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高等数学（第二版）曲线的凹向与拐点微分中值定理及导数的应用在研究函数曲线的变化时，我们不仅要了解函数的单调性，还必须研究曲线在上升和下降过程中的弯曲情况。例如和在时，曲线都是单调增加的，但它们的图形却是差别很大。曲线位于它的每一点的切线的上方，其图形是上凹的。而则位于它的每一点的切线的下面，其图形是下凹的。定义

如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如图(a)；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的，如图(b)（a）（b）因为，所以单调增加，即由小变大。由图(a)可见曲线上凹，反之如，所以单调减少，即由大变小。如图(b)可见曲线下凹。定理4.4.1设函数在区间内具有二阶导数，那么（1）如时，恒有，则曲线在

内上凹；（2）如时，恒有，则曲线在

内下凹。定义

曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。于是，对于二阶可导函数求拐点的一般步骤为：（1）求满足的点及二阶导数不存在的点；（2）由二阶导数判定这些点是否为拐点。由拐点的定义可知：在拐点的左右二阶导数必定异号，因而在拐点处必有或不存在。例1判定的凹性。解：函数的定义域为因为所以，函数在定义域内上凹。解：因为令，得，把定义域分成区间，其讨论结果列表如下例2求的凹向与拐点解：因为令，得，而在处不存在。把定义域分

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