广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学科试卷含答案解析

惠州中学2023级高二年级上学期期中考试数学科试卷说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−5x+6≥0}，则下列结论正确的是(

A.A⊆B B.A∪B=A C.A∩B=B D.∁2.复数z=−2i2−i+1，则z的虚部是(

A.−i B.i C.−1 D.13.已知函数f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,则f(1)−f(3)=

(

A.−2 B.−7 C.27 D.74.已知cosx−π6=−33，则A.−1B.±2335.已知空间向量|a|=3，|b|=2，且a⋅b=2，则b在A.a B.29a C.926.点A(4,−3),B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.k≥1或k≤−4 B.k≥1或k≤−4C.−4≤k≤1 D.−7.方程|x|−1=1−(y−1)2所表示的图形是(

A..一个半圆 B.一个圆 C.两个半圆 D.两个圆8.已知实数x,y满足x2+y−22=1，则|A.12B.277 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，则(

A.|a|=|b| B.c−b=(2,−1,2)

C.a⊥b 10.已知直线l：y=kx+k+1，下列说法正确的是(

)A.直线l过定点(1,−1)

B.当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+y+2=0

C.点P(3,−1)到直线l的最大距离为25

D.直线11.已知圆M:x2+(y−2)2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点CA.四边形PAMB周长的最小值为2+2B.|AB|的最大值为2

C.若P(1,0)，则三角形PAB的面积为85 D.若Q(154,0)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分．12.已知圆M经过点A(−2,0)，B(0,4)，C(0,0)，则圆M的标准方程为______．

13.已知直线l经过点A2,3,1，且n=2,0,2是l的方向向量，则点P4,3,214.在平面直角坐标系中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，定义d(P,Q)=x1−x2+y1−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)

为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图所示的频率直方图．

(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数;(2)从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求216.(本小题15分)

已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60∘，A1C1=3NC1，D1B= 2MB，设17.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sinxcosx−12cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，18.(本小题17分已知点A(−1,2)和直线l:x−y+1=0.点B是点A关于直线l的对称点．(1)求点B的坐标；(2)O为坐标原点，且点P满足|PO|=3|PB|(3)若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围．19.(本小题17分)在RtΔABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE//BC且DE经过ΔABC的重心，将ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置，使A(1)求证：A1C⊥平面(2)在线段A1C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN的夹角的余弦值为34

惠州中学2023级高二年级上学期期中考试数学科试卷参考答案说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−5x+6≥0}，则下列结论正确的是A.A⊆B B.A∪B=A C.A∩B=B D.∁1.解：∵A={x|−1⩽x⩽1}，B=x|x2−5x+6≥0=x|x≥3或x≤2，∴A⊆B，故A选项正确；

∴A∪B=x|x≥3或x≤2=B，故B2.复数z=−2i2−i+1，则z的虚部是A.−i B.i C.−1 D.12.解：复数z=−2i2−i+1=2−i+1=3−i，故z的虚部为−13.已知函数f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,则A.−2 B.−7 C.27 D.7

3.解：f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,∴f(1)=f(1+3)=f(4)=17，f(3)=104.已知cosx−π6=−3A.−1 B.±233 4.解：cosx+cos5.已知空间向量|a|=3，|b|=2，且a⋅b=2，则A.a B.29a C.925.解：由题意可知

b在

a上的投影向量为

a·baaa=23×a3=6.点A(4,−3),B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(

)A.k≥1或k≤−4 B.k≥1或k≤−43 C.−4≤k≤1 6.解：如图，点A4,−3，B−2,−2，点P(1,1)，

则kPA=1+31−4=−43，kPB=1+21+2=1，

直线l7.方程|x|−1=1−(y−1)2A..一个半圆 B.一个圆 C.两个半圆 D.两个圆7.解：由题意，首先|x|>1，平方整理得(|x|−1)2+(y−1)2=1，

若x>1，则是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆

若x<−1，则是以(−1,1)为圆心，以1为半径的左半圆

总之，方程表示的曲线是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆与以(−1,1)为圆心，以8.已知实数x,y满足x2+y−22=1，则A.12 B.277 8解：设P(x,y)表示圆x2+(y−2)2=1上一动点，则|3x+y|2表示点P到直线3x+y=0的距离d1，

x2+y2表示点P到原点O的距离d2，又圆心0,2到直线3x+y=0的距离为2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，则A.|a|=|b| B.c−b=(2,−1,2)

C.a⊥b 9.解：因为a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，

所以|a|=22+(−1)2+22=3，|b|=22+22+10.已知直线l：y=kx+k+1，下列说法正确的是(

)A.直线l过定点(1,−1)

B.当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+y+2=0

C.点P(3,−1)到直线l的最大距离为25

D.直线10.BC解：对于A，由直线l：y=kx+k+1可化简为y−1=k(x+1)，

所以直线l表示经过定点(−1,1)、斜率为k的直线，故A项错误；

对于B，当k=1时，直线l的方程为y=x+2，

用−y代换y得−y=x+2，整理得x+y+2=0，即为直线l关于x轴对称的直线，故B项正确；

对于C，因为直线l经过定点M(−1,1)，所以当直线MP⊥l时，点P(3,−1)到直线l的距离最大，

最大距离为|MP|=(−1−3)2+(1+1)2=25，故C项正确；

对于D，当k=1时，直线11.已知圆M:x2+(y−2)2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MPA.四边形PAMB周长的最小值为2+23 B.|AB|的最大值为2

C.若P(1,0)，则三角形PAB的面积为85 D.若Q(11.解：

PA,PB均与圆M相切，MA=MB=1，PA⊥AM,PB⊥BM，

则PA=PB=PM2−1．

对于A，四边形PAMB周长为l=PA+PB+AM+BM=2PM2−1+2，

因为点P为x轴上一个动点，所以PM的最小值即为点M到x轴的距离d=2−0=2，则PM⩾2，

所以l=2PM2−1+2⩾24−1+2=23+2，

即四边形PAMB周长的最小值为2+23，故A正确；

对于B，可知△PAM≌△PBM，则∠AMP=∠BMP，

所以PM⊥AB，所以AB=2AC，

由S△PAM=12PA·AM=12PM·AC可得AC=PA·AMPM=PM2−1PM=1−1PM2，

因为PM⩾2，所以0<1PM2⩽14，所以32⩽1−1PM2<1，

即32⩽AC<1，所以3⩽AB<2，故B错误；

对于C，若P(1,0)，则PM=1−02+0−22=5，

由选项AB可得PA=PM2−1=2，AC=1−1PM2=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分．12.已知圆M经过点A(−2,0)，B(0,4)，C(0,0)，则圆M的标准方程为_________________．

12.解：设圆M的方程为(x−a)2+(y−b)2=r13.已知直线l经过点A2,3,1，且n=2,0,213.解：

PA→=(−2,0,−1)，故|

PA|

=5，cos⁡⟨PA→,n→⟩=PA→·n→|PA→||n→|=−325×2=−3101014.在平面直角坐标系中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，定义d(P,Q)=x1−x2+y14.解：如图，

该直线与两轴的交点分别为N(0,25),M(5,0)，设P(x,y)为直线上任意一点，

作PQ⊥x轴于Q，于是有|PQ|=2|QM|，所以d=OQ+QP≥OQ+QM=|OM|，

即当P与M重合时，dmin=|OM|=5，

如图所示：

设F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点R，延长FR交直线于点R'，

将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FR'|，设F的纵坐标为m，

则dmin=|FR'|min,|FR'|=2四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)

为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图所示的频率直方图．

(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数;(2)从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求15.解：(1)因为10(0.01+0.01+a+0.04+a)=1......1分

所以a=0.02，......2分

因为共五组，前三组的频率和0.1+0.1+0.2＝0.4<0.5前四组的频率和0.1+0.1+0.2+0.4=0.8>0.5，所以中位数位于第四组。......4分设中位数为x，则x∈[80,90)，因为(x−80)×0.04=0.1，......5分所以x=82.5；......6分

(2)因为第四组与第五组的频率之比为2:1，

故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d第五组抽取人数为2人，记为e，f，......8分

从6人中选出2人，共有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)样本点个数共有N=15种，......10分

其中选出的2人来自同一组的是：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(e,f)，样本点个数有M=7种，......11分

......12分

答：选出的2人中来自同一组的概率为715．16.(本小题15分)

已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60∘，A1C1=3NC1，D1B= 2MB16.解：(1)MN=MD1+D1A1+A1N......1分

=−12D1B−AD+23A1C1......2分

=−12∴MN的长度为22．......10分

(3)BD→=AD→−AB→=16b⋅a=0......14分

∴直线MN与BD所成角的余弦值为0

......15分17.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sinxcosx−12cos2x，

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=117.解：(1)∵函数f(x)=3sinxcosx−12=sin(2x−π6)，......2分

∴f(x)的最小正周期π．......4分

(2)∵在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=1，

∴f(A)=sin(2A−∴2A−π6=π2+2kπ，kϵZ，∴A=π3+2kπ，kϵZ，......6分

∵0<A<π，∴A=π3，......7分

∵c=2acosB，∴sinC=2sinAcosB，......8分

sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，......9分

∴sinAcosB−cosAsinB=0，......10分

∴sin∴S△ABC=12×6×6×32=918.(本小题17分已知点A(−1,2)和直线l:x−y+1=0.点B是点A关于直线l的对称点．(1)求点B的坐标；(2)O为坐标原点，且点P满足|PO|=3|PB|(3)若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围．18.解：(1)设B(a,b)，A(−1,2)，因为点B与点A关于直线l的对称，

则有线段AB的中点M(a−12,b+22)在直线l上，......1分又直线AB⊥直线l，且直线l的斜率为1，则b−2a+1=−1，即 a+b−1=0故点B的坐标(1,0)；......6分

(2)设P(x,y)，