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文档简介

河南省开封市2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列2.已知集合,,则()A. B.C. D.3.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.4.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.5.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.76.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.47.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.8.若复数()在复平面内的对应点在直线上,则等于()A. B. C. D.9.已知函数,且),则“在上是单调函数”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.若关于的不等式有正整数解,则实数的最小值为()A. B. C. D.11.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件12.已知函数,则不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,满足约束条件则的最小值为__________.14.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上,且,,则__________.15.已知等差数列的各项均为正数,,且,若,则________.16.已知,,则与的夹角为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某公司欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.(1)求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);(2)记每日生产平均成本求证:;(3)若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减,连续注入天,求证:这天的总投入资金大于亿元.18.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.19.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率是,动点在椭圆上运动,当轴时,.(1)求椭圆的方程;(2)延长分别交椭圆于点(不重合).设,求的最小值.20.(12分)设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.21.(12分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.22.(10分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题2、A【解析】

根据对数性质可知,再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵,集合,∴由交集运算可得.故选:A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小,集合交集的简单运算,属于基础题.3、B【解析】

设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.4、A【解析】

先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.5、B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.6、B【解析】

设数列的公差为.由,成等比数列,列关于的方程组,即求公差.【详解】设数列的公差为,①.成等比数列,②,解①②可得.故选:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.7、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.8、C【解析】

由题意得,可求得,再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得,解得,所以,所以,故选:C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义,属于基础题.9、C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件,再看其和的包含关系,利用集合间包含关系与充要条件之间的关系,判断正确答案.【详解】,且),由得或,即的定义域为或,(且)令,其在单调递减,单调递增,在上是单调函数,其充要条件为即.故选:C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题,充要条件的判断,属于基础题.10、A【解析】

根据题意可将转化为,令,利用导数,判断其单调性即可得到实数的最小值.【详解】因为不等式有正整数解,所以,于是转化为,显然不是不等式的解,当时,,所以可变形为.令,则,∴函数在上单调递增,在上单调递减,而,所以当时,,故,解得.故选:A.【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法,涉及到对数函数的单调性的应用,构造函数法的应用,导数的应用等,意在考查学生的转化能力,属于中档题.11、A【解析】

向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.12、B【解析】

由导数确定函数的单调性,利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数,可得,时,,单调递增,∵,故不等式的解集等价于不等式的解集..∴.故选:B.【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性,根据单调性解不等式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

画出可行域,通过平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知:可行域是由三点,,构成的三角形及其内部,当直线过点时,取得最小值.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.14、【解析】由题意可得,该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为,由题意可得:,据此可得:,则球的表面积:,结合解得:.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.15、【解析】

设等差数列的公差为,根据,且,可得,解得,进而得出结论.【详解】设公差为,因为,所以,所以,所以故答案为:【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式,属于基础题.16、【解析】

根据已知条件,去括号得:,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】

(1)求得函数的导函数,由此求得求当日产量为吨时的边际成本.(2)将所要证明不等式转化为证明,构造函数,利用导数证得,由此证得不等式成立.(3)利用(2)的结论,判断出,由此结合对数运算,证得.【详解】(1)因为所以当时,(2)要证,只需证,即证,设则所以在上单调递减,所以所以,即;(3)因为又由(2)知,当时,所以所以所以【点睛】本小题主要考查导数的计算,考查利用导数证明不等式,考查放缩法证明数列不等式,属于难题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取中点,连接,根据等腰三角形的性质得到,利用全等三角形证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,结合锥体体积公式,求得四面体的体积.【详解】(1)证明:如图,取中点,连接,由则,则,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面体的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面体的体积【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查锥体体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1);(2)【解析】

(1)根据题意直接计算得到,,得到椭圆方程.(2)不妨设,且,设,代入数据化简得到,故,得到答案.【详解】(1),所以,,化简得,所以,,所以方程为;(2)由题意得,不在轴上,不妨设,且,设,所以由,得,所以,由,得,代入,化简得:,由于,所以,同理可得,所以,所以当时,最小为【点睛】本题考查了椭圆方程,椭圆中的向量运算和最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、(Ⅰ)当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).【解析】试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,判断函数的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论,第(Ⅲ)问,构造函数=(),利用导数判断函数的单调性,从而求解a的值.试题解析:(Ⅰ)<0,在内单调递减.由=0有.当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增.(Ⅱ)令=,则=.当时,>0,所以,从而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),当时,>0.当,时,=.故当>在区间内恒成立时,必有.当时,>1.由(Ⅰ)有,而,所以此时>在区间内不恒成立.当时,令=().当时,=.因此,在区间单调递增.又因为=0,所以当时,=>0,即>恒成立.综上,.【考点】导数的计算,利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算,利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性,基本方法是求,解方程,再通过的正负确定的单调性;要证明不等式,一般证明的最小值大于0,为此要研究函数的单调性.本题中注意由于函数的极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖,学生不易想到,有一定的难度.21、(1).(2)【解析】

(1)设A的坐标为A(x0,y0),由题意可得圆心C的坐标,求出C到直线x=1的距离.由半个弦长,圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值,进而求出抛物线的方程;(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理,进而求出中点G的坐标,再求出直线OG的斜率的表达式,换元可得斜率的取值范围.【详解】(1)设A(x0,y0)且y02=2px0,则圆心C(),圆C的直径|AB|,圆心C到直线x=1的距离d=|1|=||,因为|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以抛物线的方程为:y2=4x;(2)联立抛物线与圆的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中点G的横坐标xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),则kOG(),解得0<kOG,所以直线OG斜率的取值范围(0,).【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合,换元方法的应用,属于中档题.22、(1)见

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