2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：拓展之平面向量的拓展应用（学生版+解析）

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用

目录

高频考点一：平面向量夹角为锐角问题.................................1

高频考点二：平面向量夹角为钝角问题.................................2

高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）...............3

高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）...............4

高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）..........5

高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）...............6

高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）............7

高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）7

高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））41

高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）......9

高频考点一：平面向量夹角为锐角问题

典型例题

例题1.（2024•陕西•模拟预测）已知P：向量4=（-1,1）与，=（加,2）的夹角为锐角.若。是假命题，则实数

m的取值范围为（）

A.（—2,2）B.2）u（—2,2）

C.{-2}u[2,+8）D.[2,+oo）

例题2.（2024高三・全国•专题练习）已知：，）为互相垂直的单位向量，a=i-2j,b=i+Aj,且°与6的

夹角为锐角，则实数％的取值范围为.

例题3.（2024高一■全国•专题练习）已知q,e2是夹角为60的两个单位向量.若。=3q+2e2,b=tex+2e2,

其中teR,若a,6的夹角为锐角，求t的取值范围.

练透核心考点

1.（23-24高一下.重庆渝中.阶段练习）已知平面向量&=0"）与6=（4,2）的夹角为锐角，则实数4的取值

范围是.

2.（23-24高一下•福建莆田•阶段练习）已知卜卜@N=l,a与6的夹角为45.

（1）求。在方方向上的投影向量；

（2）求k+2目的值;

⑶若向量（2a-到与伽-36）的夹角为锐角，求实数几的取值范围.

高频考点二：平面向量夹角为钝角问题

典型例题

例题1.（23-24高一下•山东德州•阶段练习）已知卜卜右,忖=2,。与人的夹角为30。，若向量“+b与我/

的夹角为钝角，则几的取值范围是（）

A.（l,+oo）B.1一

C.D.。+°°）

例题2.（23-24高一下•重庆•阶段练习）若向量。=（2,-1）,6=（-3,。的夹角为钝角，则实数/的取值范围

为.

例题3.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）已知向量。与6的夹角为。=七，且同=3,忖=2忘.

（1）求心6,卜+可；

（2）求a与“+6的夹角的余弦值；

⑶若B+2b与3a+4b夹角为钝角，求实数上的取值范围.

练透核心考点

1.（23-24高一下•江苏连云港•阶段练习）设两个向量e「e；满足同=2,同=1,鼻,，之间的夹角为60。,

若向量21+7e?与向量弓+b；的夹角为钝角，则实数/的取值范围是（）

A/14_£

一F

~~2

V14_j_

2.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）设两个向量a,。满足a=（2,0）,b=

（1）求a在b上的投影向量（用坐标表示）；

⑵若向量2〃+76与向量a+仍的夹角为钝角，求实数f的取值范围.

高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）

典型例题

例题1.（2024•河南信阳•模拟预测）已知e为单位向量，向量。满足。・e=2,|。-就|=1,则同的最大值

为（）

A.4B.2C.75D.5

例题2.（23-24高一下•浙江,阶段练习）已知恸=2,忖=3,则卜+可+卜-耳的取值范围是（）

A.卜,2屈]B.[4,10]C.[6,2A/13]D.[6,10]

例题3.（23-24高三下•上海松江•阶段练习）向量.也。满足|1|=山=2,\a-b\=2,\2a-c\=^,贝“c-6|

的最大值为一.

练透核心考点

1.（2024•全国•模拟预测）在ABC中，AB=4,ZACB=^,。为A3的中点，则|。力的最大值为（）

A.6B.2AC.3下＞D.46

2.（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）若.、6是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，向量c满

足（a-c）.仅-c）=0,则同的最大值是.

3.（23-24高一下•广东深圳•阶段练习）定义：已知两个非零向量a与6的夹角为仇我们把数量H^sind叫

做向量.与b的叉乘axb的模，记作依0,即人为邸卜in/

（1）若向量a=（2,4）,6=（-3』），求,x6；

⑵若平行四边形A5CD的面积为4,求|ABxAD|；

（3）若卜、4=退，a-b=l，求卜+20的最小值.

高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）

典型例题

例题1.（23-24高一下・重庆渝中•阶段练习）已知向量a、6、＜?满足：6为单位向量，且a+26和。-2》相互

垂直，又对任意/leR不等式劝以a-切恒成立，若。=等。+手6（火火），则同的最小值为（）

A1R673「571306a

51313

例题2.（23-24高一下,重庆•阶段练习）已知向量。4、0B垂直，且网=画=24,若问0,1],则

《80-的最小值为（）

A.34B.26C.24D.14

例题3.（23-24高三下・浙江•开学考试）已知平面向量”,6满足阿=1,卜,。+6）=《，则卜-耳的最大值为（）

A.2B.72+1C.A/3+1D.3

练透核心考点

1.（23-24高一下•北京•阶段练习）已知向量a,"c满足忖=1，M=6,a-b=~^a-c,b-<^=30,贝！|卜|的

最大值等于（）

A.2币B.77C.2D.72

2.（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知”,N为圆/+丁=9上两点，点A（l,2）,

且则线段MN的长的取值范围是（）

A.[4一也4+@B.[713-A/2,V13+A/2]

C.[4-6,4+向D.[713-75,^+75]

3.（2024高三•全国•专题练习）已知同=忖=2,同=1,（a-c）-（Z?-c）=O,则k-司的取值范围是（）

A.[76-1,^+1]B.币-'V7+1

2'2

a-1V6+1

C.[^-1,77+1]D.

2'2

高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）

典型例题

例题1.（23-24高一下•重庆•阶段练习）己知平面向量a,b,c满足：a-&=|c|=2,|a-c|=3,|z?-c|=4,

贝I]卜+6_,且上+目的取值范围为.

练透核心考点

1.（2024•全国•模拟预测）已知a也d为单位向量，且卜”5*7,则|2a-"6-2c|的最小值为（）

A.2B.2^/3C.4D.6

高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）

典型例题

例题1.（23-24高二上•福建泉州•期中）在棱长为2的正方体ABC。-451GA中，E为BC中点，/在平

面A3CD内，且满足则点+++的取值范围是（）

A.痔1，空B.[2（^5-l）,2（V5+l）]

C.[1,2]D.[2,4]

例题2.（23-24高三・浙江•开学考试）de?均为单位向量，且它们的夹角为45。，设°,6满足

\a+e2\=^-,b=ei+ke2（keR）,则|a—b|的最小值为（）

A.0B.立C.比D.述

244

例题3.（23-24•浙江温州•模拟预测）已知平面向量a,6满足|5a-6|=4,a）则同的取值范围

是.

练透核心考点

II.IIUUttI1ULI

1.（23-24局三上•重庆九龙坡•期中）已知的_LA82,3J=|O周=1,AP=ABX+AB2,|OF|<-,贝

的取值范围（）

A.吗,5B.咚，业

C.耳，亚D.（今向

2.（2024,新疆乌鲁木齐•二模）已知4，&，怎4，3五个点，满足：AA+/4+A+2=°5=I，2,3）,

14AH4+；|=〃（〃=1,2,3）,则H闻的最小值为-

3.（23-24高三上・河南驻马店,阶段练习）△Q4B是边长为6的正三角形，点C满足QC=〃zQA+〃QB,且

m>0,n>0,m+n=2,贝!!|。。|的取值范围是.

高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）

典型例题

例题1.（23-24高三上•陕西西安•期中）在直角AASC中，AB=3,AC=4,BC=5,点M是AABC外接圆上

任意一点，则的最大值为（）

A.6B.8C.10D.12

例题2.（23-24高三上・北京大兴•期中）己知等边的边长为4,E,尸分别是筋,AC的中点，则

EFEA=;若M,N是线段BC上的动点，且眼叫=1,则.硒的最小值为.

练透核心考点

1.（23-24高三上•湖北武汉•期末）已知一ABC中，NA,NB,2C的对边。，b,c成等比数列,

2cos（A-C）-2cosB=l,延长BC至点。，使BD=5.求：

（1）18的大小；

⑵ACCD的取值范围.

高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）

典型例题

例题1.（2024•全国•模拟预测）如图，已知正六边形A3c的边长为2,对称中心为O,以。为圆心作

半径为1的圆，点M为圆。上任意一点，则CM的取值范围为（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.卜6百,o]

3

⑵若AD=ABC,ADAB=--,求实数人的值;

⑶在（2）的条件下，若〃，N是线段8c上的动点，且NM=1,求DM.DN的最小值.

练透核心考点

7T

1.（多选）（23-24高一下•四川凉山•阶段练习）己知梯形ABC。中，AD//BC,ZB=y,AB=2,BC=4,

AD=1,点、P,。在线段BC上移动，且尸。=1,则。尸⑺。的值可能为（）

111311

A.3B.—C.—D.—

224

2.（2024•天津河西•一模）在.ABC中，£>是AC边的中点，AB=3,ZA=60°,BCCD=-5，贝UAC=;

设M为平面上一点，M2AW=tAB+（l-t）AC,其中teR,则MB-MC的最小值为.

3.（23-24高一下•山东济宁•阶段练习）如图，已知。是边长为6cm的正方形A3CD的中心，质点勺从点A

出发沿A-。fC-3方向，同时质点G也从点A出发沿Af8fC方向在该正方形上运动，直至它

们首次相遇为止.已知质点4的速度为2cm/s,质点八的速度为1cm/s.

（1）请将表示为时间f（单位：s）的函数

⑵求的最小值.

高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）

典型例题

rr2r2rr*、22.

例题1.（23-24高一下•江苏苏州•期中）阅读一下一段文字：（za+5）X=a+2a-b+b,ya-b^=a-2a-b+b2,

两式相减得（。+加,-（a-力2=4a.bna/=：［（〃+加2一（。一份2］我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现

了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为"模"的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，

在AABC中，。是BC的中点，E,尸是上的两个三等分点.

,、uuuuum,*

(1)右AZ)=6,BC=4,求的值；

(2)若A8AW=4,FBFC=-1，求破EC的值.

例题2.（23-24高一下•贵州•阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①@+,12+2荽+沫；

②（"4=J_2〃为+/.由①一②得卜+可_",%,人=q.%=（"+'，我们把最后推出

的式子称为"极化恒等式"，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为"模"的运算.如图所示

的四边形A3CD中，BD=8,ABAD=48,E为3。中点.

（1）若cos/84。=一,求△ABZ）的面积;

⑵若2AE=EC,求C9CO的值.

练透核心考点

1.（23-24高一下•重庆沙坪坝•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线"与"差对角线"平方差的四分之一.即如图所示：«^=^|AD|2-|BC|2）,我们称为极化恒等式.在△

ABC中，M是BC中点，AM=3,BC=10,则ARAC=（）

A.32B.-32C.16D.-16

2.（23-24高一下•广东潮州•阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①m+»2=J+2a.6+『；

②（a-Z>）2=J—2a-6+『.由①-②得（a+b）2—（a—b）2=4a-ba-b=（"+♦）J"——,我们把最后推出的

式子称为"极化恒等式"，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为"模"的运算.如图所示的

四边形A3co中，BD=8,ABAD=48,E为3。中点.

（1）若cos/BAr>==,求ABC的面积；

⑵若2AE=EC,求CBCZ）的值；

⑶若P为平面ABCD内一点，求PA（PB+PD）的最小值.

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用

目录

高频考点一：平面向量夹角为锐角问题.................................1

高频考点二：平面向量夹角为钝角问题.................................2

高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）...............3

高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）...............4

高频考点五：平面向量模的最值（或范围）问题（三角不等式法）........5

高频考点六：平面向量模的最值（或范围）问题（坐标法）...............6

高频考点七：平面向量数量积最值（或范围）问题（定义法）............7

高频考点八：平面向量数量积最值（或范围）问题（向量数量积几何意义法）7

高频考点九：平面向量数量积最值（或范围）问题（坐标法（自主建系法））41

高频考点十：平面向量数量积最值（或范围）问题（积化恒等式法）......9

高频考点一：平面向量夹角为锐角问题

典型例题

例题1.（2024・陕西•模拟预测）已知P：向量与人=（加,2）的夹角为锐角.若。是假命题，则实数

加的取值范围为（）

A.（-2,2）B.（-8,-2,2）

C.{-2}u[2,+8）D.[2,+oo）

【答案】C

【分析】利用向量夹角为锐角得到关于〃z的不等式组，进而求得优的取值范围，再结合。为假命题取机的

取值范围的补集即可得解.

【详解】当向量向量a=(-U)与6=(f2)的夹角为锐角时，

，..,f-m+2>0

有〃•/?>()且a与Z?方向不相同，即《。，解得根<2且根。-2,

[m^-2

因为。是假命题，所以实数机的取值范围是{-2}[2,y).

故选：C.

例题2.(2024高三・全国•专题练习)已知i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j,b=i+Aj,且〃与b的

夹角为锐角，则实数2的取值范围为.

【答案】且Xw-2

【分析】根据题意可知||=1,口=1,厂，=0,°为>0,可得出力的取值范围，再计算a与b同向时彳的值，

即可得2的取值范围.

【详解】因为a与b的夹角为锐角，

所以。力=忖・卜卜05卜,»>0,且a与人不同向，

所以。2=(£_2/}1+/0)=/+(/1_2)3/_2；1/=『+(；1_2)3/_2彳)，>0,

因为i，/为互相垂直的单位向量，

所以片1,什=1,"=0,

所以1—2X>0,可得4<工，

2

当a与。同向时，a=#(f>0),即，-2/=巾+由)，

[t=1fX=—2

可得c,,可得,,此时不满足a与6的夹角为锐角，

[-2=At匕=1

综上所述：实数4的取值范围为4<g且Xw-2.

故答案为：2<=且/1#-2.

例题3.(2024高一•全国•专题练习)已知,，g是夹角为60的两个单位向量.若〃=3令+2%，〃=的+2%，

其中若a,h的夹角为锐角，求才的取值范围.

【答案】[：,3,(3,+⑹.

【分析】

向量的夹角为锐角，转化成为向量的数量积大于0,且向量不共线，从而求参数的取值范围.

【详解】

二,，e；是夹角为60°的两个单位向量，

所以6q=lxlxcos60°=—,

因为〃，Z7的夹角为锐角，

由Q•。>0+2弓）,+2%）>。3加］+（6+2%）G生2+弓〉0

17

=4>3^+—（6+2z）+4>0=>f>.

由〃///?n3x2-21=0n，=3,

综上，f的取值范围是丝彳且*3,即（3,+⑹.

练透核心考点

1.（23-24高一下.重庆渝中.阶段练习）已知平面向量。=（1"）与6=（4,2）的夹角为锐角，则实数4的取值

范围是.

【答案】2>-2且2、

【分析】

因a,b夹角为锐角可知数量积大于0,但要去掉夹角为0的情况.

【详解】

由题意知=4+24>0,得4>一2,

当包>=0时，1=1,得2

故答案为：九>-2且4W工

2.（23-24高一下•福建莆田•阶段练习）已知卜卜@N=l,a与b的夹角为45.

（1）求。在方方向上的投影向量；

（2）求卜+20的值；

⑶若向量（2”刖与（痛-3b）的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

【答案】（1）6

⑵加

⑶（1,回（跖6）

【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；

（2）通过卜+2〃=44+26J展开计算；

（3）根据（2。一九6》（/1々-36）>0,且（2a—4b）与（％“一36）不共线计算求角笔

,血xlx交

【详解】（1）a在b方向上的投影向量为曰为=_______，b=b；

好1

（2）|a+2Z?|=^a+2Z?j=\la2+4a-b+4b2=u2+4x^xlx^^-+4=^/10：

（3）因为向量（2“-刖与伽-36）的夹角为锐角，

所以（2a—46）-（/la-36）>0,且（2a—Xb）与（2a—3b）不共线，

对于（2〃-&?）.（/1〃-3/7）>0,

得2而2一啰+6）4.》+3加=4；1-（42+6）+3/1>0,

解得1<A<6,

若（2"刖与伽-36）共线，

则存在2。_彳6=〃仅0—36）,得〃二2,解得力=±而，

'7[4=3〃

所以若向量（2a-劝）与（而-36）的夹角为锐角，实数几的取值范围为（1,何。（疝6）.

高频考点二：平面向量夹角为钝角问题

典型例题

例题1.（23-24高一下•山东德州•阶段练习）已知,卜后忖=2,。与人的夹角为30。，若向量“+6与而-6

的夹角为钝角，则几的取值范围是（）

A.（l,+oo）B.钝,1）

C.（-ao,T）D.

【答案】C

【分析】由题意当且仅当-人）•（。+。）=6九-7<0且初一人与不反向才满足题意，由此解不等式组

即可求解.

【详解】已知卜|=6,忖=2,a与）的夹角为30。，贝00=同回853。。=若x2xf=3,

由题意（/1々一6）-（4+6）=/1〃+（4—1）4力一万2=32+3（/l-l）-4=6X-7<0,

7一.

「.4又2=—1时，4a—6与反向，

6

7

2<一,且用<—1.

6

故选：C.

例题2.（23-24高一下•重庆•阶段练习）若向量a=（2,-1）,。=（-3,4的夹角为钝角，则实数f的取值范围

为.

【答案】[-6,|]G'+j

【分析】

两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不同向共线，由此可求参数的取值范围.

【详解】

因为向量。=（2,—1）,。=（-31）的夹角为钝角，

所以且不同向共线，

由a,6<0n—6-t<0nt>—6；

3

由a//bn2f—3=0=>r=K

2

所以a，》的夹角为钝角，可得f的取值范围是：16,,）（看+s]

故答案为：[-Gq][T,+s]

例题3.（23-24高一下•广东广州,阶段练习）已知向量。与6的夹角为。=个，且同=3,恸=20.

（1）求a也卜+外；

（2）求。与a+6的夹角的余弦值；

⑶若+2b与3a+46夹角为钝角，求实数上的取值范围.

【答案】（1）。.6=-6，卜+。卜&'

⑵t

（3）^<-y

【分析】（1）根据定义得出内积的值，并根据1+。卜J（a+6）•（a+6）展开得至U卜+N；

/、a-xa+b]

（2）利用直接计算cos（a,a+3=6~^即可得到结果；

\/忖,+可

（3）将条件转化为（左4+26＞（30+46）＜0且（左0+26卜（30+46）2一上。+2闻30+40,然后计算，解不等式即

可得到结果.

3兀

【详解】（1）由题目条件知=cos—3-2A/2.

4

〃+0=J(a+♦).(.+〃)=+W+2(q.〃)=,9+8-12=布.

.、aAa+b)|tz|+a-b9-6A/5

(2)cos(a9a+b)=-r-v\------

'/〃Q+Z?|„+03•百一5

(3)由于(左〃+26>(3〃+4q=3左,1+8忖2+(4左+6)〃2=27左+64—6(4左+6)=3左+28,

\ka+2/?|=Q(ka+2b)=Jz：2H+4左(。0)+4忸|=d9k?-24G+32,

,+40=J(3a+哂=料°『+24,功)+16M=181-144+128=厢,

而fa?+26与3。+4b夹角为钝角，这等价于(—+26)•(3a+46)<0且+26)•(3a+叼w-卜。+2Z?|卜。+4Z?|.

______________28

从而3米+28<0且3妹+28/-屈.也/-24k+32，艮I3左<一可且39+283一痴•,95?-24>+32•

将方程3左+28=一厢.回―24Z+32变形为(3左+28?=65(9k2-24k+32),

整理得到144（2"3）2=0,即1=|.

9Q

这在左〈一三时一定不成立，故可直接去除该条件.

从而上的取值范围是左〈一三.

练透核心考点

1.（23-24高一下•江苏连云港,阶段练习）设两个向量G，e2满足同=2,同=1,e；,02之间的夹角为60°,

若向量21+7«2与向量q+G的夹角为钝角，则实数f的取值范围是（）

B.

D.

【答案】B

【分析】根据题意，（2咐+7/＞（6+北2）＜0,且不能共线反向，再求解即可得实数f的取值范围;

【详解】因为同=2,同=1,q与的夹角为60。,

所以,=2xlxcos60°=l,

因为向量2g+7弓与向量q+%的夹角为钝角，

所以（23+70（6+&）＜。且不能共线反向，

若（2咐+7e2j-（6+&）＜0,

则（2,,+74）,卜1+,4）=|+（2»+7）6]•『+7441=2〃+%+7＜0,

解得一7＜%

若向量2宿+7。与向量,+%共线反向，则有2组+7々=4（6+加2）（4V。），

”一包

2t=解得‘一〒（舍去）或“〒所以由半

加=7

4=y/14Z=—V14

（VuWA/141

综上可得实数/的取值范围一7,-弓-u

故选：B

2.（23-24高一下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）设两个向量出。满足0=（2,0）,6=（：,停）

⑴求“在6上的投影向量（用坐标表示）；

（2）若向量2加+76与向量。+防的夹角为钝角，求实数f的取值范围.

【答案】（1）（：,#）;

⑵㈠,粤）（一半,f

【分析】（1）根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.

（2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量的坐标表示求解即得.

【详解】（1）依题意，a-b=\,\b\=\,所以a在6上的投影向量是24方=6=

\b\~

(2)由a=(2,0),6=(工,且)，得2S+7b=(47,0)+(1,拽)=(4/+Z,

22222

a+tb=(2,0)+(―t,1)=(2+—f,

由向量2s+76与向量a+协的夹角为钝角，得（2优+7力・（。+法）＜0,且2相+7b与a+仍不共线,

“7、小1、7名若八

2r+151+7<01J]4

2厂222,整理得v

因此,2c，斛得且/W-----

〃7、6小1、7逝八2/一7。022

(4/H—),—/—(2-I—/)----w0

2222

所以实数’的取值范围是（-7「半）口（一半

高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题（定义法）

典型例题

例题L（2024•河南信阳•模拟预测）己知e为单位向量，向量。满足a-e=2,卜-/|=1,则同的最大值

为（）

A.4B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】利用进行转化，把转化成二次函数，再用二次函数的性质求值域.

【详解】因为,一友卜1,

所以=（q_/ie）2=,「-2Aa-e=\a\~-42+22=1

所以同2=-/l2+44+l=-（/l-2）2+5<5,所以同4右.

故选：C

例题2.（23-24高一下•浙江•阶段练习）已知忖=2,忖=3,则卜+匕卜卜-可的取值范围是（）

A.卜,2耳]B.[4,10]C.[6,2A/13]D.[6,10]

【答案】C

【分析】设向量“，6的夹角为。，求得卜+司+卜-司的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等

知识求得正确答案.

【详解】设向量°,方的夹角为。，则,+b|==A/13+12COS0,

因为,_W=J（a-b）2=J13-12cos6,

所以,+司+卜—N=A/13+12COS0+J13-12COS6,

令丫=卜+囚+,一.,则J=26+2jl69-144cos2。,

因为cos/e[0,1],所以Ve[36,52],又y>0,所以ye[6,2小].

故选：C

例题3.(23-24高三下,上海松江•阶段练习)向量a,6,c满足|酊=山=2,\a-b\=2,\2a-c\=j3,贝“c-6|

的最大值为一.

【答案】3#)

【分析】利用数量积的运算法则求得〈。涉〉=],从而假设“,b,c的坐标，进而得到c的三角表示，再结合三

角恒等变换即可得解.

【详解1因为|。|=|8|=2,|a-b|=2,

所以|“一切2=力-20/+d=4-24/+4=4,贝I]a?。2,

则同・卜卜0$〈&,6〉=48$3,6〉=2,所以cos〈W,6〉=g,

TT

又因为04〈。,6〉〈71,所以〈a,6〉=§,

则可设4=(2,0),Z?=(1,V3),c=(x,y),贝5|2a—C=(4-x,-y),

又因为|2商-2»|=百,所以(x-4)?+y2=3,

故又可设e的坐标为(6cosa+4,石sina),

所以|c-Z?|2=(^costr+3)2+(石sina-百―=6A/3COScr-6sin+15

=-12sin^--|j+15<27,

因此|c-6区36，所以|c-b|最大值为36.

故答案为：373.

练透核心考点

1.(2024•全国•模拟预测)在‘ABC中，AB=4,ZACB=^,。为A8的中点，则|CC)|的最大值为()

A.6B.2百C.35/3D.4百

【答案】B

【分析】先由平面向量基本定理及数量积求出余弦定理求出,斗，解法一利用重要不等式求解即可；解法

\CD\

二先利用重要不等式求灯的最大值，再结合题意求解即可；解法三根据数形结合得出三点共线时取得最

\AB\

大值，进而求出.

7T

【详解】记AC="BC=a,由于/ACB=§,。为AB的中点，贝U2c。=C4+C8，

等式两边平方得：4口。『=(CA+C8『=62+a2+26acos/AC8=62+a2+a6.

在-ABC中，由余弦定理得|AB「=cr+b2-2abcosZACB=cr+b2-ab=\6.

解法一：S16=+Z72-tzZ?>2ab-ab=ab所以〃bK16,

当且仅当。=。=4时，等号成立，所以4同『=16+2"V16+2X16=48,故|西<2右.

解法工因为卬|=；以+"+"」尸匚就寿」干2b匚鱼

a

22222a+bab2

\AB\yja+b-ab2Va+b-abv~»2ab-ab2

IIIIIe©

当且仅当a=6时，即C4=CB时，等号成立，即为的最大值为组.

|邛2

又|AB|=4,所以|CD|的最大值为26.

7T

解法三：在ASC中，AB=4,ZACB=~,

所以ASC外接圆圆。的半径为生8,ZAOB==^.

33

在AO3中，依口=/4^一*=*.

因为|OC|=苧，|CD|w|oq+|oq=26,

当且仅当O,c,。三点共线时等号成立，所以|CD|的最大值为2君.

故选:B.

2.（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）若°、8是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，向量c满

足（aV）.伍-c）=0,则同的最大值是.

【答案】272

【分析】首先根据数量积公式展开，再化简同=20cos1,转化为三角函数求最值.

【详解】〃、6是平面内两个互相垂直，且模长都是2的向量，

.•.设a=（2,0）,人=（0,2）,

+W=2-\/2,a-b=0>

^a-cy（b-c^=a-b—a-c—b-c+c2=c2-^a+b^-c=0,

|c'=[^a+b^-c=|fl+/?|-|c|-cosa,

其中a为向量a+b与d之间的夹角，ae[0,兀I，

问=0或k|=,+1=2A/2cosa,

ae[0,TT],cosee[-1,1],

\c\=2s/2cosaG[-20,20],

，同的最大值是20.

故答案为：2及.

3.(23-24高一下•广东深圳•阶段练习)定义：己知两个非零向量°与人的夹角为。.我们把数量MWsin。叫

做向量a与b的叉乘axb的模，记作林义耳，即做相耶卜in/

(1)若向量"=(2,4),5=(-3,1),求,x4

(2)若平行四边形A3CD的面积为4,求k^xAD］；

(3)若k*q=有，a,b=l，求k+20的最小值.

【答案】①14

(2)4

(3)273

【分析】⑴利用向量数量积的运算求得什,W，cos。，从而利用新定义即可得解；

(2)利用平行四边形的面积公式，结合新定义即可得解；

(3)利用新定义与向量数量积的定义求得见b的夹角，从而得到NW，再利用向量数量积的运算法则与基

本不等式即可得解.

【详解】(1)因为：=(2,4),6=(-3,1),

则a2=2x(—3)+4xl=_2,忖=J4+16=2岔,恸=7^71=M

-2=忘

所以cosO=qL

275x710-10

因为。是向量的夹角，所以6e［0,兀］,

因止匕sin6=A/1-COS26=~~，故,x0=卜|恸sin6=2石xx7f=14.

(2)因为平行四边形ABC。的面积为4,

所以网.〔AD卜inZBAO=4,所以网xA*4.

(3)因为卜=百,<7.6=1,

所以词.昧in(a,砂=/,||.Wcos(a⑹=1,所以tan(a,b)=石,

因为卜，弓e(0,兀)，所以,=所以卜雨=2,

所以卜+20=|a|+4.力+4卜|>2^|a|x4|/?|+4=12,

当且仅当卜『=4此，则a|=2,=2时等号成立，所以卜+20的最小值为2万

高频考点四：平面向量模的最值（或范围）问题（几何法）

典型例题

例题1.（23-24高一下•重庆渝中•阶段练习）已知向量满足：匕为单位向量，且&+26和相互

垂直，又对任意/LeR不等式|a-劝以。-6|恒成立，若c=等。+一6（〃eR）,则同的最小值为（）

A1R6由「5gn6a

51313

【答案】D

【分析】根据已知由向量垂直可得a的模，再由不等式|。-劝因。-切恒成立，结合图象可得（〃-6），匕，

从而可得a,6=60,接下来方法一，直接对卜|进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线

基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.

【详解】M+2。和a—2b相互垂直，

则（〃+2。）・（〃-2。）=|&|2—4|切2=0」。|=i,则同=2,

结合图象，OA=a,OB=b,OB]=尢b,

则