高等数学（第二版）课件：无穷级数

高等数学（第二版）一、无穷级数的基本概念二、级数的基本性质第一节无穷级数的基本概念和性质无穷级数一、无穷级数的基本概念当此等比数列有无限多项，那么无限多项数列的“和”如何计算呢？在初等数学中，我们已经遇到过公比为的等比数列，求其前项和的问题。我们知道等比数列前项和为定义1设给定无穷数列，则式子称为无穷级数，简称为级数，记为，称其第项为级数的一般项（或称通项）。由此可由无穷级数得到一个部分和数列定义2设给定数列，则其前项和称为级数的前项部分和，简称为部分和。若存在，则称级数收敛，并称此极限值S为级数的和，记为。若不存在，则称级数发散。发散级数没有和。例1

试判断级数的敛散性。解：由于，所以前项的部分和故

即：无穷级数发散。例2试判断级数的敛散性。解：于是。由于，所以前项的部分和所以，无穷级数收敛，且其和为1。解：于是故当公比时，无穷级数发散。例3试判断级数的敛散性。当时，所给无穷级数的前项部分和此级数为几何级数（又称等比级数）。当时，其前项的部分和为当时，，因而，所以无穷级数收敛，且其和为。当时，，因而不存在，即无穷级数发散。其部分和当时，，其前项和综上所述，可知：几何级数，当时收敛，其和为；当时，几何级数发散。根据无穷级数收敛和发散的定义及极限的运算法则，不难验证无穷级数具有下列基本性质。二、级数的基本性质性质1若无穷级数与都收敛，其和分别为和，则级数必收敛，且其和为。性质2(1)若无穷级数收敛，其和为，为常数，则无穷级数也收敛为。

(2)若无穷级数发散，，则必定发散。例4

试判断无穷级数的敛散性解：由于无穷级数和均为几何级数，且公比分别为，由例3可知：和均收敛。由性质2可知：无穷级数收敛。而由性质1可知：无穷级数收敛。性质3在无穷级数中去掉或添加有限项，所得到的新级数与原来级数具有相同的敛散性。性质3表明，无穷级数的敛散性与其前面有限项无关，而是取决于充分大以后的的变化趋势。性质4在无穷级数中添加括号，即将有限项用括号括起来作为一项，得到新级数。如果原无穷级数收敛，则新无穷级数也收敛；如果新级数发散，则原级数发散。值得注意是：收敛级数去掉括号后所得的新的无穷级数不一定是收敛的。例如：收敛于0，但是去掉括号后得到的新级数为发散的无穷级数。推论：若，则无穷级数发散。性质5（级数收敛的必要条件）若无穷级数收敛，则。例5试判断无穷级数的敛散性。解：由于所以无穷级数发散。有必要指出：一般项趋于零的无穷级数未必一定收敛。例如无穷级数第二节正项级数无穷级数定义1设无穷级数，如果，则称无穷级数为正项无穷级数。定理1正项无穷级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。对于正项无穷级数，其部分和数列是单调增加数列，由数列极限的存在准则可知：若单调增加数列有上界，则存在，否则。由此可得到下述定理：（1）若正项无穷级数收敛，则正项无穷级数也收敛。（2）若正项无穷级数发散，则正项无穷级数也发散。值得注意的是：比较判别法的条件，其实不必从起始就要求上述不等式成立。因为由上一节性质3可知，改变一个无穷级数的有限项并不影响该无穷级数的收敛性，所以只要从某一项起

就可以了。定理2（比较判别法）若无穷级数和都是正项无穷级数，且满足解：由题设可知，所给定无穷级数的一般项为，且，因此无穷级数为正项无穷级数。此外，当时，有，故所以为收敛。由比较判别法可知收敛。取，则为几何级数，其公比，例1

试判断无穷级数的敛散性。一般称正项无穷级数用比较判别法判定一个正项无穷级数的敛散性时，经常将需判断的无穷级数的一般项与几何级数或-级数的一般项比较，然后确定该无穷级数的敛散性。可以证明：（1） 当时，-级数收敛。（2） 当时，-级数发散。为-级数（或称广义调和函数）。前述的调和级数是广义调和级数时的特殊情形。例2

试判断无穷级数的敛散性。解：由于所给定无穷级数的一般项为，且满足令，则为去掉第一项的调和级数，可知发散。由比较判别法可知也发散。解：已知所给定无穷级数的一般项为，且满足令，则为几何级数，公比为，可知级数收敛，故由比较判别法，可知也收敛。例3试判断无穷级数的敛散性。注意到级数的基本性质2与性质3，即级数的各项同乘以不为零的常数，去掉或添加有限项仍不改变级数的收敛性。由此可以得到下述更实用的结果。（2）若正项无穷级数发散，且存在，当时，有则正项无穷级数也发散。推论（1）若正项无穷级数收敛，且存在，当

时，有，则正项无穷级数也收敛。定理2.7.2’（极限形式的比较判别法）若无穷级数

和都是正项无穷级数，且，则正项无穷级数与有相同的收敛性。定理3（比值判别法）若正项无穷级数，满足条件（1）若，则无穷级数收敛；（2）若（或），则无穷级数发散。注：若，则本判别法不能判断所给定的无穷级数的敛散性。例4试判断无穷级数的敛散性。由比值判别法可知：无穷级数为收敛的。解：已知正项无穷级数的一般项为，由于解：已知的正项无穷级数的一般项为，由于由比值判别法可知：无穷级数发散。例5试判断无穷级数的敛散性。解：该无穷级数的一般项为，由于所以比值判别法失效，此时可考虑运用比较判别法。因为，而-级数是收敛的，所以无穷级数收敛。例6试判断无穷级数的敛散性。一、交错项级数二、任意项级数第三节交错项级数与任意项级数无穷级数一、交错项级数定义1若，则称级数或为交错级数。1713年莱布尼兹给出了交错级数收敛性的下述重要结论：定理1（莱布尼兹判别法）若交错级数满足（1），即单调下降。（2）则无穷级数收敛，且其和。对于上述交错级数而言，若极限不存在，或存在但，则交错级数的一般项的极限不存在，因此无穷级数发散。解：由于无穷级数为交错级数，其中，故且由莱布尼兹判别法可知：交错级数收敛。例1

试判断交错级数的敛散性。即交错级数常称之为莱布尼兹级数，以后将此无穷级数认作为标准无穷级数。例2

试判断交错级数的敛散性。解：因为，所以，交错级数发散。通常地正负项可以任意出现的无穷级数称为任意项无穷级数。二、任意项级数由此可见，交错级数是任意项无穷级数的一种特殊情形。由于要判断任意项无穷级数的敛散性没有一般的通用法则，故先研究的收敛性。定理2若无穷级数收敛，则无穷级数必定收敛。定义2设有任意项无穷级数，若无穷级数收敛，则称该无穷级数绝对收敛；若无穷级数

发散，而无穷级数收敛，则称该无穷级数条件收敛。显而易见，莱布尼兹级数为条件收敛的。例3试判断交错级数的敛散性，若其收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛（其中）？解：

记，则，即为-级数，因此当时，收敛，故无穷级数

绝对收敛。且由莱布尼兹判别法可知无穷级数为条件收敛。综上所述，无穷级数，当时，该无穷级数绝对收敛；当时，该无穷级数条件收敛。当时，发散，即无穷级数不绝对收敛。此外，由于为交错级数，当时，有定理3若任意项无穷级数

满足条件（1）当时，则该无穷级数绝对收敛；（2）当时，则该无穷级数发散。例4试判断无穷级数的敛散性，如果它收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛？解：其通项为，而且然而为的-级数，其为收敛的。从而可知：为收敛的。即无穷级数收敛，且为绝对收敛。解：由于例5判断无穷级数的敛散性。故当时，无穷级数绝对收敛；当时，无穷级数发散；当时，无穷级数为调和级数其是发散的；当时，无穷级数成为莱布尼兹级数，其为条件收敛的。一、函数项级数的概念二、幂级数第四节幂级数无穷级数三、幂级数的运算与性质如果给定一个定义在区间I上的函数列一、函数项级数的概念则由该函数列构成的表达式称为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数项级数。（1）对于每一个确定的值，函数项级数（1）成为常数项级数这个级数（2）可能收敛也可能发散。如果（1）收敛，我们称点是函数项级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域。（2）函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项均为幂次函数的函数项级数，即所谓的幂级数。形如二、幂级数的函数项级数我们将其称之为以为中心的幂级数，其中常数称作幂级数的第项系数。（3）我们先来讨论幂级数得收敛域，为了研究方便，不妨设幂级数中的=0，即讨论形如的幂级数，我们又称之为的幂级数。这不影响讨论的一般性，因为只需作代换，就可将式（3）化成式（4）。几何级数（4）是中心在的幂级数。它的收敛域是以原点为中心的对称区间(-1,1)。定理1（阿贝尔定理）(3)若幂级数在处发散，则对于满足不等式

的一切，幂级数发散。(2)若幂级数在处收敛，则对于满足不等式

的一切，幂级数绝对收敛。(1)幂级数在处收敛。阿贝尔定理给出了幂级数收敛域的结构情况，即若点是幂级数（4）的收敛点，则到坐标原点距离比点近的点都是幂级数（4）的收敛点；若点是幂级数的发散点，则到坐标原点距离比点远的点都是幂级数的发散点。数轴上的点不是幂级数（4）的收敛点就是发散点，假设幂级数（4）不仅仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，设想从原点出发沿数轴向右行进，先遇到的必然都是收敛点，一旦遇到了一个发散点，那么以后遇到的都是发散点。自原点向左也有类似情况。因此，它在原点的左右两侧各有一个临界点，由定理1可知它们到原点的距离是一样的，记这个距离为R。有如下推论：推论：如果幂级数不是仅在一点收敛也不是在整个数轴上收敛，则必存在惟一的正数，使得(1)当时，幂级数绝对收敛；(2)当时，幂级数发散；(3)当时，幂级数可能发散也可能收敛。我们把满足推论的实数称为幂级数的收敛半径。开区间称为幂级数的收敛区间。根据幂级数在端点处的收敛性，就可以确定其收敛域有四种情形：或。特殊地，如果幂级数只在处收敛，此时收敛域内仅有一点其收敛半径；如果幂级数对一切均收敛，则规定其收敛半径，此时的收敛域为。定理2设为幂级数，且，为其收敛半径。(1)若，则。(2)若，则。(3)若，则。例1幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。解：故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。当时，级数为莱布尼兹级数，是收敛的。当时，级数为调和级数，发散。所以原级数的收敛域为。例2求幂级数的收敛半径和收敛域。解：记，则有故收敛半径为，收敛域为。例3求幂级数的收敛半径和收敛域。解记，则有故收敛半径为，收敛域为0。例4求幂级数的收敛半径和收敛区间。解记，则有故收敛半径为，收敛区间为，即。三、幂级数的运算与性质1．幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为与。记，则在内有(1)(2)

其中。值得注意的是，两个幂级数相加减或相乘的幂级数，其收敛半径2．和函数的性质则幂级数的和函数有如下性质设幂级数的收敛半径为，和函数为，即(1)（连续性）在内连续，且当在（或）处收敛时，在处左连续（或在处右连续）。(3)（逐项积分）在内任何子区间上可积，并可逐项积分，即(2)（逐项微分）在内可导，并可逐项求导，即且逐项求导后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。且逐项积分后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。解：所给幂级数的系数故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。由于几何级数所以例5求幂级数的收敛区间与和函数。且，所以由逐项微分的性质，当时，解：所给幂级数的系数例6求幂级数的收敛区间与和函数。故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。设=由逐项微分公式，当时有，又，所以即对上式两端从0到x积分，得一、泰勒级数二、函数用直接法展开成幂级数第五节函数展开为幂级数无穷级数三、函数用间接法展开成幂级数一、泰勒级数在上节中，我们研究了求幂级数在收敛区间内的和函数的问题。但在一些实际问题中，往往需要研究它的反问题。即将一个已知函数在某一区间内用一个幂级数表示。就是说，能否找到这样一个幂级数，它在某一区间内收敛，且和函数恰好是给定的函数？若能找到这样的幂级数，就称函数在该区间内能展开成幂级数，称该幂级数为函数的幂级数展开式。若函数在点的某一邻域内具有阶的导数，则在该邻域内的阶泰勒公式成立，其中为拉格朗日余项：这里是介于与之间的某一点。来近似表示，并且其误差为。如果随着的增大而减小，那么我们就可以用增加多项式的次数来提高用来逼近的精度。可以用次多项式例1

设，求在点处的1次、2次、4次、6次、8次泰勒多项式。解：

因此在处的2次泰勒多项式为再有

，所以在处的1次泰勒多项式为相应地在处的4次、6次、8次泰勒多项式为由上述的讨论可以看到每一个都比前一个在附近能更好地逼近，且每个更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多项式，为此引进泰勒级数。如果在点的某邻域内具有任意阶导数，并记，构造幂级数称此级数为函数在点的泰勒级数。若上式在的某个邻域内的和函数恰好为，则称在处可展成泰勒级数（也称为关于的幂级数）。定理1设函数在点的某一邻域内有任意阶导数，且在点的泰勒级数公式为则在点的某个邻域内可以展开泰勒级数的充分必要条件是对于任意的，有（2）由泰勒级数可以知道在点的某一邻域内有任意阶导数的函数都可以从形式上构造出其泰勒级数，当且仅当时，其泰勒级数是收敛的，且其和函数为。注意：（1）在点的幂级数展开式是惟一的，如果设又可以展成，则必有（3）由定理还可以看出，当在可以展成幂级数时，其有限项在点的邻域较好地接近于，但是在其他点近似程度可能不好。（4）当时，的泰勒级数称为的麦克劳林（Maclaurin）级数（也称的幂级数）。这是我们常用的一种泰勒级数形式。所谓直接法展开是指先求出,在判定余项在什么区间上趋于零，从而得到的泰勒展开的一种方法。对函数作泰勒展开除了要写出泰勒级数的表达式外，而且要写出其收敛区间。具体步骤如下：第一步求出的各阶导数第二步

计算二、函数用直接法展开成幂级数第三步写出在处的泰勒级数第四步求出上述泰勒级数的收敛区间。第五步考察当在区间内时余项的极限（在0与之间）是否为零。如果为零，则有否则即使收敛，其和函数也不一定为。解：由于因此

故的麦克劳林级数为例2将展开为麦克劳林级数其收敛区间为,任取，则对于任何介于0与之间的，有对于给定的，可知有界，而可以看作是收敛级数的一般项，可知有

，于是得用直接法展开，先要求高阶导数，还要证明，这都比较复杂和困难，于是出现了间接法。由于函数的幂级数展开式是惟一的，有时可以利用一些已知的函数展开式及收敛区间，经过适当的代换及运算，如四则运算、逐项求导、逐项积分等，求出所给函数的幂级数展开式。这种方法称为间接展开法。间接展开法需要掌握一些常用的函数展开式及收敛半径。三、函数用间接法展开成幂级数（1）（2（3）（4）（5）以上展开式中的前二个已讲过，其中可由直接法得到，可用间接展开法求得。常用的展开式：例3求的麦克劳林展开式。解：对的麦克劳林展开式逐项求导，我们有例4设，解：（1）（1）将在处展开为幂级数；（2）将展开为的幂级数。所以。收敛区间为：，即。（2）因此收敛区间为：，例5将函数展开为的幂级数。解：

由于而

所以一、傅立叶级数展开式中的系数二、傅立叶级数的收敛性第六节傅立叶级数无穷级数三、周期延拓四、傅立叶余弦级数和正弦级数在研究细长绝热杆的传导问题时，法国数学家傅立叶需要把一个函数表示为三角级数。一般说来，如果定义在区间上，我们需要知道系数和，使得注意区间关于原点对称。等式(1)称为在区间上的傅立叶（Fourier）级数。这类级数在传导、波动现象、化学制品和污染物的浓度，以及物理世界的其他模型研究中有广泛的科学和工程应用的领域。在这一节中，我们引入一个给定函数的这些重要的三角级数表示。(1)一、傅立叶级数展开式中的系数设是定义在对称区间上的函数。假定可以表示成由等式(1)给定的三角级数。我们要寻找计算系数和的一个方法。计算的关键三角函数系在区间上具有正交性，即其中任何两个不同函数的乘积在区间上的积分等于零：(1)(2)(5)(3)(4)1.三角函数的正交性上述三角函数系中，任一函数的自乘积在区间的积分不等于零：(8)(6)(7)

(1)计算.将等式(2)的两端逐项积分，然后利用三角函数系的正交性，可得：解出，得2.傅立叶级数的计算设函数能展开成三角级数(2)(3)解出(2)计算.我们用乘等式(2)两端，再在区间上积分，并利用三角函数系的正交性，可得：(4)解出(3)计算.我们用乘等式(2)两端，再在区间上积分，并利用三角函数系的正交性，可得：(5)等式(3),等式(4)和等式(5)称为欧拉—傅立叶公式。系数和分别由等式(3),等式(4)和等式(5)确定的三角级数(1)称为函数在区间上的傅立叶展开式，其中和为的傅立叶系数。例1求函数的傅立叶级数展开式。解：本题，傅立叶系数计算如下：f(x)的傅立叶级数在区间上表达式为当项数取1，5和20时傅立叶级数逼近的图象如图。注意随着的增加，在所有连续点逼近如何越来越接近函数的图象。在的不连续点，傅立叶级数逼近趋向0.5，这是跃度的一半，这些结果跟下面叙述的傅立叶收敛定理是一致的。将展开成傅立叶级数。解：本题，傅立叶系数计算如下：例2设是周期为的函数,它在上的表达式为故的傅立叶级数在区间上的表达式为在计算系数和时，我们假定在区间上是可积的。当项数取1，5和20时傅立叶级数逼近的图象在下图中。注意随着的增加，在所有连续点逼近如何越来越接近函数的图象。二、傅立叶级数的收敛性定理1傅立叶级数的收敛性（狄利克雷（Dirichlet）定理）若函数和它的导数在区间上分段连续则在所有连续点处等于傅立叶级数。在的跳跃间断点，傅立叶级数收敛于。其中和分别是在的左、右极限。例1中的函数满足定理1的条件，对于区间的每个点，傅立叶级数收敛于。是函数的跳跃间段点，傅立叶级数收敛到平均值傅立叶级数中的三角项和是周期为的周期函数：三、周期延拓类似地傅立叶级数也