k，b，使得(A∪B)∩C=∅？若存在，求出k，b的值；若不存在，说明理由．【解题思路】（1）根据题意得到y=x+1y2（2）题目转化为A∩C=∅且B∩C=∅，联立方程，考虑k=0和k>0两种情况，计算Δ<0，得到4k2【解答过程】（1）当k=b=1时，y=x+1，联立方程得y=x+1y2−x−1=0，解得x=−1故A∩C={(−1,0),(0,1)}.（2）(A∪B)∩C=∅，故A∩C=∅且B∩C=∅，联立方程得y2−x−1=0y=kx+b，消去y由A∩C=∅知，当k=0时，方程k2当k>0时，Δ1=(2bk−1)联立方程得4x2+2x−2y+5=0y=kx+b，消去B∩C=∅，Δ2=(2−2k)若4k2−4bk+1<0有解，则(−4b)若k2−2k+8b−19<0有解，则(−2)2b∈N，b=2，代入得4k2−8k+1<0k2−2k−3<0故k=1；综上所述，当k=1，b=2时，(A∪B)∩C=∅.【变式6.2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）在①A∩B=A，②A∩∁RB已知集合A=xa−1<x<2a+3，(1)当a=2时，求A∪B；(2)若___________，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）可得出B=x−2<x<4，a=2时，得出集合（2）若选条件①，可得出A⊆B，然后讨论A是否为空集：A=∅时，得出a−1≥2a+3；A≠∅时，得出a−1<2a+3a−1≥−22a+3≤4，然后解出a的范围．若选择条件②和③，同样的方法，可得出a的取值范围．【解答过程】（1）a=2时，A=x∴A∪B=x（2）若选择①A∩B=A，则A⊆B，A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；A≠∅时，a>−4a−1≥−22a+3≤4，解得：综上知，实数a的取值范围是−∞若选择②A∩∁RB=A，则A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；A≠∅时，a>−42a+3≤−2或a>−4a−1≥4，解得：−4<a≤−综上所述，a的取值范围是：−∞若选择③A∩B=∅，则：A=∅时，a−1≥2a+3，解得a≤−4；A≠∅时，a>−42a+3≤−2或者a>−4a−1≥4解得：−4<a≤−综上知，实数a的取值范围是：−∞【题型7Venn图表达集合的关系和运算】【例7.1】（2024·广东·模拟预测）已知全集U=R，集合A={xx≥4或x≤0}，B={xx>4

A．−2,0 B．−2,0C．−2,0∪4 【解题思路】利用集合的交并补的定义，结合Venn图即可求解.【解答过程】因为A={xx≥4或x≤0}，B={x所以A∪B={xx≥4或x≤0}∪{xx>4或x≤−2}={xx≥4或x≤0}，A∩B={x由题意可知阴影部分对于的集合为∁U所以∁U∁UA∩B∩故选：D.【例7.2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集R，集合A=xx>2，B=xA．xx>2 B．C．xx≤2 D．{x|x<−2或【解题思路】根据题意，求得∁RA=xx≤2且【解答过程】由不等式x2−x−6>0，解得x<−2或x>3，所以B={x|x<−2或又由A=xx>2，可得∁R又因为∁R故选：B.【变式7.1】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．(1)求图中阴影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；（2）根据集合关系进行转化求解即可．【解答过程】（1）因为A=x|1≤x≤3，B=x|x=m+1,m∈A．所以B＝{x|2≤根据题意，由图可得：C=A∩∁因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x＞4或而A＝{x|1≤x≤3}，则C=A∩∁（2）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），则有4−a＜解得2＜a≤3，即实数a的取值范围为（2，3]．【变式7.2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知A=x−1<x<2，

(1)求A∪B和∁R(2)若记符号A−B=xx∈A且x∉B，在图中把表示“集合A−B”的部分用阴影涂黑，并求出【解题思路】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果；（2）根据A−B的定义即可标出阴影，并根据其意义求得A−B=x【解答过程】（1）由x−1>0得x>1，即B=x∁RA=x|x≥2或x≤−1所以A∪B=xx>−1，（2）根据定义可知，集合A−B如图中的阴影部分所示．

由于A−B=xx∈A且x∉B，又A=x所以A−B=x【题型8集合的新定义问题】【例8.1】（23-24高三上·山东济南·阶段练习）对于集合M,N，定义M−N=x|x∈M,x∉N，M⊕N=M−N∪N−M，设A=x|x≥−94A．−94,C．−∞,−9【解题思路】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【解答过程】集合A=x|x≥−94则∁RA=xx<−9由定义可得：A−B=xx∈A且x∉B=A∩∁B−A=xx∈B且x∉A=B∩∁所以A⊕B=A−B故选：C．【例8.2】（23-24高一上·上海·期中）设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有x+y∈S，x−y∈S，xy∈S，则称集合①若S为“完美集合”，则一定有0∈S；②“完美集合”一定是无限集；③集合A=x④若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”.其中真命题是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解题思路】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断.【解答过程】对于①，若S为“完美集合”，对任意的x∈S，0=x−x对于②，完美集合不一定是无限集，例如0，②错；对于③，集合A=x在集合A中任意取两个元素，x=a+b5，y=c+d5，其中a、b、c、则x+y=a+c+b+d5xy=ac+5bd+集合A=x对于④，S=0，T=0,1，也满足④，但是集合T不是一个完美集合，④错【变式8.1】（23-24高一下·北京丰台·期末）设n为正整数，集合A=α|α=(t1,t2,⋯,tn(1)当n=3时，若α=(1,−1,0)，β=(0, 1, 1)，求(2)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α,  β，当α,  β相同时，M(α, β)是奇数；当(3)给定不小于2的n，从集合A中任取n+2个两两互不相同的元素α1, α2【解题思路】（1）直接根据定义计算；（2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明；（3）设S1=(x1,x2,⋯,xn)(x1,x2,⋯,xn)∈A，x1=1，【解答过程】（1）因为α=(1,−1,0)，β=(0,1,1)所以M(α,α)=1×1M(α, （2）设α=x令α'=x1'则M(α,α)=M(α',x1,x当α≠β，且|xi|=|y由题意知，M(α,α)是奇数，M(α,β)(α,β不同)是偶数，等价于M(α',α'若M(α',所以B′⊆1,0,0,0且B'将上述集合中的元素分成如下四组：1,0,0,0,1,1,1,0；0,1,0,0,所以每组中两个元素不可能同时是集合B'所以集合B'当α≠α′且α'∈B'又集合1,0,0,0，所以集合B中元素个数最大值为4个．（3）设S1Sk=(Sn+1则A=S1∪S2从集合A中任取n+2个两两互不相同的元素，若存在两个不同元素α,  β同时属于一个Sk记αi所以，存在i,j(1≤i<j≤n+2)，使得M(α若任意两个不同元素α,  β都不同时属于一个则至多取n+1个两两互不相同的元素，与已知取n+2个两两互不相同的元素矛盾．综上，存在i,j(1≤i<j≤n+2)，使得M(α【变式8.2】（23-24高二下·北京丰台·期末）已知集合M=1,2,⋅⋅⋅,n（n∈N*，且n≥4）．若集合A，B同时满足下列两个条件，则称集合A，B条件（1）：A∩B=∅，A∪B=M，且A，B都至少含有两个元素；条件（2）：对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2(1)当n=5时，若集合A，B具有性质P，且集合A中恰有三个元素，试写出所有的集合B；(2)若集合A，B具有性质P，且2∈B，3∈B，求证：n<14；(3)若存在集合A，B具有性质P，求n的最大值．【解题思路】（1）根据性质可得答案；（2）记“对任意不相等的a1，a2∈A，都有a1+a2（3）一方面求出n=32时，可构造集合A、B使其具有性质P；一方面，当n≥33时，可证明不存在具有性质P的集合A，B可得答案.【解答过程】（1）所有的集合B为2,4，3,4，3,5；（2）记“对任意不相等的a1，a2∈A记“对任意不相等的b1，b2∈B由条件②得1∈A．由2∈B，3∈B和条件②得2×3=6∉B，即6∈A．由条件①得6−1=5∉A，即5∈B．由条件②得2×5=10∉B，即10∈A．由条件①得10−6=4∉A，即4∈B．由条件②得2×4=8∉B，即8∈A．由条件①得8+6=14∉A，即14∈B．由条件①得8−1=7∉A，即7∈B．由条件②得2×7=14∉B，与14∈B矛盾，所以14∉M，即n<14（3）n的最大值为32．证明如下：一方面，当n=32时，可构造集合A=1,2,4,7,10,15,18,24,27,30B=3,5,6,8,9,11,12,13,14,16,17,19,20,21,22,23,25,26,28,29,31,32具有性质P另一方面，当n≥33时，可证明不存在具有性质P的集合A，B．证明如下：由（2）知，1∈A，且当2∈B，3∈B时，n<14，此时不存在具有性质P的集合A，B．由条件①得2，3不能同时属于集合A．下面讨论2和3一个属于集合A，一个属于集合B的情况：（1）当3∈A，2∈B时，由条件①得1+3=4∉A，即4∈B．由条件②得2×4=8∉B，即8∈A．由条件①得8−3=5∉A，8−1=7∉A即5∈B，7∈B．因为2∈B，4∈B，5∈B，7∈B，由条件②得2×7=14∉B，4×5=20∉B，即14∈A，20∈A．由条件①得14−8=6∉A，20−8=12∉A，即6∈B，12∈B．由条件②得2×6=12∉B，与12∈B矛盾，此时不存在具有性质P的集合A，B．（2）当2∈A，3∈B时，由条件②得4，5不能同时属于集合A，下面分三种情形：情形一：若4∈A，5∈B，由条件①得2+4=6∉A，即6∈B．由条件②得3×5=15∉B，3×6=18∉B，即15∈A，18∈A．由条件①得15+18=33∉A，即33∈B．由条件①得15−4=11∉A，即11∈B．由条件②得3×11=33∉B，与33∈B矛盾，此时不存在具有性质P的集合A，B．情形二：若5∈A，4∈B，由条件①得1+5=6∉A，2+5=7∉A，即6∈B，7∈B．由条件②得4×7=28∉B，即28∈A．由条件①得5+28=33∉A，即33∈B．由条件②得3×4=12∉B，即12∈A．由条件①得12−1=11∉A，即11∈B．由条件②得3×11=33∉B，与33∈B矛盾，此时不存在具有性质P的集合A，B．情形三：若4∈B，5∈B，由条件②得4×5=20∉B，即20∈A．由条件①得20−2=18∉A，即18∈B．由条件②得18÷3=6∉B，即6∈A．由条件①得1+6=7∉A，即7∈B．由条件②得3×7=21∉B，即21∈A．由条件②得3×5=15∉B，即15∈A．由条件①得6+15=21∉A，与21∈A矛盾，此时不存在具有性质P的集合A,B，综上，n的最大值为32．一、单选题1．（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（

）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若集合A=x|mx2+2x+m=0,m∈R中有且只有一个元素，则A．−1 B．0 C．−1,1 D．−1,0,1【解题思路】分m是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.【解答过程】当m=0时，A=x|2x=0=0当m≠0时，由题意Δ=4−4m2满足题意的m值的集合是−1,0,1.故选：D.3．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合A=1,2a+1，B=3,a−1,3a−2，若A⊆B，则a=（A．−2 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据子集关系，分别讨论2a+1=a−1和2a+1=3a−2，并检验集合元素的互异性即可得结果．【解答过程】由已知得，若2a+1=3，解得a=1，此时A={1,3}，B={0,1,3}，成立；若2a+1=a−1，解得a=−2，此时A={1,−3}，B={−8,−3,3}，不成立；若2a+1=3a−2，解得a=3，此时A={1,7}，B={2,3,7}，不成立；综上所述：故选：B．4．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=1,2,3，B=x,yx∈A,y∈A,x+y∈A，则集合BA．4 B．8 C．16 D．32【解题思路】通过列举求出集合B的元算，进而由集合B的元素个数可求集合B的子集的个数.【解答过程】通过列举，可知集合B=1,1则集合B的子集的个数为23故选：B．5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知集合A={x∣x<2},B=−1,0,1,3,5，则A∩B=A．0,1 B．0,1,3 C．0,1,3,5 D．−1,0,1,3,5【解题思路】计算出集合A后，结合交集运算即可得.【解答过程】由x<2可得0≤x<4，故A={x∣0≤x<4},A∩B=故选：B.6．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（

）A．∁U(A∪B) C．(∁UB)∩A【解题思路】在阴影部分区域内任取一个元素x，分析元素x与各集合的关系，即可得出合适的选项.【解答过程】解：在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∉A且x∈B，即x∈∁UA所以，阴影部分可表示为∁UA故选：D.7．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=xx≤−2或x>1，B=x2a−3<x<a+1.若A∪B=RA．aa≤12 B．a0<a≤1【解题思路】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可.【解答过程】依题意得2a−3≤−2,a+1>1,解得0<a≤故选：B.8．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：A⊕B=(x,y)x2∈A,2y∈B.若集合A=B=A．∅ B．4,1 C．1,32 【解题思路】由题意可得A=B=2,3，从而可得x=4或x=6，y=1或y=23，再根据新定义得A⊕B=【解答过程】因为A=B=2,3，所以x2所以x=4或x=6，2y=2所以y=1或y=23，代入y=−16x+故A⊕B∩C=故选：D.二、多选题9．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，a=2+3A．a∈M B．a+1∉MC．1a∈M 【解题思路】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可【解答过程】对于A，因为a=2+3对于B，因为a+1=2所以a+1∈M，所以B错误，对于C，因为a=2+3，所以1a对于D，因为a=2+3所以a2故选：ACD.10．（2024·湖北·模拟预测）已知集合A=1,2，B=0,1,2,3,4，集合C满足A⫋C⊆B，则（A．1∈C，2∈C B．集合C可以为1,2C．集合C的个数为7 D．集合C的个数为8【解题思路】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.【解答过程】由题意得A=1,2，B=0,1,2,3,4，又所以1∈C，2∈C，故A正确；当C=1,2时，不满足A⫋C集合C的个数等价于集合0,3,4的非空子集的个数，所以集合C的个数为23故选：AC.11．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合A=x|x2−2x−3<0，集合A．A∩B=x|−1<x<2 B．C．A∪(∁RB)=【解题思路】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合A,B的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.【解答过程】由x2−2x−3<0，x−3x+1<0，解得由2x−4<0，解得x<2，所以B=x对于A，A∩B=x−1<x<2，故A正确；对于B，对于C，∁RB=x对于D，由选项C可知∁RB=x故选：ACD.三、填空题12．（23-24高一下·全国·课堂例题）若集合A由0,m,m2−2m+1三个元素组成，且1∈A，则m=2【解答过程】因为1∈0,m,所以m=1或m2若m=1，m2若m2−2m+1=1⇒m=0或2，又m≠0，所以故答案为：2.13．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知集合A={x|x≥1或x≤−2}，B=x|x≥a，若B⫋A，则实数a的取值范围是1,+∞【解题思路】由B为A的真子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可.【解答过程】因为B⫋A，所以a≥1.故答案为：1,+∞14．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A=xx≤3,x∈N，B=2m−1,m,m2，C=【解题思路】首先根据题意得到A=0,1,2,3，根据B=C得到m=2，再求A∩B【解答过程】由题意得，A=0,1,2,3又集合B=C，若2m−1=3，则m=2，此时B=2,3,4，C=则A∩B=2,3，故A∩B子集个数为2若2m−1=3m−2，m=1，B=1,1,1综上得：m=2时，A∩B子集个数为4个.故答案为：4.四、解答题15．（2024高一·全国·专题练习）设A是非空实数集，满足若a∈A，则11−a∈A，且(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素；(2)集合A是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由.【解题思路】（1）根据题意得到11−2=−1∈A，（2）若A中只有一个元素，则a2【解答过程】（1）由于2∈A，则11−a=11−2=−1∈A，于是2∈A，所以A中至少还有两个元素：−1,1（2）若a∈A，则11−a∈A，且A中只有一个元素，所以a=11−a，即a216．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是