高等数学（第三版）课件：函数

函数

第一节函数及其性质一、函数的概念二、函数的表示法三、函数的几种特性一、函数的概念1.常量与变量

在某过程中不发生变化而保持一定数值的量称为常量;在某过程中可以取不同数值的量称为变量.常量通常用字母等表示,变量通常用字母等表示.2.函数的概念

定义1

设是两个变量,是一个给定的数集.如果有一个对应法则,使得对于每一个数值

,变量都有唯一确定的数值与之对应,则称变量是变量的函数,记为其中称为自变量,称为因变量.集合称为函数的定义域,记为.

当自变量取数值时,与对应的的值称为函数在点处的函数值,记为或,函数值组成的数集称为函数的值域,记为.

函数的两要素:定义域和对应法则.如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,那么它们是相同的函数.例1

下列函数是否相同，为什么？解

⑴

与不是相同的函数,因为定义域不同.⑵

与是相同的函数,因为定义域与对应法则都相同.注

求函数定义域时应注意的一般规律开偶次方,根号内的表达式不小于零;

对数中的真数必须大于零;

分式中的分母不能为零;

反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能大于1;

分段函数的定义域是各段定义域的并集.二、函数的表示法1.解析法例2

作自由落体运动的物体下落时间为,下落的距离为,假定开始下落的时刻为,那么与之间的依赖关系由下式给出:当时间变化时,距离作相应的变化.

有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示,即在定义域的不同范围内用不同的解析式表示,这成为分段函数.如符号函数如图1.图1时间（月）123456产量（吨）1032102410271038105710472.表格法例3

某炼钢厂上半年生产的钢产量如下表，这里的时间(月)和产量(吨)之间是两个相互依赖的变量.对每个月份,都有唯一一个与相应的产量.3.图像法例4

某自动记录仪记录的某电容放电的电容情况,如图2所示的曲线.图2

根据此曲线,就可知道某电容随时间的变化情况.三、函数的几种特性1.函数的奇偶性

设函数的定义域关于原点对称,对于任意的,若,则称为奇函数;若,则称为偶函数.注①奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;②一个函数可以既不是奇函数,也不是偶函数,

如函数.2.函数的周期性

设函数的定义域为,如果存在一个常数,使得对任意有,且

,则称函数为周期函数,称为的周期.

显然,若是周期函数的周期,则也是的周期,通常说的周期就是最小正周期.

如函数和都是以为周期的周期函数.3.函数的单调性

设函数在区间上有定义,对内的任意两点,当时,若有,则称在上是单调增加的;若有,则称在上是单调减少的.它们统称为单调函数.使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间

.

如函数在内是单调增加的,函数在内是单调减少的.4.函数的有界性

设函数在区间上有定义,如果存在正常数,使得对于区间内所有,恒有,则称函数在区间上有界.如果这样的不存在,则称在区间上无界.

如函数在区间内是有界的.这是因为对于任意的都有成立.而函数在区间内是无界的.第二节初等函数一、基本初等函数三、初等函数四、反函数与隐函数二、复合函数一、初等函数1.基本初等函数

⑴幂函数(为实数);⑵指数函数(是常数且);⑶对数函数(是常数且);⑷三角函数⑸反三角函数arccot二、复合函数

定义2

设是的函数,而又是的函数.如果对于的定义域中某些值所对应的值,函数有定义,则通过也成为的函数,称为由及复合而成的复合函数,记为,其中称为中间变量.

注只有当时,复合函数才有意义.如无意义,因为内函数的值域与外函数的定义域没有公共部分,不能复合.例1

函数是有哪些较简单的函数复合而成的?解是由三个较简单的函数复合而成的.

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次的函数复合步骤所构成,并可用一个解析式表示的函数称为初等函数.

如等都是初等函数.三、初等函数

在工程技术中常常用到双曲函数,其定义如下:

双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切

关于双曲函数的一些恒等式：四、反函数与隐函数1.反函数

设是定义在上的一个函数,其值域为.如果对每一数值,有确定的且满足的数值与之对应,其对应法则记为

,则定义在上的函数称为函数的反函数.

习惯上用表示自变量,表示因变量,故常把的反函数记为例2

求的反函数.解由得交换和,得所以是的反函数.

注函数与其反函数的图形关于直线对称.2.隐函数

由二元方程确定的二元函数称为隐函数.如

前面学习的形如的函数称为显函数.

注有的隐函数可以改写为显函数的形式,如的显函数形式为而